Theorem soseq 25468

Description: A linear ordering of sequences of ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
soseq.1	|- R Or ( A u. { (/) } )
soseq.2	|- F = { f | E. x e. On f : x --> A }
soseq.3	|- S = { <. f , g >. | ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) }
soseq.4	|- -. (/) e. A

Assertion

Ref	Expression
soseq	|- S Or F

Distinct variable groups:   A, f, x, y   f, F, g, x   y, f, g, x   R, f, g, x

Allowed substitution hints:   A( g)   R( y)   S( x, y, f, g)   F( y)

Proof of Theorem soseq

Dummy variables a b p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soseq.1	. . . 4 |- R Or ( A u. { (/) } )
2		sopo 4480	. . . 4 |- ( R Or ( A u. { (/) } ) -> R Po ( A u. { (/) } ) )
3	1, 2	ax-mp 8	. . 3 |- R Po ( A u. { (/) } )
4		soseq.2	. . 3 |- F = { f | E. x e. On f : x --> A }
5		soseq.3	. . 3 |- S = { <. f , g >. | ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) }
6	3, 4, 5	poseq 25467	. 2 |- S Po F
7		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = a -> ( f e. F <-> a e. F ) )
8	7	anbi1d 686	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = a -> ( ( f e. F /\ g e. F ) <-> ( a e. F /\ g e. F ) ) )
9		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = a -> ( f ` y ) = ( a ` y ) )
10	9	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = a -> ( ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> ( a ` y ) = ( g ` y ) ) )
11	10	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = a -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) ) )
12		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = a -> ( f ` x ) = ( a ` x ) )
13	12	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = a -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( a ` x ) R ( g ` x ) ) )
14	11, 13	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = a -> ( ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) )
15	14	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = a -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) )
16	8, 15	anbi12d 692	. . . . . . . . . 10 |- ( f = a -> ( ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) ) )
17		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = b -> ( g e. F <-> b e. F ) )
18	17	anbi2d 685	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = b -> ( ( a e. F /\ g e. F ) <-> ( a e. F /\ b e. F ) ) )
19		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = b -> ( g ` y ) = ( b ` y ) )
20	19	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = b -> ( ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> ( a ` y ) = ( b ` y ) ) )
21	20	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = b -> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) ) )
22		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = b -> ( g ` x ) = ( b ` x ) )
23	22	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = b -> ( ( a ` x ) R ( g ` x ) <-> ( a ` x ) R ( b ` x ) ) )
24	21, 23	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = b -> ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) ) )
25	24	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = b -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) ) )
26	18, 25	anbi12d 692	. . . . . . . . . 10 |- ( g = b -> ( ( ( a e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( g ` y ) /\ ( a ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) ) ) )
27	16, 26, 5	brabg 4434	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( a S b <-> ( ( a e. F /\ b e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) ) ) )
28	27	bianabs 851	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( a S b <-> E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) ) )
29		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = b -> ( f e. F <-> b e. F ) )
30	29	anbi1d 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = b -> ( ( f e. F /\ g e. F ) <-> ( b e. F /\ g e. F ) ) )
31		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = b -> ( f ` y ) = ( b ` y ) )
32	31	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = b -> ( ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> ( b ` y ) = ( g ` y ) ) )
33	32	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = b -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) ) )
34		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = b -> ( f ` x ) = ( b ` x ) )
35	34	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = b -> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) <-> ( b ` x ) R ( g ` x ) ) )
36	33, 35	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = b -> ( ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` x ) R ( g ` x ) ) ) )
37	36	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = b -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` x ) R ( g ` x ) ) ) )
38	30, 37	anbi12d 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = b -> ( ( ( f e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( f ` y ) = ( g ` y ) /\ ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( b e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` x ) R ( g ` x ) ) ) ) )
39		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = a -> ( g e. F <-> a e. F ) )
40	39	anbi2d 685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = a -> ( ( b e. F /\ g e. F ) <-> ( b e. F /\ a e. F ) ) )
41		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = a -> ( g ` y ) = ( a ` y ) )
42	41	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = a -> ( ( b ` y ) = ( g ` y ) <-> ( b ` y ) = ( a ` y ) ) )
43	42	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = a -> ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) <-> A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) ) )
44		fveq1 5686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = a -> ( g ` x ) = ( a ` x ) )
45	44	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = a -> ( ( b ` x ) R ( g ` x ) <-> ( b ` x ) R ( a ` x ) ) )
46	43, 45	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = a -> ( ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` x ) R ( g ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
47	46	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = a -> ( E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` x ) R ( g ` x ) ) <-> E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
48	40, 47	anbi12d 692	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = a -> ( ( ( b e. F /\ g e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( g ` y ) /\ ( b ` x ) R ( g ` x ) ) ) <-> ( ( b e. F /\ a e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) )
49	38, 48, 5	brabg 4434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. F /\ a e. F ) -> ( b S a <-> ( ( b e. F /\ a e. F ) /\ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) )
50	49	bianabs 851	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. F /\ a e. F ) -> ( b S a <-> E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
51	50	ancoms 440	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( b S a <-> E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
52	28, 51	orbi12d 691	. . . . . . 7 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( ( a S b \/ b S a ) <-> ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) )
53	52	notbid 286	. . . . . 6 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( -. ( a S b \/ b S a ) <-> -. ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) )
54		ralinexa 2711	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> -. E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
55		andi 838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
56		eqcom 2406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a ` y ) = ( b ` y ) <-> ( b ` y ) = ( a ` y ) )
57	56	ralbii 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) <-> A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) )
58	57	anbi1i 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) )
59	58	orbi2i 506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
60	55, 59	bitri 241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
61	60	rexbii 2691	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> E. x e. On ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
62		r19.43 2823	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. On ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
63	61, 62	bitri 241	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
64	54, 63	xchbinx 302	. . . . . . 7 |- ( A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) <-> -. ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
65		feq2 5536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( f : x --> A <-> f : y --> A ) )
66	65	cbvrexv 2893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. x e. On f : x --> A <-> E. y e. On f : y --> A )
67	66	abbii 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- { f | E. x e. On f : x --> A } = { f | E. y e. On f : y --> A }
68	4, 67	eqtri 2424	. . . . . . . . . . . 12 |- F = { f | E. y e. On f : y --> A }
69	68	orderseqlem 25466	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. F -> ( a ` x ) e. ( A u. { (/) } ) )
70	68	orderseqlem 25466	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. F -> ( b ` x ) e. ( A u. { (/) } ) )
71		sotrieq 4490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Or ( A u. { (/) } ) /\ ( ( a ` x ) e. ( A u. { (/) } ) /\ ( b ` x ) e. ( A u. { (/) } ) ) ) -> ( ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
72	1, 71	mpan 652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a ` x ) e. ( A u. { (/) } ) /\ ( b ` x ) e. ( A u. { (/) } ) ) -> ( ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
73	69, 70, 72	syl2an 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) )
74	73	imbi2d 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) )
75	74	ralbidv 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) <-> A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) ) )
76		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
77		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( a ` x ) = ( a ` y ) )
78		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( b ` x ) = ( b ` y ) )
79	77, 78	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> ( a ` y ) = ( b ` y ) ) )
80	76, 79	sbcie 3155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. y / x ]. ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> ( a ` y ) = ( b ` y ) )
81	80	ralbii 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. x [. y / x ]. ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) )
82	81	imbi1i 316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. x [. y / x ]. ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) <-> ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
83	82	ralbii 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) <-> A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
84		tfisg 25418	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. On ( A. y e. x [. y / x ]. ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) )
85	83, 84	sylbir 205	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) )
86		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- a e. _V
87		feq1 5535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = a -> ( f : x --> A <-> a : x --> A ) )
88	87	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = a -> ( E. x e. On f : x --> A <-> E. x e. On a : x --> A ) )
89	86, 88, 4	elab2 3045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. F <-> E. x e. On a : x --> A )
90		feq2 5536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = p -> ( a : x --> A <-> a : p --> A ) )
91	90	cbvrexv 2893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. On a : x --> A <-> E. p e. On a : p --> A )
92	89, 91	bitri 241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. F <-> E. p e. On a : p --> A )
93		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- b e. _V
94		feq1 5535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = b -> ( f : x --> A <-> b : x --> A ) )
95	94	rexbidv 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = b -> ( E. x e. On f : x --> A <-> E. x e. On b : x --> A ) )
96	93, 95, 4	elab2 3045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. F <-> E. x e. On b : x --> A )
97		feq2 5536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = q -> ( b : x --> A <-> b : q --> A ) )
98	97	cbvrexv 2893	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. x e. On b : x --> A <-> E. q e. On b : q --> A )
99	96, 98	bitri 241	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. F <-> E. q e. On b : q --> A )
100	92, 99	anbi12i 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) <-> ( E. p e. On a : p --> A /\ E. q e. On b : q --> A ) )
101		reeanv 2835	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. p e. On E. q e. On ( a : p --> A /\ b : q --> A ) <-> ( E. p e. On a : p --> A /\ E. q e. On b : q --> A ) )
102	100, 101	bitr4i 244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) <-> E. p e. On E. q e. On ( a : p --> A /\ b : q --> A ) )
103		onss 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. On -> q C_ On )
104		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q C_ On -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q e. On -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
106	105	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
107		soseq.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -. (/) e. A
108		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = p -> ( a ` x ) = ( a ` p ) )
109		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = p -> ( b ` x ) = ( b ` p ) )
110	108, 109	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = p -> ( ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> ( a ` p ) = ( b ` p ) ) )
111	110	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. q -> ( A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` p ) = ( b ` p ) ) )
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( p e. q -> ( A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` p ) = ( b ` p ) ) ) )
113		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( b : q --> A /\ p e. q ) -> ( b ` p ) e. A )
114		fdm 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( a : p --> A -> dom a = p )
115		eloni 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( p e. On -> Ord p )
116		ordirr 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( Ord p -> -. p e. p )
117	115, 116	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( p e. On -> -. p e. p )
118		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( dom a = p -> ( p e. dom a <-> p e. p ) )
119	118	notbid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( dom a = p -> ( -. p e. dom a <-> -. p e. p ) )
120	119	biimparc 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( -. p e. p /\ dom a = p ) -> -. p e. dom a )
121	117, 120	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( p e. On /\ dom a = p ) -> -. p e. dom a )
122		ndmfv 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( -. p e. dom a -> ( a ` p ) = (/) )
123		eqtr2 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( a ` p ) = (/) /\ ( a ` p ) = ( b ` p ) ) -> (/) = ( b ` p ) )
124		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( (/) = ( b ` p ) -> ( (/) e. A <-> ( b ` p ) e. A ) )
125	124	biimprd 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( (/) = ( b ` p ) -> ( ( b ` p ) e. A -> (/) e. A ) )
126	123, 125	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( a ` p ) = (/) /\ ( a ` p ) = ( b ` p ) ) -> ( ( b ` p ) e. A -> (/) e. A ) )
127	126	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( a ` p ) = (/) -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> ( ( b ` p ) e. A -> (/) e. A ) ) )
128	121, 122, 127	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( p e. On /\ dom a = p ) -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> ( ( b ` p ) e. A -> (/) e. A ) ) )
129	128	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( p e. On /\ dom a = p ) -> ( ( b ` p ) e. A -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> (/) e. A ) ) )
130	114, 129	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( p e. On /\ a : p --> A ) -> ( ( b ` p ) e. A -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> (/) e. A ) ) )
131	130	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ a : p --> A ) -> ( ( b ` p ) e. A -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> (/) e. A ) ) )
132	113, 131	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ a : p --> A ) -> ( ( b : q --> A /\ p e. q ) -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> (/) e. A ) ) )
133	132	exp4b 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( p e. On /\ q e. On ) -> ( a : p --> A -> ( b : q --> A -> ( p e. q -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> (/) e. A ) ) ) ) )
134	133	imp32 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( p e. q -> ( ( a ` p ) = ( b ` p ) -> (/) e. A ) ) )
135	112, 134	syldd 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( p e. q -> ( A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) -> (/) e. A ) ) )
136	135	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( p e. q -> (/) e. A ) ) )
137	136	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) /\ A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> ( p e. q -> (/) e. A ) )
138	107, 137	mtoi 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) /\ A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> -. p e. q )
139	138	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. q ( a ` x ) = ( b ` x ) -> -. p e. q ) )
140	106, 139	syld 42	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> -. p e. q ) )
141		onss 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p e. On -> p C_ On )
142		ssralv 3367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p C_ On -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
143	141, 142	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p e. On -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
144	143	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) )
145		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = q -> ( a ` x ) = ( a ` q ) )
146		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = q -> ( b ` x ) = ( b ` q ) )
147	145, 146	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = q -> ( ( a ` x ) = ( b ` x ) <-> ( a ` q ) = ( b ` q ) ) )
148	147	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( q e. p -> ( A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` q ) = ( b ` q ) ) )
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( q e. p -> ( A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( a ` q ) = ( b ` q ) ) ) )
150		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( a : p --> A /\ q e. p ) -> ( a ` q ) e. A )
151		fdm 5554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( b : q --> A -> dom b = q )
152		eloni 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( q e. On -> Ord q )
153		ordirr 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( Ord q -> -. q e. q )
154	152, 153	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( q e. On -> -. q e. q )
155		eleq2 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( dom b = q -> ( q e. dom b <-> q e. q ) )
156	155	notbid 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( dom b = q -> ( -. q e. dom b <-> -. q e. q ) )
157	156	biimparc 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( -. q e. q /\ dom b = q ) -> -. q e. dom b )
158		ndmfv 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( -. q e. dom b -> ( b ` q ) = (/) )
159	157, 158	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( -. q e. q /\ dom b = q ) -> ( b ` q ) = (/) )
160	154, 159	sylan 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( q e. On /\ dom b = q ) -> ( b ` q ) = (/) )
161		eqtr 2421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( a ` q ) = ( b ` q ) /\ ( b ` q ) = (/) ) -> ( a ` q ) = (/) )
162		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( a ` q ) = (/) -> ( ( a ` q ) e. A <-> (/) e. A ) )
163	162	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( a ` q ) = (/) -> ( ( a ` q ) e. A -> (/) e. A ) )
164	161, 163	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( a ` q ) = ( b ` q ) /\ ( b ` q ) = (/) ) -> ( ( a ` q ) e. A -> (/) e. A ) )
165	164	expcom 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( b ` q ) = (/) -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> ( ( a ` q ) e. A -> (/) e. A ) ) )
166	165	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( b ` q ) = (/) -> ( ( a ` q ) e. A -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) )
167	160, 166	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( q e. On /\ dom b = q ) -> ( ( a ` q ) e. A -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) )
168	167	adantll 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ dom b = q ) -> ( ( a ` q ) e. A -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) )
169	151, 168	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ b : q --> A ) -> ( ( a ` q ) e. A -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) )
170	150, 169	syl5 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ b : q --> A ) -> ( ( a : p --> A /\ q e. p ) -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) )
171	170	exp4b 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( p e. On /\ q e. On ) -> ( b : q --> A -> ( a : p --> A -> ( q e. p -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) ) ) )
172	171	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( p e. On /\ q e. On ) -> ( a : p --> A -> ( b : q --> A -> ( q e. p -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) ) ) )
173	172	imp32 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( q e. p -> ( ( a ` q ) = ( b ` q ) -> (/) e. A ) ) )
174	149, 173	syldd 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( q e. p -> ( A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) -> (/) e. A ) ) )
175	174	com23 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( q e. p -> (/) e. A ) ) )
176	175	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) /\ A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> ( q e. p -> (/) e. A ) )
177	107, 176	mtoi 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) /\ A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> -. q e. p )
178	177	ex 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) -> -. q e. p ) )
179	144, 178	syld 42	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> -. q e. p ) )
180	140, 179	jcad 520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( -. p e. q /\ -. q e. p ) ) )
181		ordtri3or 4573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord p /\ Ord q ) -> ( p e. q \/ p = q \/ q e. p ) )
182	115, 152, 181	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. On /\ q e. On ) -> ( p e. q \/ p = q \/ q e. p ) )
183	182	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( p e. q \/ p = q \/ q e. p ) )
184	180, 183	jctird 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( ( -. p e. q /\ -. q e. p ) /\ ( p e. q \/ p = q \/ q e. p ) ) ) )
185		3orel13 25127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. p e. q /\ -. q e. p ) -> ( ( p e. q \/ p = q \/ q e. p ) -> p = q ) )
186	185	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. p e. q /\ -. q e. p ) /\ ( p e. q \/ p = q \/ q e. p ) ) -> p = q )
187	184, 186	syl6 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> p = q ) )
188	187, 144	jcad 520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> ( p = q /\ A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) ) )
189		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a : p --> A -> a Fn p )
190		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b : q --> A -> b Fn q )
191		eqfnfv2 5787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a Fn p /\ b Fn q ) -> ( a = b <-> ( p = q /\ A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) ) )
192	189, 190, 191	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a : p --> A /\ b : q --> A ) -> ( a = b <-> ( p = q /\ A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) ) )
193	192	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( a = b <-> ( p = q /\ A. x e. p ( a ` x ) = ( b ` x ) ) ) )
194	188, 193	sylibrd 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( p e. On /\ q e. On ) /\ ( a : p --> A /\ b : q --> A ) ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> a = b ) )
195	194	ex 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. On /\ q e. On ) -> ( ( a : p --> A /\ b : q --> A ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> a = b ) ) )
196	195	rexlimivv 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( E. p e. On E. q e. On ( a : p --> A /\ b : q --> A ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> a = b ) )
197	102, 196	sylbi 188	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( A. x e. On ( a ` x ) = ( b ` x ) -> a = b ) )
198	85, 197	syl5 30	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> ( a ` x ) = ( b ` x ) ) -> a = b ) )
199	75, 198	sylbird 227	. . . . . . 7 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( A. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) -> -. ( ( a ` x ) R ( b ` x ) \/ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) -> a = b ) )
200	64, 199	syl5bir 210	. . . . . 6 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( -. ( E. x e. On ( A. y e. x ( a ` y ) = ( b ` y ) /\ ( a ` x ) R ( b ` x ) ) \/ E. x e. On ( A. y e. x ( b ` y ) = ( a ` y ) /\ ( b ` x ) R ( a ` x ) ) ) -> a = b ) )
201	53, 200	sylbid 207	. . . . 5 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( -. ( a S b \/ b S a ) -> a = b ) )
202	201	orrd 368	. . . 4 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( ( a S b \/ b S a ) \/ a = b ) )
203		3orcomb 946	. . . . 5 |- ( ( a S b \/ a = b \/ b S a ) <-> ( a S b \/ b S a \/ a = b ) )
204		df-3or 937	. . . . 5 |- ( ( a S b \/ b S a \/ a = b ) <-> ( ( a S b \/ b S a ) \/ a = b ) )
205	203, 204	bitr2i 242	. . . 4 |- ( ( ( a S b \/ b S a ) \/ a = b ) <-> ( a S b \/ a = b \/ b S a ) )
206	202, 205	sylib 189	. . 3 |- ( ( a e. F /\ b e. F ) -> ( a S b \/ a = b \/ b S a ) )
207	206	rgen2a 2732	. 2 |- A. a e. F A. b e. F ( a S b \/ a = b \/ b S a )
208		df-so 4464	. 2 |- ( S Or F <-> ( S Po F /\ A. a e. F A. b e. F ( a S b \/ a = b \/ b S a ) ) )
209	6, 207, 208	mpbir2an 887	1 |- S Or F

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   \/ w3o 935   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   [.wsbc 3121   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   {copab 4225   Po wpo 4461   Or wor 4462   Ord word 4540   Oncon0 4541   dom cdm 4837   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413

This theorem is referenced by:  sltso  25537

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421