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Theorem snlindsntor 40537
Description: A singleton is linearly independent iff it does not contain a torsion element. According to Wikipedia ("Torsion (algebra)", 15-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(algebra)): "An element m of a module M over a ring R is called a torsion element of the module if there exists a regular element r of the ring (an element that is neither a left nor a right zero divisor) that annihilates m, i.e.,  ( r  .x.  m )  =  0. In an integral domain (a commutative ring without zero divisors), every non-zero element is regular, so a torsion element of a module over an integral domain is one annihilated by a non-zero element of the integral domain." Analogously, the definition in [Lang] p. 147 states that "An element x of [a module] E [over a ring R] is called a torsion element if there exists  a  e.  R,  a  =/=  0, such that  a  .x.  x  =  0. This definition includes the zero element of the module. Some authors, however, exclude the zero element from the definition of torsion elements. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
snlindsntor.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
snlindsntor.s  |-  S  =  ( Base `  R
)
snlindsntor.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
snlindsntor.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
snlindsntor.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
Assertion
Ref Expression
snlindsntor  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  { X } linIndS  M )
)
Distinct variable groups:    B, s    M, s    S, s    X, s    Z, s    .x. , s    .0. , s
Allowed substitution hint:    R( s)

Proof of Theorem snlindsntor
Dummy variables  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2635 . . . . 5  |-  ( ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  -.  (
s  .x.  X )  =  Z )
21ralbii 2831 . . . 4  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } ) ( s  .x.  X
)  =/=  Z  <->  A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } )  -.  (
s  .x.  X )  =  Z )
3 raldifsni 4115 . . . 4  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } )  -.  ( s  .x.  X )  =  Z  <->  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
42, 3bitri 257 . . 3  |-  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  } ) ( s  .x.  X
)  =/=  Z  <->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )
5 simpl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  M  e.  LMod )
65adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  M  e.  LMod )
76adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  M  e.  LMod )
8 snlindsntor.s . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  ( Base `  R
)
9 snlindsntor.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  M )
109fveq2i 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
118, 10eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
1211oveq1i 6325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  ^m  { X }
)  =  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { X } )
1312eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  <->  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } ) )
1413biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { X } ) )
1514adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } ) )
16 snelpwi 4659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( Base `  M
)  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
17 snlindsntor.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  M
)
1816, 17eleq2s 2558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
1918ad3antlr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  { X }  e.  ~P ( Base `  M ) )
20 lincval 40475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { X } )  /\  { X }  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( f
( linC  `  M ) { X } )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
217, 15, 19, 20syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) { X } )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) ) )
2221eqeq1d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  <->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  Z ) )
2322anbi2d 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  <->  ( f finSupp  .0. 
/\  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  Z ) ) )
24 lmodgrp 18147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
25 grpmnd 16727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Grp  ->  M  e.  Mnd )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Mnd )
2726ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  M  e.  Mnd )
28 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  X  e.  B )
29 elmapi 7519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
f : { X }
--> S )
306adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
31 snidg 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
3231adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  { X } )
3332adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  X  e.  { X } )
34 ffvelrn 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  X  e. 
{ X } )  ->  ( f `  X )  e.  S
)
3533, 34sylan2 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  (
f `  X )  e.  S )
36 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  X  e.  B )
37 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
3817, 9, 37, 8lmodvscl 18157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f `  X )  e.  S  /\  X  e.  B )  ->  (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
3930, 35, 36, 38syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
) )  ->  (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  e.  B )
4039expcom 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B ) )
4129, 40syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  -> 
( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B ) )
4241impcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  e.  B )
43 fveq2 5888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
f `  x )  =  ( f `  X ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
4543, 44oveq12d 6333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
4617, 45gsumsn 17636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  X  e.  B  /\  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x ) ) )  =  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X ) )
4727, 28, 42, 46syl3anc 1276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X ) )
4847eqeq1d 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  =  Z  <->  ( (
f `  X )
( .s `  M
) X )  =  Z ) )
4931, 34sylan2 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : { X }
--> S  /\  X  e.  B )  ->  (
f `  X )  e.  S )
5049expcom 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  B  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( f `  X )  e.  S
) )
5150adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
f : { X }
--> S  ->  ( f `  X )  e.  S
) )
52 snlindsntor.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  M )
5352oveqi 6328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  X ) 
.x.  X )  =  ( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )
5453eqeq1i 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  X
)  .x.  X )  =  Z  <->  ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  Z )
55 oveq1 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
s  .x.  X )  =  ( ( f `
 X )  .x.  X ) )
5655eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
( s  .x.  X
)  =  Z  <->  ( (
f `  X )  .x.  X )  =  Z ) )
57 eqeq1 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
s  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
5856, 57imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( f `  X )  ->  (
( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  ( ( ( f `  X ) 
.x.  X )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
5958rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f `  X
)  e.  S  /\  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
( f `  X
)  .x.  X )  =  Z  ->  ( f `
 X )  =  .0.  ) )
6054, 59syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  X
)  e.  S  /\  A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )
)  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6160ex 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  X )  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) ) )
6229, 51, 61syl56 35 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
f  e.  ( S  ^m  { X }
)  ->  ( A. s  e.  S  (
( s  .x.  X
)  =  Z  -> 
s  =  .0.  )  ->  ( ( ( f `
 X ) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) ) )
6362com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  { X } )  ->  (
( ( f `  X ) ( .s
`  M ) X )  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) ) )
6463imp31 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
( f `  X
) ( .s `  M ) X )  =  Z  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6548, 64sylbid 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( ( M  gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)
6665adantld 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( M 
gsumg  ( x  e.  { X }  |->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )  =  Z )  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
)
6723, 66sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
LMod  /\  X  e.  B
)  /\  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  (
f `  X )  =  .0.  ) )
6867ralrimiva 2814 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  A. s  e.  S  ( ( s 
.x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
6968ex 440 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
70 impexp 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
7129adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
f : { X }
--> S )
72 snfi 7676 . . . . . . . . . . 11  |-  { X }  e.  Fin
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  { X }  e.  Fin )
74 snlindsntor.0 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
75 fvex 5898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
7674, 75eqeltri 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  e.  _V
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  ->  .0.  e.  _V )
7871, 73, 77fdmfifsupp 7919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
f finSupp  .0.  )
79 pm2.27 40 . . . . . . . . 9  |-  ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
( ( f finSupp  .0.  ->  ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) )  ->  (
( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
8170, 80syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  /\  f  e.  ( S  ^m  { X } ) )  -> 
( ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) )
8281ralimdva 2808 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z  -> 
( f `  X
)  =  .0.  )
) )
83 snlindsntor.z . . . . . . 7  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
8417, 9, 8, 74, 83, 52snlindsntorlem 40536 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
8582, 84syld 45 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  ->  A. s  e.  S  ( (
s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  ) ) )
8669, 85impbid 195 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  ) ) )
87 fveq2 5888 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
f `  y )  =  ( f `  X ) )
8887eqeq1d 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  X  ->  (
( f `  y
)  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
8988ralsng 4018 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
9089adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  <->  ( f `  X )  =  .0.  ) )
9190bicomd 206 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( f `  X
)  =  .0.  <->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  ) )
9291imbi2d 322 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  ) ) )
9392ralbidv 2839 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  ( f `  X )  =  .0.  )  <->  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) )
94 snelpwi 4659 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  { X }  e.  ~P B
)
9594adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  { X }  e.  ~P B
)
9695biantrurd 515 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  { X }
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) { X } )  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  (
f `  y )  =  .0.  )  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
9786, 93, 963bitrd 287 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  S  ( ( s  .x.  X )  =  Z  ->  s  =  .0.  )  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
984, 97syl5bb 265 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
99 snex 4655 . . 3  |-  { X }  e.  _V
10017, 83, 9, 8, 74islininds 40512 . . 3  |-  ( ( { X }  e.  _V  /\  M  e.  LMod )  ->  ( { X } linIndS  M  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
10199, 5, 100sylancr 674 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( { X } linIndS  M  <->  ( { X }  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( S  ^m  { X } ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) { X }
)  =  Z )  ->  A. y  e.  { X }  ( f `  y )  =  .0.  ) ) ) )
10298, 101bitr4d 264 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  B )  ->  ( A. s  e.  ( S  \  {  .0.  }
) ( s  .x.  X )  =/=  Z  <->  { X } linIndS  M )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   _Vcvv 3057    \ cdif 3413   ~Pcpw 3963   {csn 3980   class class class wbr 4416    |-> cmpt 4475   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    ^m cmap 7498   Fincfn 7595   finSupp cfsupp 7909   Basecbs 15170  Scalarcsca 15242   .scvsca 15243   0gc0g 15387    gsumg cgsu 15388   Mndcmnd 16584   Grpcgrp 16718   LModclmod 18140   linC clinc 40470   linIndS clininds 40506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-grp 16722  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-lmod 18142  df-linc 40472  df-lininds 40508
This theorem is referenced by:  lindssnlvec  40552
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