MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  soisores Structured version   Unicode version

Theorem soisores 6023
Description: Express the condition of isomorphism on two strict orders for a function's restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
soisores  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem soisores
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isorel 6022 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y ) ) )
2 fvres 5709 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3 fvres 5709 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
42, 3breqan12d 4312 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
54adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
61, 5bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )
76biimpd 207 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
87ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
9 ffn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
109ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  F  Fn  B )
11 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  A  C_  B )
12 fnssres 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
1310, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
14133adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
15 df-ima 4858 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
1615eqcomi 2447 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A
)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A ) )
18 fvres 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
19 fvres 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
2018, 19eqeqan12d 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
22 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  A )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
24 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
25 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
26 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
2726breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) )
2825, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) ) )
29 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
z R y  <->  z R w ) )
30 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
3130breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) ) )
3328, 32rspc2va 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3422, 23, 24, 33syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
35 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
36 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
3736breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
3835, 37imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) ) )
39 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
40 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
4140breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4239, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
4338, 42rspc2va 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4423, 22, 24, 43syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4534, 44orim12d 834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z R w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
4645con3d 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
47 simpl1r 1040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  S  Or  C )
48 simpl2l 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  F : B --> C )
49 simpl2r 1042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A  C_  B )
5049, 22sseldd 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
5148, 50ffvelrnd 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  z
)  e.  C )
5249, 23sseldd 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  B )
5348, 52ffvelrnd 5849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  C )
54 sotrieq 4673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
5547, 51, 53, 54syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
56 simpl1l 1039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  R  Or  B )
57 sotrieq 4673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  =  w  <->  -.  (
z R w  \/  w R z ) ) )
5856, 50, 52, 57syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  <->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
5946, 55, 583imtr4d 268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
6021, 59sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  ->  z  =  w ) )
6160ralrimivva 2813 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( ( F  |`  A ) `  w
)  ->  z  =  w ) )
62 dff1o6 5987 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
)  <->  ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  z )  =  ( ( F  |`  A ) `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6314, 17, 61, 62syl3anbrc 1172 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
64 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
6665, 44orim12d 834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6766con3d 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
68 sotric 4672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6947, 51, 53, 68syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
70 sotric 4672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z R w  <->  -.  (
z  =  w  \/  w R z ) ) )
7156, 50, 52, 70syl12anc 1216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
7267, 69, 713imtr4d 268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  ->  z R w ) )
7334, 72impbid 191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( F `  z
) S ( F `
 w ) ) )
7418, 19breqan12d 4312 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7574adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7673, 75bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
7776ralrimivva 2813 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
78 df-isom 5432 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z ) S ( ( F  |`  A ) `
 w ) ) ) )
7963, 77, 78sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) )
80793expia 1189 . 2  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) ) )
818, 80impbid2 204 1  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    Or wor 4645   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423    Isom wiso 5424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432
This theorem is referenced by:  isercolllem1  13147  dvgt0lem2  21480  erdszelem4  27087  erdszelem8  27091  erdsze2lem2  27097
  Copyright terms: Public domain W3C validator