MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  soisoi Structured version   Unicode version

Theorem soisoi 6225
Description: Infer isomorphism from one direction of an order proof for isomorphisms between strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
soisoi  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, S, y    x, H, y    x, A, y   
x, B, y

Proof of Theorem soisoi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A -onto-> B )
2 fof 5801 . . . . 5  |-  ( H : A -onto-> B  ->  H : A --> B )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A
--> B )
4 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  R  Or  A )
5 sotrieq 4836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a  =  b  <->  -.  (
a R b  \/  b R a ) ) )
65con2bid 329 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( a R b  \/  b R a )  <->  -.  a  =  b ) )
74, 6sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a R b  \/  b R a )  <->  -.  a  =  b ) )
8 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
9 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
x R y  <->  a R
y ) )
10 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  x )  =  ( H `  a ) )
1110breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  a ) S ( H `  y ) ) )
129, 11imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (
( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( a R y  ->  ( H `  a ) S ( H `  y ) ) ) )
13 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
a R y  <->  a R
b ) )
14 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( H `  y )  =  ( H `  b ) )
1514breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1613, 15imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  b  ->  (
( a R y  ->  ( H `  a ) S ( H `  y ) )  <->  ( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) ) )
1712, 16rspc2va 3220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
1817ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
198, 18sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  ->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
20 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  ->  S  Po  B )
21 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  ->  H : A -onto-> B )
2221, 2syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  ->  H : A --> B )
23 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b  e.  A )
2422, 23ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( H `  b
)  e.  B )
25 poirr 4820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  ->  -.  ( H `  b
) S ( H `
 b ) )
26 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
2726notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  ( -.  ( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  -.  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
2825, 27syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
2920, 24, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
3029con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
3119, 30syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
32 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  (
x R y  <->  b R
y ) )
33 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  ( H `  x )  =  ( H `  b ) )
3433breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  b  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  b ) S ( H `  y ) ) )
3532, 34imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  b  ->  (
( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( b R y  ->  ( H `  b ) S ( H `  y ) ) ) )
36 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
b R y  <->  b R
a ) )
37 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  a  ->  ( H `  y )  =  ( H `  a ) )
3837breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
( H `  b
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
3936, 38imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  (
( b R y  ->  ( H `  b ) S ( H `  y ) )  <->  ( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) ) )
4035, 39rspc2va 3220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  a  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4140ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  /\  ( b  e.  A  /\  a  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4241ancom2s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
438, 42sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
44 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  b
) S ( H `
 a )  <->  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
4544notbid 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  ( -.  ( H `  b
) S ( H `
 a )  <->  -.  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
4625, 45syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4720, 24, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  -.  ( H `  b ) S ( H `  a ) ) )
4847con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  b ) S ( H `  a )  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
4943, 48syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
5031, 49jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a R b  \/  b R a )  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
517, 50sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( -.  a  =  b  ->  -.  ( H `  a )  =  ( H `  b ) ) )
5251con4d 105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  a  =  b ) )
5352ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( ( H `  a )  =  ( H `  b )  ->  a  =  b ) )
54 dff13 6167 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-> B  <->  ( H : A --> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  (
( H `  a
)  =  ( H `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
553, 53, 54sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A -1-1-> B )
56 df-f1o 5601 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  <->  ( H : A -1-1-> B  /\  H : A -onto-> B ) )
5755, 1, 56sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H : A
-1-1-onto-> B )
58 sotric 4835 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  <->  -.  (
a  =  b  \/  b R a ) ) )
5958con2bid 329 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( a  =  b  \/  b R a )  <->  -.  a R
b ) )
604, 59sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a  =  b  \/  b R a )  <->  -.  a R b ) )
61 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( H `  a )  =  ( H `  b ) )
6261breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
6362notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  ( H `  a
) S ( H `
 b )  <->  -.  ( H `  b ) S ( H `  b ) ) )
6425, 63syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( H `  b )  e.  B )  -> 
( a  =  b  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
6520, 24, 64syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a  =  b  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
66 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
a  e.  A )
6722, 66ffvelrnd 6033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( H `  a
)  e.  B )
68 po2nr 4822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  a
)  e.  B ) )  ->  -.  (
( H `  b
) S ( H `
 a )  /\  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
69 imnan 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  b
) S ( H `
 a )  ->  -.  ( H `  a
) S ( H `
 b ) )  <->  -.  ( ( H `  b ) S ( H `  a )  /\  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Po  B  /\  ( ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  a
)  e.  B ) )  ->  ( ( H `  b ) S ( H `  a )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7120, 24, 67, 70syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( H `  b ) S ( H `  a )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7243, 71syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( b R a  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7365, 72jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( ( a  =  b  \/  b R a )  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7460, 73sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( -.  a R b  ->  -.  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
7519, 74impcon4bid 205 . . 3  |-  ( ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) )
7675ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
77 df-isom 5603 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  ( a R b  <-> 
( H `  a
) S ( H `
 b ) ) ) )
7857, 76, 77sylanbrc 664 1  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  S  Po  B
)  /\  ( H : A -onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  ->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) ) )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456    Po wpo 4807    Or wor 4808   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603
This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7968  cantnf  8129  cantnfOLD  8151  fin23lem27  8725  iccpnfhmeo  21571  xrhmeo  21572  logccv  23170  xrge0iifiso  28078
  Copyright terms: Public domain W3C validator