Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snct Structured version   Unicode version

Theorem snct 27399
Description: A singleton is countable (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
snct  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )

Proof of Theorem snct
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7578 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  1o )
2 peano1 6700 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
3 ne0i 3773 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  om  =/=  (/)
5 omex 8058 . . . . 5  |-  om  e.  _V
650sdom 7646 . . . 4  |-  ( (/)  ~<  om 
<->  om  =/=  (/) )
74, 6mpbir 209 . . 3  |-  (/)  ~<  om
8 0sdom1dom 7715 . . 3  |-  ( (/)  ~<  om 
<->  1o  ~<_  om )
97, 8mpbi 208 . 2  |-  1o  ~<_  om
10 endomtr 7571 . 2  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  1o  ~<_  om )  ->  { A }  ~<_  om )
111, 9, 10sylancl 662 1  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~<_  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802    =/= wne 2636   (/)c0 3767   {csn 4010   class class class wbr 4433   omcom 6681   1oc1o 7121    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512    ~< csdm 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-om 6682  df-1o 7128  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517
This theorem is referenced by:  prct  27400  oms0  28132
  Copyright terms: Public domain W3C validator