Theorem soirri 4314

Description: A strict order relation is irreflexive.

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- A e. _V
soi.2	|- R Or S
soi.3	|- R C_ (S X. S)

Assertion

Ref	Expression
soirri	|- -. ARA

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . 4 |- R Or S
2		sonr 3610	. . . 4 |- ((R Or S /\ A e. S) -> -. ARA)
3	1, 2	mpan 759	. . 3 |- (A e. S -> -. ARA)
4	3	adantl 424	. 2 |- ((A e. S /\ A e. S) -> -. ARA)
5		soi.1	. . . 4 |- A e. _V
6		soi.3	. . . 4 |- R C_ (S X. S)
7	5, 6	brel 4048	. . 3 |- (ARA -> (A e. S /\ A e. S))
8	7	con3i 114	. 2 |- (-. (A e. S /\ A e. S) -> -. ARA)
9	4, 8	pm2.61i 140	1 |- -. ARA

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   Or wor 3590   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  son2lpi 4316  ltrpq 6237  1pr 6269  ltapr 6303

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-po 3591  df-so 3604  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain