MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  soisores Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem soisores 6242
Description: Express the condition of isomorphism on two strict orders for a function's restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
soisores  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y    x, R, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem soisores
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isorel 6241 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y ) ) )
2 fvres 5901 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
3 fvres 5901 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
42, 3breqan12d 4431 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
54adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  x
) S ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
61, 5bitrd 261 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  <-> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )
76biimpd 212 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A ) 
Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
87ralrimivva 2820 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
9 ffn 5750 . . . . . . . 8  |-  ( F : B --> C  ->  F  Fn  B )
109ad2antrl 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  F  Fn  B )
11 simprr 771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  ->  A  C_  B )
12 fnssres 5710 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  A  C_  B )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
1310, 11, 12syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
14133adant3 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
15 df-ima 4865 . . . . . . 7  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
1615eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A
)
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A ) )
18 fvres 5901 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
19 fvres 5901 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
2018, 19eqeqan12d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2120adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
22 simprl 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  A )
23 simprr 771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
24 simpl3 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )
25 breq1 4418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x R y  <->  z R
y ) )
26 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
2726breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) )
2825, 27imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) ) ) )
29 breq2 4419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
z R y  <->  z R w ) )
30 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
3130breq2d 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3229, 31imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
( z R y  ->  ( F `  z ) S ( F `  y ) )  <->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) ) )
3328, 32rspc2va 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
3422, 23, 24, 33syl21anc 1275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  ->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
35 breq1 4418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
36 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
3736breq1d 4425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) )
3835, 37imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) ) ) )
39 breq2 4419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
40 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
4140breq2d 4427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  w
) S ( F `
 y )  <->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4239, 41imbi12d 326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( w R y  ->  ( F `  w ) S ( F `  y ) )  <->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
4338, 42rspc2va 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) )  ->  ( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4423, 22, 24, 43syl21anc 1275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( w R z  ->  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) )
4534, 44orim12d 854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z R w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
4645con3d 140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
47 simpl1r 1066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  S  Or  C )
48 simpl2l 1067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  F : B --> C )
49 simpl2r 1068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  A  C_  B )
5049, 22sseldd 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
z  e.  B )
5148, 50ffvelrnd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  z
)  e.  C )
5249, 23sseldd 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  w  e.  B )
5348, 52ffvelrnd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  C )
54 sotrieq 4800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
) S ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
5547, 51, 53, 54syl12anc 1274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
56 simpl1l 1065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  ->  R  Or  B )
57 sotrieq 4800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z  =  w  <->  -.  (
z R w  \/  w R z ) ) )
5856, 50, 52, 57syl12anc 1274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  <->  -.  ( z R w  \/  w R z ) ) )
5946, 55, 583imtr4d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
6021, 59sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
)  =  ( ( F  |`  A ) `  w )  ->  z  =  w ) )
6160ralrimivva 2820 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 z )  =  ( ( F  |`  A ) `  w
)  ->  z  =  w ) )
62 dff1o6 6198 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A
)  <->  ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  ran  ( F  |`  A )  =  ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  z )  =  ( ( F  |`  A ) `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6314, 17, 61, 62syl3anbrc 1198 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A ) )
64 fveq2 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
6665, 44orim12d 854 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( z  =  w  \/  w R z )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6766con3d 140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) )  ->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
68 sotric 4799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Or  C  /\  ( ( F `  z )  e.  C  /\  ( F `  w
)  e.  C ) )  ->  ( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  \/  ( F `  w
) S ( F `
 z ) ) ) )
6947, 51, 53, 68syl12anc 1274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  <->  -.  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  \/  ( F `  w ) S ( F `  z ) ) ) )
70 sotric 4799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
z R w  <->  -.  (
z  =  w  \/  w R z ) ) )
7156, 50, 52, 70syl12anc 1274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <->  -.  ( z  =  w  \/  w R z ) ) )
7267, 69, 713imtr4d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( F `  z ) S ( F `  w )  ->  z R w ) )
7334, 72impbid 195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( F `  z
) S ( F `
 w ) ) )
7418, 19breqan12d 4431 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7574adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w )  <->  ( F `  z ) S ( F `  w ) ) )
7673, 75bitr4d 264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  -> 
( z R w  <-> 
( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
7776ralrimivva 2820 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z
) S ( ( F  |`  A ) `  w ) ) )
78 df-isom 5609 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F
" A ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( F " A )  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
z R w  <->  ( ( F  |`  A ) `  z ) S ( ( F  |`  A ) `
 w ) ) ) )
7963, 77, 78sylanbrc 675 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  -> 
( F `  x
) S ( F `
 y ) ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) )
80793expia 1217 . 2  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) )  ->  ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) ) ) )
818, 80impbid2 209 1  |-  ( ( ( R  Or  B  /\  S  Or  C
)  /\  ( F : B --> C  /\  A  C_  B ) )  -> 
( ( F  |`  A )  Isom  R ,  S  ( A ,  ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( F `  x ) S ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748    C_ wss 3415   class class class wbr 4415    Or wor 4772   ran crn 4853    |` cres 4854   "cima 4855    Fn wfn 5595   -->wf 5596   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600    Isom wiso 5601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609
This theorem is referenced by:  isercolllem1  13776  dvgt0lem2  23003  erdszelem4  29965  erdszelem8  29969  erdsze2lem2  29975
  Copyright terms: Public domain W3C validator