Theorem sotri 4315

Description: A strict order relation is a transitive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- A e. _V
soi.2	|- R Or S
soi.3	|- R C_ (S X. S)
sotri.4	|- B e. _V
sotri.5	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
sotri	|- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 73	. . . . . 6 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> (A e. S /\ B e. S /\ C e. S))
2	1	3exp 1066	. . . . 5 |- (A e. S -> (B e. S -> (C e. S -> (A e. S /\ B e. S /\ C e. S))))
3	2	a1dd 53	. . . 4 |- (A e. S -> (B e. S -> (B e. S -> (C e. S -> (A e. S /\ B e. S /\ C e. S)))))
4	3	imp43 397	. . 3 |- (((A e. S /\ B e. S) /\ (B e. S /\ C e. S)) -> (A e. S /\ B e. S /\ C e. S))
5		sotri.4	. . . 4 |- B e. _V
6		soi.3	. . . 4 |- R C_ (S X. S)
7	5, 6	brel 4048	. . 3 |- (ARB -> (A e. S /\ B e. S))
8		sotri.5	. . . 4 |- C e. _V
9	8, 6	brel 4048	. . 3 |- (BRC -> (B e. S /\ C e. S))
10	4, 7, 9	syl2an 503	. 2 |- ((ARB /\ BRC) -> (A e. S /\ B e. S /\ C e. S))
11		soi.2	. . 3 |- R Or S
12		sotr 3611	. . 3 |- ((R Or S /\ (A e. S /\ B e. S /\ C e. S)) -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
13	11, 12	mpan 759	. 2 |- ((A e. S /\ B e. S /\ C e. S) -> ((ARB /\ BRC) -> ARC))
14	10, 13	mpcom 60	1 |- ((ARB /\ BRC) -> ARC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   Or wor 3590   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  son2lpi 4316  ltsopq 6227  ltrpq 6237  1pr 6269  prlem934 6291  ltexprlem4 6297  reclem2pr 6309  reclem4pr 6311  ltsosr 6355  addgt0sr 6365  suppsr2 6375  suppsr3 6376  ltsor 6413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-po 3591  df-so 3604  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain