Theorem sorpsscmpl 6614

Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sorpsscmpl	|- ( [ C.] Or Y -> [ C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } )

Distinct variable groups:   u, Y   u, A

Proof of Theorem sorpsscmpl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3557	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( A \ u ) = ( A \ x ) )
2	1	eleq1d 2524	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( ( A \ u ) e. Y <-> ( A \ x ) e. Y ) )
3	2	elrab 3208	. . . . 5 |- ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) )
4		difeq2 3557	. . . . . . 7 |- ( u = y -> ( A \ u ) = ( A \ y ) )
5	4	eleq1d 2524	. . . . . 6 |- ( u = y -> ( ( A \ u ) e. Y <-> ( A \ y ) e. Y ) )
6	5	elrab 3208	. . . . 5 |- ( y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) )
7		an4 838	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) /\ ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) <-> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) )
8	7	biimpi 199	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ~P A /\ ( A \ x ) e. Y ) /\ ( y e. ~P A /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) )
9	3, 6, 8	syl2anb 486	. . . 4 |- ( ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } /\ y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) )
10		sorpssi 6609	. . . . . . . 8 |- ( ( [ C.] Or Y /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) )
11	10	expcom 441	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( [ C.] Or Y -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) ) )
12		selpw 3970	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
13		dfss4 3689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x C_ A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
14	12, 13	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P A <-> ( A \ ( A \ x ) ) = x )
15		selpw 3970	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P A <-> y C_ A )
16		dfss4 3689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ A <-> ( A \ ( A \ y ) ) = y )
17	15, 16	bitri 257	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P A <-> ( A \ ( A \ y ) ) = y )
18		sscon 3579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) -> ( A \ ( A \ x ) ) C_ ( A \ ( A \ y ) ) )
19		sseq12 3467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ ( A \ x ) ) C_ ( A \ ( A \ y ) ) <-> x C_ y ) )
20	18, 19	syl5ib 227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) -> x C_ y ) )
21		sscon 3579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) -> ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) )
22		sseq12 3467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A \ ( A \ y ) ) = y /\ ( A \ ( A \ x ) ) = x ) -> ( ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) <-> y C_ x ) )
23	22	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ ( A \ y ) ) C_ ( A \ ( A \ x ) ) <-> y C_ x ) )
24	21, 23	syl5ib 227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) -> y C_ x ) )
25	20, 24	orim12d 854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ ( A \ x ) ) = x /\ ( A \ ( A \ y ) ) = y ) -> ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
26	14, 17, 25	syl2anb 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
27	26	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A \ y ) C_ ( A \ x ) \/ ( A \ x ) C_ ( A \ y ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
28	27	orcoms 395	. . . . . . 7 |- ( ( ( A \ x ) C_ ( A \ y ) \/ ( A \ y ) C_ ( A \ x ) ) -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
29	11, 28	syl6 34	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( [ C.] Or Y -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) )
30	29	com3l 84	. . . . 5 |- ( [ C.] Or Y -> ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) -> ( ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) ) )
31	30	impd 437	. . . 4 |- ( [ C.] Or Y -> ( ( ( x e. ~P A /\ y e. ~P A ) /\ ( ( A \ x ) e. Y /\ ( A \ y ) e. Y ) ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
32	9, 31	syl5 33	. . 3 |- ( [ C.] Or Y -> ( ( x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } /\ y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ) -> ( x C_ y \/ y C_ x ) ) )
33	32	ralrimivv 2820	. 2 |- ( [ C.] Or Y -> A. x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } A. y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ( x C_ y \/ y C_ x ) )
34		sorpss 6608	. 2 |- ( [ C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } <-> A. x e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } A. y e. { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } ( x C_ y \/ y C_ x ) )
35	33, 34	sylibr 217	1 |- ( [ C.] Or Y -> [ C.] Or { u e. ~P A | ( A \ u ) e. Y } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   {crab 2753   \ cdif 3413   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   Or wor 4776   [ C.] crpss 6602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4419  df-opab 4478  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-rpss 6603

This theorem is referenced by:  fin2i2  8779  isfin2-2  8780