Theorem soisoi 6007

Description: Infer isomorphism from one direction of an order proof for isomorphisms between strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
soisoi	|- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, S, y   x, H, y   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem soisoi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 733	. . . . 5 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -onto-> B )
2		fof 5612	. . . . 5 |- ( H : A -onto-> B -> H : A --> B )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A --> B )
4		simpll 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> R Or A )
5		sotrieq 4490	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a = b <-> -. ( a R b \/ b R a ) ) )
6	5	con2bid 320	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) <-> -. a = b ) )
7	4, 6	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) <-> -. a = b ) )
8		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
9		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x R y <-> a R y ) )
10		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( H ` x ) = ( H ` a ) )
11	10	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) )
12	9, 11	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( a R y -> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) ) )
13		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( a R y <-> a R b ) )
14		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( H ` y ) = ( H ` b ) )
15	14	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( ( H ` a ) S ( H ` y ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
16	13, 15	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( a R y -> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) <-> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
17	12, 16	rspc2va 3019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
18	17	ancoms 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19	8, 18	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
20		simpllr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> S Po B )
21		simplrl 737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> H : A -onto-> B )
22	21, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> H : A --> B )
23		simprr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> b e. A )
24	22, 23	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( H ` b ) e. B )
25		poirr 4474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) )
26		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
27	26	notbid 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( -. ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
28	25, 27	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	20, 24, 28	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30	29	con2d 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
31	19, 30	syld 42	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
32		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( x R y <-> b R y ) )
33		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> ( H ` x ) = ( H ` b ) )
34	33	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( b R y -> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) ) )
36		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( b R y <-> b R a ) )
37		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( H ` y ) = ( H ` a ) )
38	37	breq2d 4184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( ( H ` b ) S ( H ` y ) <-> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
39	36, 38	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> ( ( b R y -> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) <-> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) ) )
40	35, 39	rspc2va 3019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. A /\ a e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
41	40	ancoms 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( b e. A /\ a e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
42	41	ancom2s 778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
43	8, 42	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
44		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
45	44	notbid 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( -. ( H ` b ) S ( H ` a ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
46	25, 45	syl5ibrcom 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
47	20, 24, 46	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
48	47	con2d 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
49	43, 48	syld 42	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
50	31, 49	jaod 370	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
51	7, 50	sylbird 227	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( -. a = b -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
52	51	con4d 99	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) )
53	52	ralrimivva 2758	. . . 4 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. a e. A A. b e. A ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) )
54		dff13 5963	. . . 4 |- ( H : A -1-1-> B <-> ( H : A --> B /\ A. a e. A A. b e. A ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) ) )
55	3, 53, 54	sylanbrc 646	. . 3 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -1-1-> B )
56		df-f1o 5420	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B <-> ( H : A -1-1-> B /\ H : A -onto-> B ) )
57	55, 1, 56	sylanbrc 646	. 2 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
58		sotric 4489	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> -. ( a = b \/ b R a ) ) )
59	58	con2bid 320	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) <-> -. a R b ) )
60	4, 59	sylan 458	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) <-> -. a R b ) )
61		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( H ` a ) = ( H ` b ) )
62	61	breq1d 4182	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
63	62	notbid 286	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( -. ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
64	25, 63	syl5ibrcom 214	. . . . . . 7 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( a = b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
65	20, 24, 64	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a = b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
66		simprl 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> a e. A )
67	22, 66	ffvelrnd 5830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( H ` a ) e. B )
68		po2nr 4476	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Po B /\ ( ( H ` b ) e. B /\ ( H ` a ) e. B ) ) -> -. ( ( H ` b ) S ( H ` a ) /\ ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
69		imnan 412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) <-> -. ( ( H ` b ) S ( H ` a ) /\ ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
70	68, 69	sylibr 204	. . . . . . . 8 |- ( ( S Po B /\ ( ( H ` b ) e. B /\ ( H ` a ) e. B ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
71	20, 24, 67, 70	syl12anc 1182	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
72	43, 71	syld 42	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
73	65, 72	jaod 370	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
74	60, 73	sylbird 227	. . . 4 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( -. a R b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
75	19, 74	impcon4bid 197	. . 3 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
76	75	ralrimivva 2758	. 2 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
77		df-isom 5422	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
78	57, 76, 77	sylanbrc 646	1 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   class class class wbr 4172   Po wpo 4461   Or wor 4462   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   Isom wiso 5414

This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7450  cantnf  7605  fin23lem27  8164  iccpnfhmeo  18923  xrhmeo  18924  logccv  20507  xrge0iifiso  24274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422