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Theorem snlindsntor 31010
Description: A singleton is linearly independent iff it does not contain a torsion element. According to Wikipedia ("Torsion (algebra)", 15-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(algebra)): "An element m of a module M over a ring R is called a torsion element of the module if there exists a regular element r of the ring (an element that is neither a left nor a right zero divisor) that annihilates m, i.e.,  ( r  .x.  m )  =  0. In an integral domain (a commutative ring without zero divisors), every non-zero element is regular, so a torsion element of a module over an integral domain is one annihilated by a non-zero element of the integral domain." Analogously, the definition in [Lang] p. 147 states that "An element x of [a module] E [over a ring R] is called a torsion element if there exists  a  e.  R,  a  =/=  0, such that  a  .x.  x  =  0. This definition includes the zero element of the module. Some authors, however, exclude the zero element from the definition of torsion elements. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntor  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  { X } linIndS  M )
)
Distinct variable groups:    B, s    M, s    S, s    X, s    Z, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hint:    R( s)

Proof of Theorem snlindsntor
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2613 . . . . 5  |-  ( ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  -.  (
s  .x.  X )  =  Z )
21ralbii 2744 . . . 4  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } ) ( s  .x.  X
)  =/=  Z  <->  A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } )  -.  (
s  .x.  X )  =  Z )
3 raldifsni 4010 . . . 4  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } )  -.  ( s  .x.  X )  =  Z  <->  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
42, 3bitri 249 . . 3  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } ) ( s  .x.  X
)  =/=  Z  <->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  M  e.  LMod )
65adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
8 snlindsntor.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  ( Base `  R
)
9 snlindsntor.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  M )
109fveq2i 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
118, 10eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
1211oveq1i 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  ^m  { X }
)  =  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { X } )
1312eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } ) )
1413biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { X } ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } ) )
16 snelpwi 4542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( Base `  M
)  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
17 snlindsntor.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  M
)
1816, 17eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
1918ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincval 30948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } )  /\  { X }  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( f
( linC  `  M ) { X } )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
217, 15, 19, 20syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) { X } )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
2221eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  Z ) )
2322anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  <->  ( f finSupp  .0. 
/\  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  Z ) ) )
24 lmodgrp 16960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
25 grpmnd 15555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
2726ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  M  e.  Mnd )
28 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  X  e.  B )
29 elmapi 7239 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
f : { X }
--> S )
306adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
31 snidg 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { X } )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  X  e.  { X } )
34 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  X  e. 
{ X } )  ->  ( f `  X )  e.  S
)
3533, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  (
f `  X )  e.  S )
36 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  X  e.  B )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
3817, 9, 37, 8lmodvscl 16970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
3930, 35, 36, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
4039expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B ) )
4129, 40syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B ) )
4241impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B )
43 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
f `  x )  =  ( f `  X ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
4543, 44oveq12d 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
4617, 45gsumsn 16454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X ) )
4727, 28, 42, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
4847eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  =  Z  <->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  =  Z ) )
4931, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  X  e.  B )  ->  (
f `  X )  e.  S )
5049expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  B  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( f `  X )  e.  S
) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( f `  X )  e.  S
) )
52 snlindsntor.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  M )
5352oveqi 6109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  X ) 
.x.  X )  =  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )
5453eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  X
)  .x.  X )  =  Z  <->  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  Z )
55 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
s  .x.  X )  =  ( ( f `
 X )  .x.  X ) )
5655eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
( s  .x.  X
)  =  Z  <->  ( (
f `  X )  .x.  X )  =  Z ) )
57 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
s  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
5856, 57imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  ( ( ( f `  X ) 
.x.  X )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
5958rspcva 3076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  X
)  e.  S  /\  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
( f `  X
)  .x.  X )  =  Z  ->  ( f `
 X )  =  .0.  ) )
6054, 59syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  X
)  e.  S  /\  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  X )  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) ) )
6229, 51, 61syl56 34 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
f  e.  ( S  ^m  { X }
)  ->  ( A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )  ->  ( ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) ) )
6362com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  ->  (
( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) ) )
6463imp31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6548, 64sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)
6665adantld 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( M 
gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  Z )  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)
6723, 66sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
6968ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
70 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
7129adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
f : { X }
--> S )
72 snfi 7395 . . . . . . . . . . 11  |-  { X }  e.  Fin
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  { X }  e.  Fin )
74 snlindsntor.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
75 fvex 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
7674, 75eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  .0.  e.  _V )
7871, 73, 77fdmfifsupp 7635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
f finSupp  .0.  )
79 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
( ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
8170, 80syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
( ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) )
8281ralimdva 2799 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) )
83 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
8417, 9, 8, 74, 83, 52snlindsntorlem 31009 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
8582, 84syld 44 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
8669, 85impbid 191 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
87 fveq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
f `  y )  =  ( f `  X ) )
8887eqeq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
( f `  y
)  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
8988ralsng 3917 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
9089adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
9190bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  ) )
9291imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  ) ) )
9392ralbidv 2740 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) )
94 snelpwi 4542 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  e.  ~P B
)
9594adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  { X }  e.  ~P B
)
9695biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  )  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
9786, 93, 963bitrd 279 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
984, 97syl5bb 257 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
99 snex 4538 . . 3  |-  { X }  e.  _V
10017, 83, 9, 8, 74islininds 30985 . . 3  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  M  e.  LMod )  ->  ( { X } linIndS  M  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
10199, 5, 100sylancr 663 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( { X } linIndS  M  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
10298, 101bitr4d 256 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  { X } linIndS  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    \ cdif 3330   ~Pcpw 3865   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   finSupp cfsupp 7625   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414   Grpcgrp 15415   LModclmod 16953   linC clinc 30943   linIndS clininds 30979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-lmod 16955  df-linc 30945  df-lininds 30981
This theorem is referenced by:  lindssnlvec  31025
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