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Theorem snlindsntor 32554
Description: A singleton is linearly independent iff it does not contain a torsion element. According to Wikipedia ("Torsion (algebra)", 15-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(algebra)): "An element m of a module M over a ring R is called a torsion element of the module if there exists a regular element r of the ring (an element that is neither a left nor a right zero divisor) that annihilates m, i.e.,  ( r  .x.  m )  =  0. In an integral domain (a commutative ring without zero divisors), every non-zero element is regular, so a torsion element of a module over an integral domain is one annihilated by a non-zero element of the integral domain." Analogously, the definition in [Lang] p. 147 states that "An element x of [a module] E [over a ring R] is called a torsion element if there exists  a  e.  R,  a  =/=  0, such that  a  .x.  x  =  0. This definition includes the zero element of the module. Some authors, however, exclude the zero element from the definition of torsion elements. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntor  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  { X } linIndS  M )
)
Distinct variable groups:    B, s    M, s    S, s    X, s    Z, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hint:    R( s)

Proof of Theorem snlindsntor
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2664 . . . . 5  |-  ( ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  -.  (
s  .x.  X )  =  Z )
21ralbii 2898 . . . 4  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } ) ( s  .x.  X
)  =/=  Z  <->  A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } )  -.  (
s  .x.  X )  =  Z )
3 raldifsni 4163 . . . 4  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } )  -.  ( s  .x.  X )  =  Z  <->  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
42, 3bitri 249 . . 3  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } ) ( s  .x.  X
)  =/=  Z  <->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  M  e.  LMod )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
8 snlindsntor.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  ( Base `  R
)
9 snlindsntor.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  M )
109fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
118, 10eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
1211oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  ^m  { X }
)  =  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { X } )
1312eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } ) )
1413biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { X } ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } ) )
16 snelpwi 4698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( Base `  M
)  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
17 snlindsntor.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  M
)
1816, 17eleq2s 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
1918ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincval 32492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } )  /\  { X }  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( f
( linC  `  M ) { X } )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
217, 15, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) { X } )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
2221eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  Z ) )
2322anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  <->  ( f finSupp  .0. 
/\  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  Z ) ) )
24 lmodgrp 17390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
25 grpmnd 15934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  M  e.  Mnd )
28 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  X  e.  B )
29 elmapi 7452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
f : { X }
--> S )
306adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
31 snidg 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { X } )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  X  e.  { X } )
34 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  X  e. 
{ X } )  ->  ( f `  X )  e.  S
)
3533, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  (
f `  X )  e.  S )
36 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  X  e.  B )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
3817, 9, 37, 8lmodvscl 17400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
3930, 35, 36, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
4039expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B ) )
4129, 40syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B ) )
4241impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B )
43 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
f `  x )  =  ( f `  X ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
4543, 44oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
4617, 45gsumsn 16854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X ) )
4727, 28, 42, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
4847eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  =  Z  <->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  =  Z ) )
4931, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  X  e.  B )  ->  (
f `  X )  e.  S )
5049expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  B  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( f `  X )  e.  S
) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( f `  X )  e.  S
) )
52 snlindsntor.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  M )
5352oveqi 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  X ) 
.x.  X )  =  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )
5453eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  X
)  .x.  X )  =  Z  <->  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  Z )
55 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
s  .x.  X )  =  ( ( f `
 X )  .x.  X ) )
5655eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
( s  .x.  X
)  =  Z  <->  ( (
f `  X )  .x.  X )  =  Z ) )
57 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
s  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
5856, 57imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  ( ( ( f `  X ) 
.x.  X )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
5958rspcva 3217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  X
)  e.  S  /\  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
( f `  X
)  .x.  X )  =  Z  ->  ( f `
 X )  =  .0.  ) )
6054, 59syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  X
)  e.  S  /\  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  X )  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) ) )
6229, 51, 61syl56 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
f  e.  ( S  ^m  { X }
)  ->  ( A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )  ->  ( ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) ) )
6362com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  ->  (
( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) ) )
6463imp31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6548, 64sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)
6665adantld 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( M 
gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  Z )  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)
6723, 66sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2881 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
70 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
7129adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
f : { X }
--> S )
72 snfi 7608 . . . . . . . . . . 11  |-  { X }  e.  Fin
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  { X }  e.  Fin )
74 snlindsntor.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
75 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
7674, 75eqeltri 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  .0.  e.  _V )
7871, 73, 77fdmfifsupp 7851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
f finSupp  .0.  )
79 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
( ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
8170, 80syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
( ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) )
8281ralimdva 2875 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) )
83 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
8417, 9, 8, 74, 83, 52snlindsntorlem 32553 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
8582, 84syld 44 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
8669, 85impbid 191 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
87 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
f `  y )  =  ( f `  X ) )
8887eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
( f `  y
)  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
8988ralsng 4068 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
9089adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
9190bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  ) )
9291imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  ) ) )
9392ralbidv 2906 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) )
94 snelpwi 4698 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  e.  ~P B
)
9594adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  { X }  e.  ~P B
)
9695biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  )  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
9786, 93, 963bitrd 279 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
984, 97syl5bb 257 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
99 snex 4694 . . 3  |-  { X }  e.  _V
10017, 83, 9, 8, 74islininds 32529 . . 3  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  M  e.  LMod )  ->  ( { X } linIndS  M  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
10199, 5, 100sylancr 663 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( { X } linIndS  M  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
10298, 101bitr4d 256 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  { X } linIndS  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   ~Pcpw 4016   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793   Grpcgrp 15925   LModclmod 17383   linC clinc 32487   linIndS clininds 32523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-lmod 17385  df-linc 32489  df-lininds 32525
This theorem is referenced by:  lindssnlvec  32569
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