Theorem snlindsntorlem 32553

Description: Lemma for snlindsntor 32554. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	|- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, M, s   S, f, s   f, X, s   f, Z, s   .x. , f, s   .0. , f, s

Allowed substitution hints:   R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } )
2		fsng 6071	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
3	2	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
4	1, 3	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> { s } )
5		snssi 4177	. . . . . . . 8 |- ( s e. S -> { s } C_ S )
6	5	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { s } C_ S )
7		fss 5745	. . . . . . 7 |- ( ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } /\ { s } C_ S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> S )
8	4, 6, 7	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> S )
9		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
10		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) e. _V
11	9, 10	eqeltri 2551	. . . . . . . 8 |- S e. _V
12		snex 4694	. . . . . . . 8 |- { X } e. _V
13	11, 12	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( S e. _V /\ { X } e. _V )
14		elmapg 7445	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { X } e. _V ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
15	13, 14	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
16	8, 15	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) )
17		oveq1 6302	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ( linC ` M ) { X } ) = ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) )
18	17	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z ) )
19		fveq1 5871	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ` X ) = ( { <. X , s >. } ` X ) )
20	19	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ` X ) = .0. <-> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) )
21	18, 20	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) ) )
22		snlindsntor.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` M )
23		snlindsntor.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = (Scalar ` M )
24		snlindsntor.t	. . . . . . . . . . 11 |- .x. = ( .s ` M )
25		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- { <. X , s >. } = { <. X , s >. }
26	22, 23, 9, 24, 25	lincvalsn 32500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
27	26	3expa 1196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
28	27	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( s .x. X ) = Z ) )
29		fvsng 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
30	29	adantll 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
31	30	eqeq1d 2469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. <-> s = .0. ) )
32	28, 31	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
33	21, 32	sylan9bbr 700	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) /\ f = { <. X , s >. } ) -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
34	33	biimpd 207	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) /\ f = { <. X , s >. } ) -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
35	16, 34	rspcimdv 3220	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
36	35	impancom 440	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) -> ( s e. S -> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
37	36	ralrimiv 2879	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) )
38	37	ex 434	1 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   {csn 4033   <.cop 4039   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ^m cmap 7432   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   LModclmod 17383   linC clinc 32487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-lmod 17385  df-linc 32489

This theorem is referenced by:  snlindsntor  32554