Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Unicode version

Theorem snlindsntorlem 32553
Description: Lemma for snlindsntor 32554. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, M, s    S, f, s    f, X, s   
f, Z, s    .x. , f,
s    .0. , f, s
Allowed substitution hints:    R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } )
2 fsng 6071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X ,  s
>. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
32adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
41, 3mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> { s } )
5 snssi 4177 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  S  ->  { s }  C_  S )
65adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { s }  C_  S )
7 fss 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. X ,  s
>. } : { X }
--> { s }  /\  { s }  C_  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S )
9 snlindsntor.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( Base `  R
)
10 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
119, 10eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
12 snex 4694 . . . . . . . 8  |-  { X }  e.  _V
1311, 12pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )
14 elmapg 7445 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S ) )
1513, 14mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X ,  s
>. } : { X }
--> S ) )
168, 15mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  e.  ( S  ^m  { X } ) )
17 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } ) )
1817eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  <-> 
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z ) )
19 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f `  X )  =  ( { <. X ,  s >. } `  X ) )
2019eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  ) )
2118, 20imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  ) ) )
22 snlindsntor.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  M
)
23 snlindsntor.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
24 snlindsntor.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  M )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. X ,  s >. }  =  { <. X ,  s
>. }
2622, 23, 9, 24, 25lincvalsn 32500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( s 
.x.  X ) )
27263expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  ( s  .x.  X ) )
2827eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( s  .x.  X )  =  Z ) )
29 fvsng 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } `  X
)  =  s )
3029adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  s )
3130eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  <->  s  =  .0.  ) )
3228, 31imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( (
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3321, 32sylan9bbr 700 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  s  e.  S )  /\  f  =  { <. X ,  s
>. } )  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3433biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  s  e.  S )  /\  f  =  { <. X ,  s
>. } )  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3516, 34rspcimdv 3220 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3635impancom 440 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3736ralrimiv 2879 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
3837ex 434 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {csn 4033   <.cop 4039   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   LModclmod 17383   linC clinc 32487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-lmod 17385  df-linc 32489
This theorem is referenced by:  snlindsntor  32554
  Copyright terms: Public domain W3C validator