Theorem soisoi 6210

Description: Infer isomorphism from one direction of an order proof for isomorphisms between strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
soisoi	|- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, S, y   x, H, y   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem soisoi

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -onto-> B )
2		fof 5793	. . . . 5 |- ( H : A -onto-> B -> H : A --> B )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A --> B )
4		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> R Or A )
5		sotrieq 4827	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a = b <-> -. ( a R b \/ b R a ) ) )
6	5	con2bid 329	. . . . . . . 8 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) <-> -. a = b ) )
7	4, 6	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) <-> -. a = b ) )
8		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) )
9		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x R y <-> a R y ) )
10		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( H ` x ) = ( H ` a ) )
11	10	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) )
12	9, 11	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( a R y -> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) ) )
13		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( a R y <-> a R b ) )
14		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = b -> ( H ` y ) = ( H ` b ) )
15	14	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( ( H ` a ) S ( H ` y ) <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
16	13, 15	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( a R y -> ( H ` a ) S ( H ` y ) ) <-> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
17	12, 16	rspc2va 3224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. A /\ b e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
18	17	ancoms 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
19	8, 18	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
20		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> S Po B )
21		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> H : A -onto-> B )
22	21, 2	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> H : A --> B )
23		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> b e. A )
24	22, 23	ffvelrnd 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( H ` b ) e. B )
25		poirr 4811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) )
26		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
27	26	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( -. ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
28	25, 27	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
29	20, 24, 28	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
30	29	con2d 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
31	19, 30	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
32		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( x R y <-> b R y ) )
33		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> ( H ` x ) = ( H ` b ) )
34	33	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = b -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( b R y -> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) ) )
36		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( b R y <-> b R a ) )
37		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = a -> ( H ` y ) = ( H ` a ) )
38	37	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( ( H ` b ) S ( H ` y ) <-> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
39	36, 38	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> ( ( b R y -> ( H ` b ) S ( H ` y ) ) <-> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) ) )
40	35, 39	rspc2va 3224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b e. A /\ a e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
41	40	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( b e. A /\ a e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
42	41	ancom2s 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
43	8, 42	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
44		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
45	44	notbid 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> ( -. ( H ` b ) S ( H ` a ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
46	25, 45	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
47	20, 24, 46	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> -. ( H ` b ) S ( H ` a ) ) )
48	47	con2d 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
49	43, 48	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
50	31, 49	jaod 380	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a R b \/ b R a ) -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
51	7, 50	sylbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( -. a = b -> -. ( H ` a ) = ( H ` b ) ) )
52	51	con4d 105	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) )
53	52	ralrimivva 2885	. . . 4 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. a e. A A. b e. A ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) )
54		dff13 6152	. . . 4 |- ( H : A -1-1-> B <-> ( H : A --> B /\ A. a e. A A. b e. A ( ( H ` a ) = ( H ` b ) -> a = b ) ) )
55	3, 53, 54	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -1-1-> B )
56		df-f1o 5593	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B <-> ( H : A -1-1-> B /\ H : A -onto-> B ) )
57	55, 1, 56	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H : A -1-1-onto-> B )
58		sotric 4826	. . . . . . 7 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> -. ( a = b \/ b R a ) ) )
59	58	con2bid 329	. . . . . 6 |- ( ( R Or A /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) <-> -. a R b ) )
60	4, 59	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) <-> -. a R b ) )
61		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( H ` a ) = ( H ` b ) )
62	61	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
63	62	notbid 294	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( -. ( H ` a ) S ( H ` b ) <-> -. ( H ` b ) S ( H ` b ) ) )
64	25, 63	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( S Po B /\ ( H ` b ) e. B ) -> ( a = b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
65	20, 24, 64	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a = b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
66		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> a e. A )
67	22, 66	ffvelrnd 6020	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( H ` a ) e. B )
68		po2nr 4813	. . . . . . . . 9 |- ( ( S Po B /\ ( ( H ` b ) e. B /\ ( H ` a ) e. B ) ) -> -. ( ( H ` b ) S ( H ` a ) /\ ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
69		imnan 422	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) <-> -. ( ( H ` b ) S ( H ` a ) /\ ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
70	68, 69	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( S Po B /\ ( ( H ` b ) e. B /\ ( H ` a ) e. B ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
71	20, 24, 67, 70	syl12anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( H ` b ) S ( H ` a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
72	43, 71	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( b R a -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
73	65, 72	jaod 380	. . . . 5 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( a = b \/ b R a ) -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
74	60, 73	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( -. a R b -> -. ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
75	19, 74	impcon4bid 205	. . 3 |- ( ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
76	75	ralrimivva 2885	. 2 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) )
77		df-isom 5595	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. a e. A A. b e. A ( a R b <-> ( H ` a ) S ( H ` b ) ) ) )
78	57, 76, 77	sylanbrc 664	1 |- ( ( ( R Or A /\ S Po B ) /\ ( H : A -onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447   Po wpo 4798   Or wor 4799   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   Isom wiso 5587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595

This theorem is referenced by:  ordtypelem8  7946  cantnf  8108  cantnfOLD  8130  fin23lem27  8704  iccpnfhmeo  21177  xrhmeo  21178  logccv  22769  xrge0iifiso  27550