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Theorem somo 4805
Description: A totally ordered set has at most one minimal element. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
somo  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, R, y

Proof of Theorem somo
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
21notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  y R z  <->  -.  x R z ) )
32rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R z  ->  -.  x R z ) )
4 breq1 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
54notbid 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  z R x ) )
65rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  ->  -.  z R x ) )
73, 6im2anan9 843 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R z  /\  A. y  e.  A  -.  y R x )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
87ancomsd 455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  -> 
( -.  x R z  /\  -.  z R x ) ) )
98imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
10 ioran 492 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  <->  ( -.  x R z  /\  -.  z R x ) )
11 solin 4794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
12 df-3or 983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x ) )
13 or32 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x R z  \/  x  =  z )  \/  z R x )  <->  ( (
x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1412, 13bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <-> 
( ( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1511, 14sylib 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  z R x )  \/  x  =  z ) )
1615ord 378 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  ( -.  ( x R z  \/  z R x )  ->  x  =  z ) )
1710, 16syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( -.  x R z  /\  -.  z R x )  ->  x  =  z )
)
189, 17syl5 33 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( ( x  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z ) )  ->  x  =  z ) )
1918exp4b 610 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) ) )
2019pm2.43d 50 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  (
( x  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
) )
2120ralrimivv 2845 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
22 breq2 4424 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
2322notbid 295 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
2423ralbidv 2864 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  -.  y R z ) )
2524rmo4 3264 . 2  |-  ( E* x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. x  e.  A  A. z  e.  A  ( ( A. y  e.  A  -.  y R x  /\  A. y  e.  A  -.  y R z )  ->  x  =  z )
)
2621, 25sylibr 215 1  |-  ( R  Or  A  ->  E* x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    e. wcel 1868   A.wral 2775   E*wrmo 2778   class class class wbr 4420    Or wor 4770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ral 2780  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-br 4421  df-so 4772
This theorem is referenced by:  wereu  4846  wereu2  4847
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