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Theorem sorpsscmpl 6614
Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpsscmpl  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Distinct variable groups:    u, Y    u, A

Proof of Theorem sorpsscmpl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3557 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2524 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  x )  e.  Y
) )
32elrab 3208 . . . . 5  |-  ( x  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y ) )
4 difeq2 3557 . . . . . . 7  |-  ( u  =  y  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  y
) )
54eleq1d 2524 . . . . . 6  |-  ( u  =  y  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  y )  e.  Y
) )
65elrab 3208 . . . . 5  |-  ( y  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )
7 an4 838 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
87biimpi 199 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e. 
~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
93, 6, 8syl2anb 486 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A
)  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A 
\  y )  e.  Y ) ) )
10 sorpssi 6609 . . . . . . . 8  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
)  \/  ( A 
\  y )  C_  ( A  \  x
) ) )
1110expcom 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( A  \  x )  C_  ( A  \  y )  \/  ( A  \  y
)  C_  ( A  \  x ) ) ) )
12 selpw 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
13 dfss4 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
1412, 13bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
15 selpw 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
16 dfss4 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
1715, 16bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
18 sscon 3579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  y ) 
C_  ( A  \  x )  ->  ( A  \  ( A  \  x ) )  C_  ( A  \  ( A  \  y ) ) )
19 sseq12 3467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  x ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  y
) )  <->  x  C_  y
) )
2018, 19syl5ib 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  ->  x  C_  y ) )
21 sscon 3579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  x ) 
C_  ( A  \ 
y )  ->  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  C_  ( A  \  ( A  \  x ) ) )
22 sseq12 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  y ) )  =  y  /\  ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2322ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2421, 23syl5ib 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  ->  y  C_  x ) )
2520, 24orim12d 854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2614, 17, 25syl2anb 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2726com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2827orcoms 395 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  \/  ( A  \  y )  C_  ( A  \  x
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2911, 28syl6 34 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  y  e.  ~P A )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3029com3l 84 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3130impd 437 . . . 4  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
329, 31syl5 33 . . 3  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3332ralrimivv 2820 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  A. x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
34 sorpss 6608 . 2  |-  ( [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } 
<-> 
A. x  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
3533, 34sylibr 217 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   {crab 2753    \ cdif 3413    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963    Or wor 4776   [ C.] crpss 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4419  df-opab 4478  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-rpss 6603
This theorem is referenced by:  fin2i2  8779  isfin2-2  8780
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