Theorem snlindsntorlem 38515

Description: Lemma for snlindsntor 38516. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	|- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, M, s   S, f, s   f, X, s   f, Z, s   .x. , f, s   .0. , f, s

Allowed substitution hints:   R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2401	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } )
2		fsng 6004	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
3	2	adantll 712	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
4	1, 3	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> { s } )
5		snssi 4113	. . . . . 6 |- ( s e. S -> { s } C_ S )
6	5	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { s } C_ S )
7	4, 6	fssd 5677	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> S )
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 |- S = ( Base ` R )
9		fvex 5813	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2484	. . . . . 6 |- S e. _V
11		snex 4629	. . . . . 6 |- { X } e. _V
12	10, 11	pm3.2i 453	. . . . 5 |- ( S e. _V /\ { X } e. _V )
13		elmapg 7388	. . . . 5 |- ( ( S e. _V /\ { X } e. _V ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
15	7, 14	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) )
16		oveq1 6239	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ( linC ` M ) { X } ) = ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) )
17	16	eqeq1d 2402	. . . . 5 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z ) )
18		fveq1 5802	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ` X ) = ( { <. X , s >. } ` X ) )
19	18	eqeq1d 2402	. . . . 5 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ` X ) = .0. <-> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) )
20	17, 19	imbi12d 318	. . . 4 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) ) )
21		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
22		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
23		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` M )
24	21, 22, 8, 23	lincvalsng 38461	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
25	24	3expa 1195	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
26	25	eqeq1d 2402	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( s .x. X ) = Z ) )
27		fvsng 6039	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
28	27	adantll 712	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
29	28	eqeq1d 2402	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. <-> s = .0. ) )
30	26, 29	imbi12d 318	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
31	20, 30	sylan9bbr 699	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) /\ f = { <. X , s >. } ) -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
32	15, 31	rspcdv 3160	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
33	32	ralrimdva 2819	1 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1403   e. wcel 1840   A.wral 2751   _Vcvv 3056   C_ wss 3411   {csn 3969   <.cop 3975   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   ^m cmap 7375   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944   LModclmod 17722   linC clinc 38449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-lmod 17724  df-linc 38451

This theorem is referenced by:  snlindsntor  38516