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Theorem snnex 6579
Description: The class of all singletons is a proper class. (Contributed by NM, 10-Oct-2008.) (Proof shortened by Eric Schmidt, 7-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
snnex  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem snnex
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vprc 4575 . . . 4  |-  -.  _V  e.  _V
2 ssnid 4045 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
{ z }
3 ax6ev 1754 . . . . . . . . . 10  |-  E. y 
y  =  z
4 sneq 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  { z }  =  { y } )
54equcoms 1800 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  { z }  =  { y } )
63, 5eximii 1663 . . . . . . . . 9  |-  E. y { z }  =  { y }
7 snex 4678 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  _V
8 eleq2 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  {
z } ) )
9 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { z }  ->  ( x  =  { y }  <->  { z }  =  { y } ) )
109exbidv 1719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { z }  ->  ( E. y  x  =  { y } 
<->  E. y { z }  =  { y } ) )
118, 10anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { z }  ->  ( ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } )  <->  ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } ) ) )
127, 11spcev 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  { z }  /\  E. y { z }  =  { y } )  ->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  {
y } ) )
132, 6, 12mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  E. x
( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } )
14 eluniab 4246 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  E. x ( z  e.  x  /\  E. y  x  =  { y } ) )
1513, 14mpbir 209 . . . . . . 7  |-  z  e. 
U. { x  |  E. y  x  =  { y } }
16 vex 3109 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
1715, 162th 239 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  <->  z  e.  _V )
1817eqriv 2450 . . . . 5  |-  U. {
x  |  E. y  x  =  { y } }  =  _V
1918eleq1i 2531 . . . 4  |-  ( U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V 
<->  _V  e.  _V )
201, 19mtbir 297 . . 3  |-  -.  U. { x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V
21 uniexg 6570 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V  ->  U. { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
2220, 21mto 176 . 2  |-  -.  {
x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V
2322nelir 2790 1  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439    e/ wnel 2650   _Vcvv 3106   {csn 4016   U.cuni 4235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019  df-uni 4236
This theorem is referenced by:  fiprc  7590
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