Theorem snlindsntorlem 40367

Description: Lemma for snlindsntor 40368. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	|- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, M, s   S, f, s   f, X, s   f, Z, s   .x. , f, s   .0. , f, s

Allowed substitution hints:   R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2454	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } )
2		fsng 6068	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
3	2	adantll 721	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
4	1, 3	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> { s } )
5		snssi 4119	. . . . . 6 |- ( s e. S -> { s } C_ S )
6	5	adantl 468	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { s } C_ S )
7	4, 6	fssd 5743	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> S )
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 |- S = ( Base ` R )
9		fvex 5880	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2527	. . . . . 6 |- S e. _V
11		snex 4644	. . . . . 6 |- { X } e. _V
12	10, 11	pm3.2i 457	. . . . 5 |- ( S e. _V /\ { X } e. _V )
13		elmapg 7490	. . . . 5 |- ( ( S e. _V /\ { X } e. _V ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
15	7, 14	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) )
16		oveq1 6302	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ( linC ` M ) { X } ) = ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) )
17	16	eqeq1d 2455	. . . . 5 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z ) )
18		fveq1 5869	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ` X ) = ( { <. X , s >. } ` X ) )
19	18	eqeq1d 2455	. . . . 5 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ` X ) = .0. <-> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) )
20	17, 19	imbi12d 322	. . . 4 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) ) )
21		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
22		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
23		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` M )
24	21, 22, 8, 23	lincvalsng 40313	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
25	24	3expa 1209	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
26	25	eqeq1d 2455	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( s .x. X ) = Z ) )
27		fvsng 6103	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
28	27	adantll 721	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
29	28	eqeq1d 2455	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. <-> s = .0. ) )
30	26, 29	imbi12d 322	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
31	20, 30	sylan9bbr 708	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) /\ f = { <. X , s >. } ) -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
32	15, 31	rspcdv 3155	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
33	32	ralrimdva 2808	1 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   {csn 3970   <.cop 3976   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^m cmap 7477   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350   LModclmod 18103   linC clinc 40301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-lmod 18105  df-linc 40303

This theorem is referenced by:  snlindsntor  40368