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Theorem soseq 29508
Description: A linear ordering of sequences of ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
soseq.1  |-  R  Or  ( A  u.  { (/) } )
soseq.2  |-  F  =  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }
soseq.3  |-  S  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) ) }
soseq.4  |-  -.  (/)  e.  A
Assertion
Ref Expression
soseq  |-  S  Or  F
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, F, g, x    y, f, g, x    R, f, g, x
Allowed substitution hints:    A( g)    R( y)    S( x, y, f, g)    F( y)

Proof of Theorem soseq
Dummy variables  a 
b  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 soseq.1 . . . 4  |-  R  Or  ( A  u.  { (/) } )
2 sopo 4826 . . . 4  |-  ( R  Or  ( A  u.  {
(/) } )  ->  R  Po  ( A  u.  { (/)
} ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  R  Po  ( A  u.  { (/) } )
4 soseq.2 . . 3  |-  F  =  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }
5 soseq.3 . . 3  |-  S  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) ) }
63, 4, 5poseq 29507 . 2  |-  S  Po  F
7 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
f  e.  F  <->  a  e.  F ) )
87anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( f  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( a  e.  F  /\  g  e.  F ) ) )
9 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  y )  =  ( a `  y ) )
109eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( a `  y )  =  ( g `  y ) ) )
1110ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y ) ) )
12 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  x )  =  ( a `  x ) )
1312breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( a `  x ) R ( g `  x ) ) )
1411, 13anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( f `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( a `  x ) R ( g `  x ) ) ) )
1514rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) ) )
168, 15anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( a  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) ) ) )
17 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  b  ->  (
g  e.  F  <->  b  e.  F ) )
1817anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  b  ->  (
( a  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( a  e.  F  /\  b  e.  F ) ) )
19 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  b  ->  (
g `  y )  =  ( b `  y ) )
2019eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  b  ->  (
( a `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
2120ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  b  ->  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
22 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  b  ->  (
g `  x )  =  ( b `  x ) )
2322breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  b  ->  (
( a `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( a `  x ) R ( b `  x ) ) )
2421, 23anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  b  ->  (
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( a `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) ) ) )
2524rexbidv 2968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  b  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) )
2618, 25anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  b  ->  (
( ( a  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) ) )
2716, 26, 5brabg 4775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  <-> 
( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) ) )
2827bianabs 880 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) )
29 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  b  ->  (
f  e.  F  <->  b  e.  F ) )
3029anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  b  ->  (
( f  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( b  e.  F  /\  g  e.  F ) ) )
31 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  b  ->  (
f `  y )  =  ( b `  y ) )
3231eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( b `  y )  =  ( g `  y ) ) )
3332ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y ) ) )
34 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
f `  x )  =  ( b `  x ) )
3534breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  (
( f `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( b `  x ) R ( g `  x ) ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  b  ->  (
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( f `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( b `  x ) R ( g `  x ) ) ) )
3736rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  b  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) ) )
3830, 37anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  b  ->  (
( ( f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( b  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) ) ) )
39 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  a  ->  (
g  e.  F  <->  a  e.  F ) )
4039anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  a  ->  (
( b  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( b  e.  F  /\  a  e.  F ) ) )
41 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  y )  =  ( a `  y ) )
4241eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
( b `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( b `  y )  =  ( a `  y ) ) )
4342ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y ) ) )
44 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  x )  =  ( a `  x ) )
4544breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( b `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  a  ->  (
( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( b `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
4746rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  a  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
4840, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  a  ->  (
( ( b  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) ) )
4938, 48, 5brabg 4775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b S a  <-> 
( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) ) )
5049bianabs 880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b S a  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
5150ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( b S a  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
5228, 51orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a S b  \/  b S a )  <->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
5352notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( a S b  \/  b S a )  <->  -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
54 ralinexa 2909 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  -.  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( ( a `
 x ) R ( b `  x
)  \/  ( b `
 x ) R ( a `  x
) ) ) )
55 andi 867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
56 eqcom 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  y )  =  ( b `  y )  <->  ( b `  y )  =  ( a `  y ) )
5756ralbii 2888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y ) )
5857anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )
5958orbi2i 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <-> 
( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
b `  y )  =  ( a `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6055, 59bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6160rexbii 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  /\  (
a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
62 r19.43 3013 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  (
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
b `  y )  =  ( a `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <-> 
( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6361, 62bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6454, 63xchbinx 310 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
65 feq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f : x --> A  <->  f :
y --> A ) )
6665cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. y  e.  On  f : y --> A )
6766abbii 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }  =  {
f  |  E. y  e.  On  f : y --> A }
684, 67eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  { f  |  E. y  e.  On  f : y --> A }
6968orderseqlem 29506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  F  ->  (
a `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )
7068orderseqlem 29506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  F  ->  (
b `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )
71 sotrieq 4836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  ( A  u.  { (/) } )  /\  ( ( a `
 x )  e.  ( A  u.  { (/)
} )  /\  (
b `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( a `
 x )  =  ( b `  x
)  <->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
721, 71mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  x
)  e.  ( A  u.  { (/) } )  /\  ( b `  x )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  -.  (
( a `  x
) R ( b `
 x )  \/  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
7369, 70, 72syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
7473imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
7574ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  <->  A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
76 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
77 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
a `  x )  =  ( a `  y ) )
78 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
b `  x )  =  ( b `  y ) )
7977, 78eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
8076, 79sbcie 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. y  /  x ]. (
a `  x )  =  ( b `  x )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) )
8180ralbii 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `
 x )  =  ( b `  x
)  <->  A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y ) )
8281imbi1i 325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
8382ralbii 2888 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  <->  A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
84 tfisg 29458 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  ->  A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )
8583, 84sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  ->  A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )
86 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
87 feq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  a  ->  (
f : x --> A  <->  a :
x --> A ) )
8887rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. x  e.  On  a : x --> A ) )
8986, 88, 4elab2 3249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  F  <->  E. x  e.  On  a : x --> A )
90 feq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  p  ->  (
a : x --> A  <->  a :
p --> A ) )
9190cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  On  a : x --> A  <->  E. p  e.  On  a : p --> A )
9289, 91bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  F  <->  E. p  e.  On  a : p --> A )
93 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
94 feq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
f : x --> A  <->  b :
x --> A ) )
9594rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. x  e.  On  b : x --> A ) )
9693, 95, 4elab2 3249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  F  <->  E. x  e.  On  b : x --> A )
97 feq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  (
b : x --> A  <->  b :
q --> A ) )
9897cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  On  b : x --> A  <->  E. q  e.  On  b : q --> A )
9996, 98bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  F  <->  E. q  e.  On  b : q --> A )
10092, 99anbi12i 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  <->  ( E. p  e.  On  a : p --> A  /\  E. q  e.  On  b : q --> A ) )
101 reeanv 3025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A )  <-> 
( E. p  e.  On  a : p --> A  /\  E. q  e.  On  b : q --> A ) )
102100, 101bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  <->  E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )
103 onss 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  On  ->  q  C_  On )
104 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q 
C_  On  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  ->  A. x  e.  q 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
107 soseq.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  e.  A
108 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  p  ->  (
a `  x )  =  ( a `  p ) )
109 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  p  ->  (
b `  x )  =  ( b `  p ) )
110108, 109eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  p  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  p )  =  ( b `  p ) ) )
111110rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q 
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  p
)  =  ( b `
 p ) ) )
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
a `  p )  =  ( b `  p ) ) ) )
113 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b : q --> A  /\  p  e.  q )  ->  ( b `  p )  e.  A
)
114 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a : p --> A  ->  dom  a  =  p
)
115 eloni 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( p  e.  On  ->  Ord  p )
116 ordirr 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Ord  p  ->  -.  p  e.  p )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( p  e.  On  ->  -.  p  e.  p )
118 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( dom  a  =  p  -> 
( p  e.  dom  a 
<->  p  e.  p ) )
119118notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( dom  a  =  p  -> 
( -.  p  e. 
dom  a  <->  -.  p  e.  p ) )
120119biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( -.  p  e.  p  /\  dom  a  =  p )  ->  -.  p  e.  dom  a )
121117, 120sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  -.  p  e.  dom  a )
122 ndmfv 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  p  e.  dom  a  ->  ( a `  p
)  =  (/) )
123 eqtr2 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( a `  p
)  =  (/)  /\  (
a `  p )  =  ( b `  p ) )  ->  (/)  =  ( b `  p ) )
124 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (/)  =  ( b `  p )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  ( b `  p )  e.  A
) )
125124biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (/)  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) )
126123, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( a `  p
)  =  (/)  /\  (
a `  p )  =  ( b `  p ) )  -> 
( ( b `  p )  e.  A  -> 
(/)  e.  A )
)
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a `  p )  =  (/)  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
128121, 122, 1273syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  ( (
a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
129128com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  ( (
b `  p )  e.  A  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
130114, 129sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  e.  On  /\  a : p --> A )  ->  ( ( b `
 p )  e.  A  ->  ( (
a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
131130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  a : p --> A )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  -> 
( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A ) ) )
132113, 131syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  a : p --> A )  ->  (
( b : q --> A  /\  p  e.  q )  ->  (
( a `  p
)  =  ( b `
 p )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
133132exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( a : p --> A  ->  ( b : q --> A  -> 
( p  e.  q  ->  ( ( a `
 p )  =  ( b `  p
)  ->  (/)  e.  A
) ) ) ) )
134133imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
135112, 134syldd 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (/)  e.  A
) ) )
136135com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
p  e.  q  ->  (/) 
e.  A ) ) )
137136imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  ( p  e.  q  ->  (/)  e.  A
) )
138107, 137mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  -.  p  e.  q )
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  p  e.  q )
)
140106, 139syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  p  e.  q )
)
141 onss 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  On  ->  p  C_  On )
142 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p 
C_  On  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
144143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
145 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  q  ->  (
a `  x )  =  ( a `  q ) )
146 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  q  ->  (
b `  x )  =  ( b `  q ) )
147145, 146eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  q  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  q )  =  ( b `  q ) ) )
148147rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  q
)  =  ( b `
 q ) ) )
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
a `  q )  =  ( b `  q ) ) ) )
150 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a : p --> A  /\  q  e.  p )  ->  ( a `  q
)  e.  A )
151 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b : q --> A  ->  dom  b  =  q
)
152 eloni 4897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( q  e.  On  ->  Ord  q )
153 ordirr 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Ord  q  ->  -.  q  e.  q )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( q  e.  On  ->  -.  q  e.  q )
155 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( dom  b  =  q  -> 
( q  e.  dom  b 
<->  q  e.  q ) )
156155notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( dom  b  =  q  -> 
( -.  q  e. 
dom  b  <->  -.  q  e.  q ) )
157156biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  q  e.  q  /\  dom  b  =  q )  ->  -.  q  e.  dom  b )
158 ndmfv 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( -.  q  e.  dom  b  ->  ( b `  q
)  =  (/) )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( -.  q  e.  q  /\  dom  b  =  q )  ->  (
b `  q )  =  (/) )
160154, 159sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( q  e.  On  /\  dom  b  =  q
)  ->  ( b `  q )  =  (/) )
161 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( a `  q
)  =  ( b `
 q )  /\  ( b `  q
)  =  (/) )  -> 
( a `  q
)  =  (/) )
162 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( a `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
163162biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( a `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  ->  (/)  e.  A
) )
164161, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( a `  q
)  =  ( b `
 q )  /\  ( b `  q
)  =  (/) )  -> 
( ( a `  q )  e.  A  -> 
(/)  e.  A )
)
165164expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
166165com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  ->  (
( a `  q
)  =  ( b `
 q )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
167160, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( q  e.  On  /\  dom  b  =  q
)  ->  ( (
a `  q )  e.  A  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A
) ) )
168167adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  dom  b  =  q )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  -> 
( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) )
169151, 168sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  b : q --> A )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  -> 
( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) )
170150, 169syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  b : q --> A )  ->  (
( a : p --> A  /\  q  e.  p )  ->  (
( a `  q
)  =  ( b `
 q )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
171170exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( b : q --> A  ->  ( a : p --> A  -> 
( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) ) ) )
172171com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( a : p --> A  ->  ( b : q --> A  -> 
( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) ) ) )
173172imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A
) ) )
174149, 173syldd 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (/)  e.  A
) ) )
175174com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
q  e.  p  ->  (/) 
e.  A ) ) )
176175imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  ( q  e.  p  ->  (/)  e.  A
) )
177107, 176mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  -.  q  e.  p )
178177ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  q  e.  p )
)
179144, 178syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  q  e.  p )
)
180140, 179jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p
) ) )
181 ordtri3or 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  p  /\  Ord  q )  ->  (
p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )
182115, 152, 181syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p
) )
183182adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )
184 3orel13 29269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p )  ->  (
( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p
)  ->  p  =  q ) )
185180, 183, 184syl6ci 65 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  p  =  q ) )
186185, 144jcad 533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
187 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a : p --> A  -> 
a  Fn  p )
188 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b : q --> A  -> 
b  Fn  q )
189 eqfnfv2 5983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  Fn  p  /\  b  Fn  q )  ->  ( a  =  b  <-> 
( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
190187, 188, 189syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( a  =  b  <->  ( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
191190adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( a  =  b  <->  ( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
192186, 191sylibrd 234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
193192ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( ( a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) ) )
194193rexlimivv 2954 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
195102, 194sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
19685, 195syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  a  =  b ) )
19775, 196sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  ->  a  =  b ) )
19864, 197syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  ->  a  =  b ) )
19953, 198sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( a S b  \/  b S a )  -> 
a  =  b ) )
200199orrd 378 . . . 4  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b ) )
201 3orcomb 983 . . . . 5  |-  ( ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a )  <-> 
( a S b  \/  b S a  \/  a  =  b ) )
202 df-3or 974 . . . . 5  |-  ( ( a S b  \/  b S a  \/  a  =  b )  <-> 
( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b ) )
203201, 202bitr2i 250 . . . 4  |-  ( ( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b )  <->  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) )
204200, 203sylib 196 . . 3  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) )
205204rgen2a 2884 . 2  |-  A. a  e.  F  A. b  e.  F  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a )
206 df-so 4810 . 2  |-  ( S  Or  F  <->  ( S  Po  F  /\  A. a  e.  F  A. b  e.  F  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) ) )
2076, 205, 206mpbir2an 920 1  |-  S  Or  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   [.wsbc 3327    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   {copab 4514    Po wpo 4807    Or wor 4808   Ord word 4886   Oncon0 4887   dom cdm 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  sltso  29603
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