Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snclseqg Structured version   Unicode version

Theorem snclseqg 20377
 Description: The coset of the closure of the identity is the closure of a point. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
snclseqg.x
snclseqg.j
snclseqg.z
snclseqg.r ~QG
snclseqg.s
Assertion
Ref Expression
snclseqg

Proof of Theorem snclseqg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snclseqg.s . . . 4
21imaeq2i 5335 . . 3
3 tgpgrp 20340 . . . . 5
43adantr 465 . . . 4
5 snclseqg.j . . . . . . . . . 10
6 snclseqg.x . . . . . . . . . 10
75, 6tgptopon 20344 . . . . . . . . 9 TopOn
87adantr 465 . . . . . . . 8 TopOn
9 topontop 19222 . . . . . . . 8 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . 7
11 snclseqg.z . . . . . . . . . . 11
126, 11grpidcl 15888 . . . . . . . . . 10
134, 12syl 16 . . . . . . . . 9
1413snssd 4172 . . . . . . . 8
15 toponuni 19223 . . . . . . . . 9 TopOn
168, 15syl 16 . . . . . . . 8
1714, 16sseqtrd 3540 . . . . . . 7
18 eqid 2467 . . . . . . . 8
1918clsss3 19354 . . . . . . 7
2010, 17, 19syl2anc 661 . . . . . 6
2120, 16sseqtr4d 3541 . . . . 5
221, 21syl5eqss 3548 . . . 4
23 simpr 461 . . . 4
24 snclseqg.r . . . . 5 ~QG
25 eqid 2467 . . . . 5
266, 24, 25eqglact 16057 . . . 4
274, 22, 23, 26syl3anc 1228 . . 3
28 eqid 2467 . . . . 5
2928, 6, 25, 5tgplacthmeo 20365 . . . 4
3018hmeocls 20032 . . . 4
3129, 17, 30syl2anc 661 . . 3
322, 27, 313eqtr4a 2534 . 2
33 df-ima 5012 . . . . 5
34 resmpt 5323 . . . . . . 7
3514, 34syl 16 . . . . . 6
3635rneqd 5230 . . . . 5
3733, 36syl5eq 2520 . . . 4
38 fvex 5876 . . . . . . . . 9
3911, 38eqeltri 2551 . . . . . . . 8
40 oveq2 6292 . . . . . . . . 9
4140eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
4239, 41rexsn 4067 . . . . . . 7
436, 25, 11grprid 15891 . . . . . . . . 9
443, 43sylan 471 . . . . . . . 8
4544eqeq2d 2481 . . . . . . 7
4642, 45syl5bb 257 . . . . . 6
4746abbidv 2603 . . . . 5
48 eqid 2467 . . . . . 6
4948rnmpt 5248 . . . . 5
50 df-sn 4028 . . . . 5
5147, 49, 503eqtr4g 2533 . . . 4
5237, 51eqtrd 2508 . . 3
5352fveq2d 5870 . 2
5432, 53eqtrd 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wrex 2815  cvv 3113   wss 3476  csn 4027  cuni 4245   cmpt 4505   crn 5000   cres 5001  cima 5002  cfv 5588  (class class class)co 6284  cec 7309  cbs 14490   cplusg 14555  ctopn 14677  c0g 14695  cgrp 15727   ~QG cqg 16002  ctop 19189  TopOnctopon 19190  ccl 19313  chmeo 20017  ctgp 20333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-ec 7313  df-map 7422  df-0g 14697  df-topgen 14699  df-mnd 15732  df-plusf 15733  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-eqg 16005  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-cls 19316  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-tmd 20334  df-tgp 20335 This theorem is referenced by:  tgptsmscls  20415
 Copyright terms: Public domain W3C validator