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Theorem sorpsscmpl 6512
Description: The componentwise complement of a chain of sets is also a chain of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
sorpsscmpl  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Distinct variable groups:    u, Y    u, A

Proof of Theorem sorpsscmpl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difeq2 3547 . . . . . . 7  |-  ( u  =  x  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  x
) )
21eleq1d 2465 . . . . . 6  |-  ( u  =  x  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  x )  e.  Y
) )
32elrab 3199 . . . . 5  |-  ( x  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y ) )
4 difeq2 3547 . . . . . . 7  |-  ( u  =  y  ->  ( A  \  u )  =  ( A  \  y
) )
54eleq1d 2465 . . . . . 6  |-  ( u  =  y  ->  (
( A  \  u
)  e.  Y  <->  ( A  \  y )  e.  Y
) )
65elrab 3199 . . . . 5  |-  ( y  e.  { u  e. 
~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  <->  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )
7 an4 822 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  <->  ( (
x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
87biimpi 194 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  ( A  \  x )  e.  Y
)  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( A  \  y )  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e. 
~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) ) )
93, 6, 8syl2anb 477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A
)  /\  ( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A 
\  y )  e.  Y ) ) )
10 sorpssi 6507 . . . . . . . 8  |-  ( ( [ C.]  Or  Y  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
)  \/  ( A 
\  y )  C_  ( A  \  x
) ) )
1110expcom 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( A  \  x )  C_  ( A  \  y )  \/  ( A  \  y
)  C_  ( A  \  x ) ) ) )
12 selpw 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P A  <->  x  C_  A
)
13 dfss4 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
1412, 13bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  x
) )  =  x )
15 selpw 3951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
16 dfss4 3674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
1715, 16bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  <->  ( A  \  ( A  \  y
) )  =  y )
18 sscon 3569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  y ) 
C_  ( A  \  x )  ->  ( A  \  ( A  \  x ) )  C_  ( A  \  ( A  \  y ) ) )
19 sseq12 3457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  x ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  y
) )  <->  x  C_  y
) )
2018, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  ->  x  C_  y ) )
21 sscon 3569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  \  x ) 
C_  ( A  \ 
y )  ->  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  C_  ( A  \  ( A  \  x ) ) )
22 sseq12 3457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  y ) )  =  y  /\  ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2322ancoms 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  ( A  \  y ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  x
) )  <->  y  C_  x ) )
2421, 23syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  ->  y  C_  x ) )
2520, 24orim12d 836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  ( A  \  x ) )  =  x  /\  ( A  \  ( A  \ 
y ) )  =  y )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2614, 17, 25syl2anb 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \ 
y )  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y ) )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2726com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  \  y
)  C_  ( A  \  x )  \/  ( A  \  x )  C_  ( A  \  y
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2827orcoms 387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  x
)  C_  ( A  \  y )  \/  ( A  \  y )  C_  ( A  \  x
) )  ->  (
( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
2911, 28syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e. 
~P A  /\  y  e.  ~P A )  -> 
( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3029com3l 81 . . . . 5  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) ) )
3130impd 429 . . . 4  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( ( x  e.  ~P A  /\  y  e.  ~P A )  /\  (
( A  \  x
)  e.  Y  /\  ( A  \  y
)  e.  Y ) )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
329, 31syl5 32 . . 3  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  ( ( x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  /\  y  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )  ->  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) ) )
3332ralrimivv 2816 . 2  |-  ( [ C.]  Or  Y  ->  A. x  e.  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
34 sorpss 6506 . 2  |-  ( [ C.]  Or  { u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } 
<-> 
A. x  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } A. y  e.  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y }  ( x  C_  y  \/  y  C_  x ) )
3533, 34sylibr 212 1  |-  ( [ C.]  Or  Y  -> [ C.]  Or  {
u  e.  ~P A  |  ( A  \  u )  e.  Y } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2746   {crab 2750    \ cdif 3403    C_ wss 3406   ~Pcpw 3944    Or wor 4730   [ C.] crpss 6500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pr 4618
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-br 4385  df-opab 4443  df-po 4731  df-so 4732  df-xp 4936  df-rel 4937  df-rpss 6501
This theorem is referenced by:  fin2i2  8633  isfin2-2  8634
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