Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snct Structured version   Unicode version

Theorem snct 27325
Description: A singleton is countable (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
snct  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )

Proof of Theorem snct
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7590 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
2 peano1 6713 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
3 ne0i 3796 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  om  =/=  (/)
5 omex 8070 . . . . 5  |-  om  e.  _V
650sdom 7658 . . . 4  |-  ( (/)  ~<  om 
<->  om  =/=  (/) )
74, 6mpbir 209 . . 3  |-  (/)  ~<  om
8 0sdom1dom 7727 . . 3  |-  ( (/)  ~<  om 
<->  1o  ~<_  om )
97, 8mpbi 208 . 2  |-  1o  ~<_  om
10 endomtr 7583 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~<_  om )  ->  { A }  ~<_  om )
111, 9, 10sylancl 662 1  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790   {csn 4032   class class class wbr 4452   omcom 6694   1oc1o 7133    ~~ cen 7523    ~<_ cdom 7524    ~< csdm 7525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6695  df-1o 7140  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529
This theorem is referenced by:  prct  27326  oms0  28059
  Copyright terms: Public domain W3C validator