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Theorem sorpssuni 6474
Description: In a chain of sets, a maximal element is the union of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpssuni  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  <->  U. Y  e.  Y ) )
Distinct variable group:    u, Y, v

Proof of Theorem sorpssuni
StepHypRef Expression
1 sorpssi 6471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
21anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3 sspss 3558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  v  <->  ( u  C.  v  \/  u  =  v ) )
4 orel1 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  u  C.  v  ->  ( ( u  C.  v  \/  u  =  v
)  ->  u  =  v ) )
5 eqimss2 3512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  v  C_  u )
64, 5syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  C.  v  \/  u  =  v )  ->  ( -.  u  C.  v  ->  v  C_  u
) )
73, 6sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  v  ->  ( -.  u  C.  v  -> 
v  C_  u )
)
8 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( v 
C_  u  ->  ( -.  u  C.  v  -> 
v  C_  u )
)
97, 8jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  -> 
( -.  u  C.  v  ->  v  C_  u
) )
102, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  ( -.  u  C.  v  -> 
v  C_  u )
)
1110ralimdva 2829 . . . . . . 7  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  ->  A. v  e.  Y  v  C_  u ) )
12113impia 1185 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  A. v  e.  Y  v  C_  u )
13 unissb 4226 . . . . . 6  |-  ( U. Y  C_  u  <->  A. v  e.  Y  v  C_  u )
1412, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  U. Y  C_  u )
15 elssuni 4224 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Y  ->  u  C_ 
U. Y )
16153ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  u  C_  U. Y )
1714, 16eqssd 3476 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  U. Y  =  u
)
18 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  u  e.  Y )
1917, 18eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( ( [
C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  U. Y  e.  Y
)
2019rexlimdv3a 2943 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  ->  U. Y  e.  Y ) )
21 elssuni 4224 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  ->  v  C_ 
U. Y )
22 ssnpss 3562 . . . . 5  |-  ( v 
C_  U. Y  ->  -.  U. Y  C.  v )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( v  e.  Y  ->  -.  U. Y  C.  v )
2423rgen 2893 . . 3  |-  A. v  e.  Y  -.  U. Y  C.  v
25 psseq1 3546 . . . . . 6  |-  ( u  =  U. Y  -> 
( u  C.  v  <->  U. Y  C.  v )
)
2625notbid 294 . . . . 5  |-  ( u  =  U. Y  -> 
( -.  u  C.  v 
<->  -.  U. Y  C.  v ) )
2726ralbidv 2843 . . . 4  |-  ( u  =  U. Y  -> 
( A. v  e.  Y  -.  u  C.  v 
<-> 
A. v  e.  Y  -.  U. Y  C.  v
) )
2827rspcev 3173 . . 3  |-  ( ( U. Y  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  U. Y  C.  v
)  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )
2924, 28mpan2 671 . 2  |-  ( U. Y  e.  Y  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )
3020, 29impbid1 203 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  <->  U. Y  e.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796   E.wrex 2797    C_ wss 3431    C. wpss 3432   U.cuni 4194    Or wor 4743   [ C.] crpss 6464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-rpss 6465
This theorem is referenced by:  fin2i2  8593  isfin2-2  8594  fin12  8688
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