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Theorem somo 4794
Description: A totally ordered set has at most one minimal element. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
somo  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem somo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
21notbid 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  y R z  <->  -.  x R z ) )
32rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R z  ->  -.  x R z ) )
4 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
54notbid 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  z R x ) )
65rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  ->  -.  z R x ) )
73, 6im2anan9 853 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R z  /\  A. y  e.  A  -.  y R x )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
87ancomsd 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
98imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
10 ioran 498 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  <->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
11 solin 4783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
12 df-3or 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x ) )
13 or32 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x )  <->  ( (
x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1412, 13bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1511, 14sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1615ord 384 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  ->  x  =  z ) )
1710, 16syl5bir 226 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( -.  x R z  /\  -.  z R x )  ->  x  =  z )
)
189, 17syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  x  =  z ) )
1918exp4b 618 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) ) )
2019pm2.43d 49 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) )
2120ralrimivv 2813 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
22 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
2322notbid 301 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
2423ralbidv 2829 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  -.  y R z ) )
2524rmo4 3219 . 2  |-  ( E* x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
2621, 25sylibr 217 1  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    e. wcel 1904   A.wral 2756   E*wrmo 2759   class class class wbr 4395    Or wor 4759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-so 4761
This theorem is referenced by:  wereu  4835  wereu2  4836
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