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Theorem soseq 30486
Description: A linear ordering of sequences of ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
soseq.1  |-  R  Or  ( A  u.  { (/) } )
soseq.2  |-  F  =  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }
soseq.3  |-  S  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) ) }
soseq.4  |-  -.  (/)  e.  A
Assertion
Ref Expression
soseq  |-  S  Or  F
Distinct variable groups:    A, f, x, y    f, F, g, x    y, f, g, x    R, f, g, x
Allowed substitution hints:    A( g)    R( y)    S( x, y, f, g)    F( y)

Proof of Theorem soseq
Dummy variables  a 
b  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 soseq.1 . . . 4  |-  R  Or  ( A  u.  { (/) } )
2 sopo 4787 . . . 4  |-  ( R  Or  ( A  u.  {
(/) } )  ->  R  Po  ( A  u.  { (/)
} ) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  R  Po  ( A  u.  { (/) } )
4 soseq.2 . . 3  |-  F  =  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }
5 soseq.3 . . 3  |-  S  =  { <. f ,  g
>.  |  ( (
f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) ) }
63, 4, 5poseq 30485 . 2  |-  S  Po  F
7 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
f  e.  F  <->  a  e.  F ) )
87anbi1d 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  (
( f  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( a  e.  F  /\  g  e.  F ) ) )
9 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  y )  =  ( a `  y ) )
109eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( a `  y )  =  ( g `  y ) ) )
1110ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y ) ) )
12 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  (
f `  x )  =  ( a `  x ) )
1312breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  a  ->  (
( f `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( a `  x ) R ( g `  x ) ) )
1411, 13anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  a  ->  (
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( f `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( a `  x ) R ( g `  x ) ) ) )
1514rexbidv 2939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  a  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) ) )
168, 15anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  a  ->  (
( ( f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( a  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) ) ) )
17 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  b  ->  (
g  e.  F  <->  b  e.  F ) )
1817anbi2d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  b  ->  (
( a  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( a  e.  F  /\  b  e.  F ) ) )
19 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  b  ->  (
g `  y )  =  ( b `  y ) )
2019eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  b  ->  (
( a `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
2120ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  b  ->  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
22 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  b  ->  (
g `  x )  =  ( b `  x ) )
2322breq2d 4432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  b  ->  (
( a `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( a `  x ) R ( b `  x ) ) )
2421, 23anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  b  ->  (
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( a `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) ) ) )
2524rexbidv 2939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  b  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) )
2618, 25anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  b  ->  (
( ( a  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) ) )
2716, 26, 5brabg 4735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  <-> 
( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) ) )
2827bianabs 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) ) ) )
29 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  b  ->  (
f  e.  F  <->  b  e.  F ) )
3029anbi1d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  b  ->  (
( f  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( b  e.  F  /\  g  e.  F ) ) )
31 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  b  ->  (
f `  y )  =  ( b `  y ) )
3231eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( b `  y )  =  ( g `  y ) ) )
3332ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y ) ) )
34 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
f `  x )  =  ( b `  x ) )
3534breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  (
( f `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( b `  x ) R ( g `  x ) ) )
3633, 35anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  b  ->  (
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( f `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( b `  x ) R ( g `  x ) ) ) )
3736rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  b  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) ) )
3830, 37anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  b  ->  (
( ( f  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( f `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( b  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) ) ) )
39 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  a  ->  (
g  e.  F  <->  a  e.  F ) )
4039anbi2d 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  a  ->  (
( b  e.  F  /\  g  e.  F
)  <->  ( b  e.  F  /\  a  e.  F ) ) )
41 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  y )  =  ( a `  y ) )
4241eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
( b `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  ( b `  y )  =  ( a `  y ) ) )
4342ralbidv 2864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y ) ) )
44 fveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  a  ->  (
g `  x )  =  ( a `  x ) )
4544breq2d 4432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  a  ->  (
( b `  x
) R ( g `
 x )  <->  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )
4643, 45anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  a  ->  (
( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( g `  y )  /\  ( b `  x ) R ( g `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
4746rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  a  ->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) )  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
4840, 47anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  a  ->  (
( ( b  e.  F  /\  g  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( g `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( g `
 x ) ) )  <->  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) ) )
4938, 48, 5brabg 4735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b S a  <-> 
( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  /\  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) ) )
5049bianabs 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  F  /\  a  e.  F )  ->  ( b S a  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
5150ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( b S a  <->  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y
)  =  ( a `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
5228, 51orbi12d 714 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a S b  \/  b S a )  <->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
5352notbid 295 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( a S b  \/  b S a )  <->  -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
54 ralinexa 2877 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  -.  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( ( a `
 x ) R ( b `  x
)  \/  ( b `
 x ) R ( a `  x
) ) ) )
55 andi 875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
56 eqcom 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a `  y )  =  ( b `  y )  <->  ( b `  y )  =  ( a `  y ) )
5756ralbii 2856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  <->  A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y ) )
5857anbi1i 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( b `  x
) R ( a `
 x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )
5958orbi2i 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <-> 
( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
b `  y )  =  ( a `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6055, 59bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6160rexbii 2927 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( ( A. y  e.  x  (
a `  y )  =  ( b `  y )  /\  (
a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
62 r19.43 2984 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  (
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  ( A. y  e.  x  (
b `  y )  =  ( a `  y )  /\  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <-> 
( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  /\  ( a `  x ) R ( b `  x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6361, 62bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
6454, 63xchbinx 311 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  <->  -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
65 feq2 5725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f : x --> A  <->  f :
y --> A ) )
6665cbvrexv 3056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. y  e.  On  f : y --> A )
6766abbii 2556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { f  |  E. x  e.  On  f : x --> A }  =  {
f  |  E. y  e.  On  f : y --> A }
684, 67eqtri 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  { f  |  E. y  e.  On  f : y --> A }
6968orderseqlem 30484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  F  ->  (
a `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )
7068orderseqlem 30484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  F  ->  (
b `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) )
71 sotrieq 4797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  ( A  u.  { (/) } )  /\  ( ( a `
 x )  e.  ( A  u.  { (/)
} )  /\  (
b `  x )  e.  ( A  u.  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( a `
 x )  =  ( b `  x
)  <->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
721, 71mpan 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a `  x
)  e.  ( A  u.  { (/) } )  /\  ( b `  x )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  -.  (
( a `  x
) R ( b `
 x )  \/  ( b `  x
) R ( a `
 x ) ) ) )
7369, 70, 72syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a `  x )  =  ( b `  x )  <->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) )
7473imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  <->  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
7574ralbidv 2864 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  <->  A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  ->  -.  ( ( a `  x ) R ( b `  x )  \/  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) ) ) )
76 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
77 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
a `  x )  =  ( a `  y ) )
78 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
b `  x )  =  ( b `  y ) )
7977, 78eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) ) )
8076, 79sbcie 3334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. y  /  x ]. (
a `  x )  =  ( b `  x )  <->  ( a `  y )  =  ( b `  y ) )
8180ralbii 2856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `
 x )  =  ( b `  x
)  <->  A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y ) )
8281imbi1i 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  <-> 
( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
8382ralbii 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  <->  A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
84 tfisg 30451 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  [. y  /  x ]. ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  ->  A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )
8583, 84sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  -> 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )  ->  A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) )
86 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
87 feq1 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  a  ->  (
f : x --> A  <->  a :
x --> A ) )
8887rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  a  ->  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. x  e.  On  a : x --> A ) )
8986, 88, 4elab2 3221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  F  <->  E. x  e.  On  a : x --> A )
90 feq2 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  p  ->  (
a : x --> A  <->  a :
p --> A ) )
9190cbvrexv 3056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  On  a : x --> A  <->  E. p  e.  On  a : p --> A )
9289, 91bitri 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  F  <->  E. p  e.  On  a : p --> A )
93 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  b  e. 
_V
94 feq1 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  b  ->  (
f : x --> A  <->  b :
x --> A ) )
9594rexbidv 2939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  b  ->  ( E. x  e.  On  f : x --> A  <->  E. x  e.  On  b : x --> A ) )
9693, 95, 4elab2 3221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  F  <->  E. x  e.  On  b : x --> A )
97 feq2 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  (
b : x --> A  <->  b :
q --> A ) )
9897cbvrexv 3056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  On  b : x --> A  <->  E. q  e.  On  b : q --> A )
9996, 98bitri 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  F  <->  E. q  e.  On  b : q --> A )
10092, 99anbi12i 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  <->  ( E. p  e.  On  a : p --> A  /\  E. q  e.  On  b : q --> A ) )
101 reeanv 2996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A )  <-> 
( E. p  e.  On  a : p --> A  /\  E. q  e.  On  b : q --> A ) )
102100, 101bitr4i 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  <->  E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )
103 onss 6627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  On  ->  q  C_  On )
104 ssralv 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q 
C_  On  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  ->  A. x  e.  q 
( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
106105ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
107 soseq.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  e.  A
108 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  p  ->  (
a `  x )  =  ( a `  p ) )
109 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  p  ->  (
b `  x )  =  ( b `  p ) )
110108, 109eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  p  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  p )  =  ( b `  p ) ) )
111110rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q 
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  p
)  =  ( b `
 p ) ) )
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
a `  p )  =  ( b `  p ) ) ) )
113 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b : q --> A  /\  p  e.  q )  ->  ( b `  p )  e.  A
)
114 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a : p --> A  ->  dom  a  =  p
)
115 eloni 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( p  e.  On  ->  Ord  p )
116 ordirr 5456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Ord  p  ->  -.  p  e.  p )
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( p  e.  On  ->  -.  p  e.  p )
118 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( dom  a  =  p  -> 
( p  e.  dom  a 
<->  p  e.  p ) )
119118notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( dom  a  =  p  -> 
( -.  p  e. 
dom  a  <->  -.  p  e.  p ) )
120119biimparc 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( -.  p  e.  p  /\  dom  a  =  p )  ->  -.  p  e.  dom  a )
121117, 120sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  -.  p  e.  dom  a )
122 ndmfv 5901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  p  e.  dom  a  ->  ( a `  p
)  =  (/) )
123 eqtr2 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( a `  p
)  =  (/)  /\  (
a `  p )  =  ( b `  p ) )  ->  (/)  =  ( b `  p ) )
124 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (/)  =  ( b `  p )  ->  ( (/) 
e.  A  <->  ( b `  p )  e.  A
) )
125124biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (/)  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) )
126123, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( a `  p
)  =  (/)  /\  (
a `  p )  =  ( b `  p ) )  -> 
( ( b `  p )  e.  A  -> 
(/)  e.  A )
)
127126ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a `  p )  =  (/)  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
128121, 122, 1273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  ( (
a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
129128com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( p  e.  On  /\  dom  a  =  p
)  ->  ( (
b `  p )  e.  A  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
130114, 129sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  e.  On  /\  a : p --> A )  ->  ( ( b `
 p )  e.  A  ->  ( (
a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
131130adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  a : p --> A )  ->  (
( b `  p
)  e.  A  -> 
( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A ) ) )
132113, 131syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  a : p --> A )  ->  (
( b : q --> A  /\  p  e.  q )  ->  (
( a `  p
)  =  ( b `
 p )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
133132exp4b 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( a : p --> A  ->  ( b : q --> A  -> 
( p  e.  q  ->  ( ( a `
 p )  =  ( b `  p
)  ->  (/)  e.  A
) ) ) ) )
134133imp32 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( ( a `  p )  =  ( b `  p )  ->  (/)  e.  A
) ) )
135112, 134syldd 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (/)  e.  A
) ) )
136135com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
p  e.  q  ->  (/) 
e.  A ) ) )
137136imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  ( p  e.  q  ->  (/)  e.  A
) )
138107, 137mtoi 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  q  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  -.  p  e.  q )
139138ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  q  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  p  e.  q )
)
140106, 139syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  p  e.  q )
)
141 onss 6627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  On  ->  p  C_  On )
142 ssralv 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p 
C_  On  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  On  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x
)  =  ( b `
 x ) ) )
144143ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) )
145 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  q  ->  (
a `  x )  =  ( a `  q ) )
146 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  q  ->  (
b `  x )  =  ( b `  q ) )
147145, 146eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  q  ->  (
( a `  x
)  =  ( b `
 x )  <->  ( a `  q )  =  ( b `  q ) ) )
148147rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  ( a `  x
)  =  ( b `
 x )  -> 
( a `  q
)  =  ( b `
 q ) ) )
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
a `  q )  =  ( b `  q ) ) ) )
150 ffvelrn 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( a : p --> A  /\  q  e.  p )  ->  ( a `  q
)  e.  A )
151 fdm 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( b : q --> A  ->  dom  b  =  q
)
152 eloni 5448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( q  e.  On  ->  Ord  q )
153 ordirr 5456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Ord  q  ->  -.  q  e.  q )
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( q  e.  On  ->  -.  q  e.  q )
155 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( dom  b  =  q  -> 
( q  e.  dom  b 
<->  q  e.  q ) )
156155notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( dom  b  =  q  -> 
( -.  q  e. 
dom  b  <->  -.  q  e.  q ) )
157156biimparc 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( -.  q  e.  q  /\  dom  b  =  q )  ->  -.  q  e.  dom  b )
158 ndmfv 5901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( -.  q  e.  dom  b  ->  ( b `  q
)  =  (/) )
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( -.  q  e.  q  /\  dom  b  =  q )  ->  (
b `  q )  =  (/) )
160154, 159sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( q  e.  On  /\  dom  b  =  q
)  ->  ( b `  q )  =  (/) )
161 eqtr 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( a `  q
)  =  ( b `
 q )  /\  ( b `  q
)  =  (/) )  -> 
( a `  q
)  =  (/) )
162 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( a `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  <->  (/)  e.  A
) )
163162biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( a `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  ->  (/)  e.  A
) )
164161, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( a `  q
)  =  ( b `
 q )  /\  ( b `  q
)  =  (/) )  -> 
( ( a `  q )  e.  A  -> 
(/)  e.  A )
)
165164expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( b `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  ->  (/) 
e.  A ) ) )
166165com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( b `  q )  =  (/)  ->  ( ( a `  q )  e.  A  ->  (
( a `  q
)  =  ( b `
 q )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
167160, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( q  e.  On  /\  dom  b  =  q
)  ->  ( (
a `  q )  e.  A  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A
) ) )
168167adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  dom  b  =  q )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  -> 
( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) )
169151, 168sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  b : q --> A )  ->  (
( a `  q
)  e.  A  -> 
( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) )
170150, 169syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  b : q --> A )  ->  (
( a : p --> A  /\  q  e.  p )  ->  (
( a `  q
)  =  ( b `
 q )  ->  (/) 
e.  A ) ) )
171170exp4b 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( b : q --> A  ->  ( a : p --> A  -> 
( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) ) ) )
172171com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( a : p --> A  ->  ( b : q --> A  -> 
( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A ) ) ) ) )
173172imp32 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( ( a `  q )  =  ( b `  q )  ->  (/)  e.  A
) ) )
174149, 173syldd 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( q  e.  p  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (/)  e.  A
) ) )
175174com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
q  e.  p  ->  (/) 
e.  A ) ) )
176175imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  ( q  e.  p  ->  (/)  e.  A
) )
177107, 176mtoi 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  (
a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  -.  q  e.  p )
178177ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  p  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  q  e.  p )
)
179144, 178syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  -.  q  e.  p )
)
180140, 179jcad 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p
) ) )
181 ordtri3or 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Ord  p  /\  Ord  q )  ->  (
p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )
182115, 152, 181syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p
) )
183182adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p ) )
184 3orel13 30344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  p  e.  q  /\  -.  q  e.  p )  ->  (
( p  e.  q  \/  p  =  q  \/  q  e.  p
)  ->  p  =  q ) )
185180, 183, 184syl6ci 67 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  p  =  q ) )
186185, 144jcad 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  (
p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
187 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a : p --> A  -> 
a  Fn  p )
188 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b : q --> A  -> 
b  Fn  q )
189 eqfnfv2 5988 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  Fn  p  /\  b  Fn  q )  ->  ( a  =  b  <-> 
( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
190187, 188, 189syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( a  =  b  <->  ( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
191190adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( a  =  b  <->  ( p  =  q  /\  A. x  e.  p  ( a `  x )  =  ( b `  x ) ) ) )
192186, 191sylibrd 237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  /\  ( a : p --> A  /\  b : q --> A ) )  ->  ( A. x  e.  On  (
a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
193192ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  On  /\  q  e.  On )  ->  ( ( a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) ) )
194193rexlimivv 2922 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  On  E. q  e.  On  (
a : p --> A  /\  b : q --> A )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
195102, 194sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( a `  x )  =  ( b `  x )  ->  a  =  b ) )
19685, 195syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  ( a `  x )  =  ( b `  x ) )  ->  a  =  b ) )
19775, 196sylbird 238 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( A. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y )  =  ( b `  y )  ->  -.  ( (
a `  x ) R ( b `  x )  \/  (
b `  x ) R ( a `  x ) ) )  ->  a  =  b ) )
19864, 197syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( a `  y
)  =  ( b `
 y )  /\  ( a `  x
) R ( b `
 x ) )  \/  E. x  e.  On  ( A. y  e.  x  ( b `  y )  =  ( a `  y )  /\  ( b `  x ) R ( a `  x ) ) )  ->  a  =  b ) )
19953, 198sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( -.  ( a S b  \/  b S a )  -> 
a  =  b ) )
200199orrd 379 . . . 4  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b ) )
201 3orcomb 992 . . . . 5  |-  ( ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a )  <-> 
( a S b  \/  b S a  \/  a  =  b ) )
202 df-3or 983 . . . . 5  |-  ( ( a S b  \/  b S a  \/  a  =  b )  <-> 
( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b ) )
203201, 202bitr2i 253 . . . 4  |-  ( ( ( a S b  \/  b S a )  \/  a  =  b )  <->  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) )
204200, 203sylib 199 . . 3  |-  ( ( a  e.  F  /\  b  e.  F )  ->  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) )
205204rgen2a 2852 . 2  |-  A. a  e.  F  A. b  e.  F  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a )
206 df-so 4771 . 2  |-  ( S  Or  F  <->  ( S  Po  F  /\  A. a  e.  F  A. b  e.  F  ( a S b  \/  a  =  b  \/  b S a ) ) )
2076, 205, 206mpbir2an 928 1  |-  S  Or  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   [.wsbc 3299    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996   class class class wbr 4420   {copab 4478    Po wpo 4768    Or wor 4769   dom cdm 4849   Ord word 5437   Oncon0 5438    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-ord 5441  df-on 5442  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-fv 5605
This theorem is referenced by:  sltso  30550
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