Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Unicode version

Theorem snlindsntorlem 31009
Description: Lemma for snlindsntor 31010. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, M, s    S, f, s    f, X, s   
f, Z, s    .x. , f,
s    .0. , f, s
Allowed substitution hints:    R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } )
2 fsng 5887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X ,  s
>. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
32adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
41, 3mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> { s } )
5 snssi 4022 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  S  ->  { s }  C_  S )
65adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { s }  C_  S )
7 fss 5572 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. X ,  s
>. } : { X }
--> { s }  /\  { s }  C_  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S )
9 snlindsntor.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
10 fvex 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
119, 10eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
12 snex 4538 . . . . . . . 8  |-  { X }  e.  _V
1311, 12pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )
14 elmapg 7232 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S ) )
1513, 14mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X ,  s
>. } : { X }
--> S ) )
168, 15mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  e.  ( S  ^m  { X } ) )
17 oveq1 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } ) )
1817eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  <-> 
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z ) )
19 fveq1 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f `  X )  =  ( { <. X ,  s >. } `  X ) )
2019eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  ) )
2118, 20imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  ) ) )
22 snlindsntor.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  M
)
23 snlindsntor.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
24 snlindsntor.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  M )
25 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. X ,  s >. }  =  { <. X ,  s
>. }
2622, 23, 9, 24, 25lincvalsn 30956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( s 
.x.  X ) )
27263expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  ( s  .x.  X ) )
2827eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( s  .x.  X )  =  Z ) )
29 fvsng 5917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } `  X
)  =  s )
3029adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  s )
3130eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  <->  s  =  .0.  ) )
3228, 31imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( (
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3321, 32sylan9bbr 700 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  s  e.  S )  /\  f  =  { <. X ,  s
>. } )  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3433biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  s  e.  S )  /\  f  =  { <. X ,  s
>. } )  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3516, 34rspcimdv 3079 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3635impancom 440 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3736ralrimiv 2803 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
3837ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   {csn 3882   <.cop 3888   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383   LModclmod 16953   linC clinc 30943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-lmod 16955  df-linc 30945
This theorem is referenced by:  snlindsntor  31010
  Copyright terms: Public domain W3C validator