MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfi Structured version   Unicode version

Theorem snfi 7596
Description: A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
snfi  |-  { A }  e.  Fin

Proof of Theorem snfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 7288 . . . 4  |-  1o  e.  om
2 ensn1g 7580 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  ~~  1o )
3 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  1o ) )
43rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  { A }  ~~  1o )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
51, 2, 4sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
6 snprc 4091 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
7 en0 7578 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  <->  { A }  =  (/) )
8 peano1 6703 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 breq2 4451 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( { A }  ~~  x  <->  { A }  ~~  (/) ) )
109rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  { A }  ~~  (/) )  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
118, 10mpan 670 . . . . 5  |-  ( { A }  ~~  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
127, 11sylbir 213 . . . 4  |-  ( { A }  =  (/)  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
)
136, 12sylbi 195 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
145, 13pm2.61i 164 . 2  |-  E. x  e.  om  { A }  ~~  x
15 isfi 7539 . 2  |-  ( { A }  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  { A }  ~~  x )
1614, 15mpbir 209 1  |-  { A }  e.  Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   omcom 6684   1oc1o 7123    ~~ cen 7513   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-om 6685  df-1o 7130  df-en 7517  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  fiprc  7597  prfi  7795  tpfi  7796  fnfi  7798  unifpw  7823  snopfsupp  7852  sniffsupp  7869  ssfii  7879  cantnfp1lem1  8097  cantnfp1lem1OLD  8123  infpwfidom  8409  ackbij1lem4  8603  ackbij1lem9  8608  ackbij1lem10  8609  fin23lem21  8719  isfin1-3  8766  axcclem  8837  zornn0g  8885  hashsng  12406  hashen1  12407  hashunsng  12427  hashprg  12428  hashsnlei  12443  hashxplem  12457  hashmap  12459  hashfun  12461  hashbclem  12467  hashf1lem1  12470  hashf1lem2  12471  hashf1  12472  fsummsnunz  13532  fsumsplitsnun  13533  fsum2dlem  13548  fsumcom2  13552  ackbijnn  13603  incexclem  13611  isumltss  13623  rexpen  13822  2ebits  13956  phicl2  14157  ramub1lem1  14403  cshwshashnsame  14446  acsfn1  14916  acsfiindd  15664  symg1hash  16225  odcau  16430  sylow2alem2  16444  gsumsnfd  16781  gsumzunsnd  16785  gsumunsnfd  16786  gsumpt  16791  gsumptOLD  16792  dprdfidOLD  16866  ablfac1eu  16926  pgpfaclem2  16935  ablfaclem3  16940  srgbinomlem4  16996  psrlidm  17855  psrlidmOLD  17856  psrridm  17857  psrridmOLD  17858  mvridlemOLD  17874  mplsubrg  17901  mvrcl  17910  mplmon  17924  mplmonmul  17925  mplcoe3OLD  17928  mplcoe2OLD  17932  psrbagsn  17959  psr1baslem  18023  funsnfsupOLD  18055  uvcff  18617  mat1dimelbas  18768  mat1dim0  18770  mat1dimid  18771  mat1dimmul  18773  mat1dimcrng  18774  mat1f1o  18775  mat1ghm  18780  mat1mhm  18781  mat1rhm  18782  mat1rngiso  18783  mat1scmat  18836  mvmumamul1  18851  mdetrsca  18900  mdetunilem9  18917  mdetmul  18920  pmatcoe1fsupp  18997  d1mat2pmat  19035  pmatcollpw3fi1lem1  19082  chpmat1dlem  19131  chpmat1d  19132  0cmp  19688  discmp  19692  bwth  19704  bwthOLD  19705  disllycmp  19793  dis1stc  19794  1stckgenlem  19817  ptpjpre2  19844  ptopn2  19848  xkohaus  19917  xkoptsub  19918  ptcmpfi  20077  cfinufil  20192  ufinffr  20193  fin1aufil  20196  alexsubALTlem3  20312  ptcmplem5  20319  tmdgsum  20357  tsmsxplem1  20418  tsmsxplem2  20419  prdsmet  20636  imasdsf1olem  20639  prdsbl  20757  icccmplem1  21090  icccmplem2  21091  ovolsn  21669  ovolfiniun  21675  volfiniun  21720  i1f0  21857  fta1glem2  22330  fta1blem  22332  fta1lem  22465  vieta1lem2  22469  vieta1  22470  aalioulem2  22491  tayl0  22519  radcnv0  22573  wilthlem2  23099  fsumvma  23244  dchrfi  23286  cusgrafilem3  24185  eupath2lem3  24683  vdegp1ai  24688  vdegp1bi  24689  konigsberg  24691  usgreghash2spotv  24771  ffsrn  27252  gsumsn2  27460  esumcst  27739  esumsn  27740  hasheuni  27759  sibf0  27944  eulerpartlems  27967  eulerpartlemb  27975  ccatmulgnn0dir  28164  ofcccat  28166  plymulx0  28172  derangsn  28282  fprod2dlem  28715  fprodcom2  28719  onsucsuccmpi  29513  finixpnum  29643  locfincmp  29804  comppfsc  29807  prdsbnd  29920  heiborlem3  29940  heiborlem8  29945  ismrer1  29965  reheibor  29966  elrfi  30258  mzpcompact2lem  30316  dfac11  30640  pwslnmlem0  30669  lpirlnr  30698  acsfn1p  30781  stoweidlem44  31372  fourierdlem51  31486  fourierdlem80  31515  fouriersw  31560  fsummmodsnunz  31843  gsumsndf  32050  suppmptcfin  32071  lcosn0  32120  lincext2  32155  snlindsntor  32171  pclfinN  34714
  Copyright terms: Public domain W3C validator