Theorem snsspr1OLD 3136

Description: A singleton is a subset of an unordered pair containing its member.

Assertion

Ref	Expression
snsspr1OLD	|- {A} C_ {A, B}

Proof of Theorem snsspr1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . 5 |- A = A
2	1	orci 292	. . . 4 |- (A = A \/ A = B)
3		elprg 3060	. . . 4 |- (A e. _V -> (A e. {A, B} <-> (A = A \/ A = B)))
4	2, 3	mpbiri 211	. . 3 |- (A e. _V -> A e. {A, B})
5	4	snssd 3130	. 2 |- (A e. _V -> {A} C_ {A, B})
6		snprc 3092	. . . 4 |- (-. A e. _V <-> {A} = (/))
7	6	biimpi 168	. . 3 |- (-. A e. _V -> {A} = (/))
8		0ss 2900	. . . 4 |- (/) C_ {A, B}
9	8	a1i 8	. . 3 |- (-. A e. _V -> (/) C_ {A, B})
10	7, 9	eqsstrd 2651	. 2 |- (-. A e. _V -> {A} C_ {A, B})
11	5, 10	pm2.61i 140	1 |- {A} C_ {A, B}

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  {cpr 3045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-sn 3049  df-pr 3050

Copyright terms: Public domain