Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snlindsntorlem Structured version   Unicode version

Theorem snlindsntorlem 38515
Description: Lemma for snlindsntor 38516. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntorlem  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s    f, M, s    S, f, s    f, X, s   
f, Z, s    .x. , f,
s    .0. , f, s
Allowed substitution hints:    R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem
StepHypRef Expression
1 eqidd 2401 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } )
2 fsng 6004 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X ,  s
>. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
32adantll 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } : { X } --> { s }  <->  { <. X , 
s >. }  =  { <. X ,  s >. } ) )
41, 3mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> { s } )
5 snssi 4113 . . . . . 6  |-  ( s  e.  S  ->  { s }  C_  S )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { s }  C_  S )
74, 6fssd 5677 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S )
8 snlindsntor.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  R
)
9 fvex 5813 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  _V
108, 9eqeltri 2484 . . . . . 6  |-  S  e. 
_V
11 snex 4629 . . . . . 6  |-  { X }  e.  _V
1210, 11pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )
13 elmapg 7388 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  { X }  e.  _V )  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X , 
s >. } : { X } --> S ) )
1412, 13mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  { <. X ,  s
>. } : { X }
--> S ) )
157, 14mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  { <. X , 
s >. }  e.  ( S  ^m  { X } ) )
16 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } ) )
1716eqeq1d 2402 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  <-> 
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z ) )
18 fveq1 5802 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
f `  X )  =  ( { <. X ,  s >. } `  X ) )
1918eqeq1d 2402 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  ) )
2017, 19imbi12d 318 . . . 4  |-  ( f  =  { <. X , 
s >. }  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( {
<. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  ) ) )
21 snlindsntor.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
22 snlindsntor.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  M )
23 snlindsntor.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  M )
2421, 22, 8, 23lincvalsng 38461 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  ( s 
.x.  X ) )
25243expa 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  ( s  .x.  X ) )
2625eqeq1d 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. }  ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( s  .x.  X )  =  Z ) )
27 fvsng 6039 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  s  e.  S )  ->  ( { <. X , 
s >. } `  X
)  =  s )
2827adantll 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  s )
2928eqeq1d 2402 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( ( { <. X ,  s
>. } `  X )  =  .0.  <->  s  =  .0.  ) )
3026, 29imbi12d 318 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( (
( { <. X , 
s >. }  ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( { <. X ,  s >. } `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3120, 30sylan9bbr 699 . . 3  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  s  e.  S )  /\  f  =  { <. X ,  s
>. } )  ->  (
( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3215, 31rspcdv 3160 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  s  e.  S
)  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
3332ralrimdva 2819 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   _Vcvv 3056    C_ wss 3411   {csn 3969   <.cop 3975   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    ^m cmap 7375   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944   LModclmod 17722   linC clinc 38449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-lmod 17724  df-linc 38451
This theorem is referenced by:  snlindsntor  38516
  Copyright terms: Public domain W3C validator