Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem snlindsntorlem 40367
Description: Lemma for snlindsntor 40368. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, M, s    S, f, s    f, X, s   
f, Z, s    .x. , f,
s    .0. , f, s
Allowed substitution hints:    R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2454 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } )
2 fsng 6068 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X ,  s
>. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
32adantll 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
41, 3mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> { s } )
5 snssi 4119 . . . . . 6  |-  ( s  e.  S  ->  { s }  C_  S )
65adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { s }  C_  S )
74, 6fssd 5743 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S )
8 snlindsntor.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  R
)
9 fvex 5880 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
108, 9eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
11 snex 4644 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
1210, 11pm3.2i 457 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )
13 elmapg 7490 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S ) )
1412, 13mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X ,  s
>. } : { X }
--> S ) )
157, 14mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  e.  ( S  ^m  { X } ) )
16 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } ) )
1716eqeq1d 2455 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  <-> 
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z ) )
18 fveq1 5869 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f `  X )  =  ( { <. X ,  s >. } `  X ) )
1918eqeq1d 2455 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  ) )
2017, 19imbi12d 322 . . . 4  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  ) ) )
21 snlindsntor.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
22 snlindsntor.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
23 snlindsntor.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  M )
2421, 22, 8, 23lincvalsng 40313 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( s 
.x.  X ) )
25243expa 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  ( s  .x.  X ) )
2625eqeq1d 2455 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( s  .x.  X )  =  Z ) )
27 fvsng 6103 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } `  X
)  =  s )
2827adantll 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  s )
2928eqeq1d 2455 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  <->  s  =  .0.  ) )
3026, 29imbi12d 322 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( (
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3120, 30sylan9bbr 708 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  s  e.  S )  /\  f  =  { <. X ,  s
>. } )  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3215, 31rspcdv 3155 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3332ralrimdva 2808 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   {csn 3970   <.cop 3976   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350   LModclmod 18103   linC clinc 40301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-lmod 18105  df-linc 40303
This theorem is referenced by:  snlindsntor  40368
  Copyright terms: Public domain W3C validator