Theorem snelpw 3501

Description: A singleton of a set belongs to the power class of a class containing the set.

Hypothesis

Ref	Expression
snelpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
snelpw	|- (A e. B <-> {A} e. ~PB)

Proof of Theorem snelpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snelpw.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	snss 3122	. 2 |- (A e. B <-> {A} C_ B)
3		snex 3492	. . 3 |- {A} e. _V
4	3	elpw 3037	. 2 |- ({A} e. ~PB <-> {A} C_ B)
5	2, 4	bitr4i 193	1 |- (A e. B <-> {A} e. ~PB)

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044

This theorem is referenced by:  unipw 3504  canth2 5548  abfi 10215  altxpsspw 14100  snelpwg 14415  iscst4 14522  nZdef 14527  nsn 14874  dtt2 14951  locfindsc 15515

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain