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Theorem sorpssuni 6588
Description: In a chain of sets, a maximal element is the union of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpssuni  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  <->  U. Y  e.  Y ) )
Distinct variable group:    u, Y, v

Proof of Theorem sorpssuni
StepHypRef Expression
1 sorpssi 6585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
21anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3 sspss 3599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  v  <->  ( u  C.  v  \/  u  =  v ) )
4 orel1 382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  u  C.  v  ->  ( ( u  C.  v  \/  u  =  v
)  ->  u  =  v ) )
5 eqimss2 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  v  ->  v  C_  u )
64, 5syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  C.  v  \/  u  =  v )  ->  ( -.  u  C.  v  ->  v  C_  u
) )
73, 6sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  v  ->  ( -.  u  C.  v  -> 
v  C_  u )
)
8 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( v 
C_  u  ->  ( -.  u  C.  v  -> 
v  C_  u )
)
97, 8jaoi 379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  -> 
( -.  u  C.  v  ->  v  C_  u
) )
102, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  v  e.  Y )  ->  ( -.  u  C.  v  -> 
v  C_  u )
)
1110ralimdva 2865 . . . . . . 7  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  ->  A. v  e.  Y  v  C_  u ) )
12113impia 1193 . . . . . 6  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  A. v  e.  Y  v  C_  u )
13 unissb 4283 . . . . . 6  |-  ( U. Y  C_  u  <->  A. v  e.  Y  v  C_  u )
1412, 13sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  U. Y  C_  u )
15 elssuni 4281 . . . . . 6  |-  ( u  e.  Y  ->  u  C_ 
U. Y )
16153ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  u  C_ 
U. Y )
1714, 16eqssd 3516 . . . 4  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  U. Y  =  u )
18 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  u  e.  Y )
1917, 18eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  u  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )  ->  U. Y  e.  Y )
2019rexlimdv3a 2951 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  ->  U. Y  e.  Y ) )
21 elssuni 4281 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  ->  v  C_ 
U. Y )
22 ssnpss 3603 . . . . 5  |-  ( v 
C_  U. Y  ->  -.  U. Y  C.  v )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( v  e.  Y  ->  -.  U. Y  C.  v )
2423rgen 2817 . . 3  |-  A. v  e.  Y  -.  U. Y  C.  v
25 psseq1 3587 . . . . . 6  |-  ( u  =  U. Y  -> 
( u  C.  v  <->  U. Y  C.  v )
)
2625notbid 294 . . . . 5  |-  ( u  =  U. Y  -> 
( -.  u  C.  v 
<->  -.  U. Y  C.  v ) )
2726ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( u  =  U. Y  -> 
( A. v  e.  Y  -.  u  C.  v 
<-> 
A. v  e.  Y  -.  U. Y  C.  v
) )
2827rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( U. Y  e.  Y  /\  A. v  e.  Y  -.  U. Y  C.  v
)  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )
2924, 28mpan2 671 . 2  |-  ( U. Y  e.  Y  ->  E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v )
3020, 29impbid1 203 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( E. u  e.  Y  A. v  e.  Y  -.  u  C.  v  <->  U. Y  e.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471    C. wpss 3472   U.cuni 4251    Or wor 4808   [ C.] crpss 6578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-rpss 6579
This theorem is referenced by:  fin2i2  8715  isfin2-2  8716  fin12  8810
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