Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snct Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem snct 28343
Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
snct  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )

Proof of Theorem snct
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7659 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
2 peano1 6738 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
32ne0ii 3749 . . . 4  |-  om  =/=  (/)
4 omex 8173 . . . . 5  |-  om  e.  _V
540sdom 7728 . . . 4  |-  ( (/)  ~<  om 
<->  om  =/=  (/) )
63, 5mpbir 214 . . 3  |-  (/)  ~<  om
7 0sdom1dom 7795 . . 3  |-  ( (/)  ~<  om 
<->  1o  ~<_  om )
86, 7mpbi 213 . 2  |-  1o  ~<_  om
9 endomtr 7652 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~<_  om )  ->  { A }  ~<_  om )
101, 8, 9sylancl 673 1  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897    =/= wne 2632   (/)c0 3742   {csn 3979   class class class wbr 4415   omcom 6718   1oc1o 7200    ~~ cen 7591    ~<_ cdom 7592    ~< csdm 7593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-om 6719  df-1o 7207  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597
This theorem is referenced by:  prct  28344  oms0  29173  oms0OLD  29177
  Copyright terms: Public domain W3C validator