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Theorem socnv 29121
Description: The converse of a strict ordering is still a strict ordering. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
socnv  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Or  A )

Proof of Theorem socnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sopo 4823 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 pocnv 29120 . . 3  |-  ( R  Po  A  ->  `' R  Po  A )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Po  A )
4 solin 4829 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
5 vex 3121 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
6 vex 3121 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
75, 6brcnv 5191 . . . . 5  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
8 biid 236 . . . . 5  |-  ( x  =  y  <->  x  =  y )
96, 5brcnv 5191 . . . . 5  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
107, 8, 93orbi123i 1186 . . . 4  |-  ( ( x `' R y  \/  x  =  y  \/  y `' R x )  <->  ( y R x  \/  x  =  y  \/  x R y ) )
11 orcom 387 . . . . . 6  |-  ( ( y R x  \/  x R y )  <-> 
( x R y  \/  y R x ) )
1211orbi2i 519 . . . . 5  |-  ( ( x  =  y  \/  ( y R x  \/  x R y ) )  <->  ( x  =  y  \/  (
x R y  \/  y R x ) ) )
13 3orass 976 . . . . . 6  |-  ( ( y R x  \/  x  =  y  \/  x R y )  <-> 
( y R x  \/  ( x  =  y  \/  x R y ) ) )
14 or12 523 . . . . . 6  |-  ( ( y R x  \/  ( x  =  y  \/  x R y ) )  <->  ( x  =  y  \/  (
y R x  \/  x R y ) ) )
1513, 14bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( y R x  \/  x  =  y  \/  x R y )  <-> 
( x  =  y  \/  ( y R x  \/  x R y ) ) )
16 3orass 976 . . . . . 6  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) ) )
17 or12 523 . . . . . 6  |-  ( ( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( x  =  y  \/  (
x R y  \/  y R x ) ) )
1816, 17bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
( x  =  y  \/  ( x R y  \/  y R x ) ) )
1912, 15, 183bitr4i 277 . . . 4  |-  ( ( y R x  \/  x  =  y  \/  x R y )  <-> 
( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2010, 19bitri 249 . . 3  |-  ( ( x `' R y  \/  x  =  y  \/  y `' R x )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
214, 20sylibr 212 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x `' R y  \/  x  =  y  \/  y `' R x ) )
223, 21issod 4836 1  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Or  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    e. wcel 1767   class class class wbr 4453    Po wpo 4804    Or wor 4805   `'ccnv 5004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-po 4806  df-so 4807  df-cnv 5013
This theorem is referenced by:  wzel  29307  wsucex  29309  wsuccl  29310  wsuclb  29311
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