Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snclseqg Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem snclseqg 21130
 Description: The coset of the closure of the identity is the closure of a point. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
snclseqg.x
snclseqg.j
snclseqg.z
snclseqg.r ~QG
snclseqg.s
Assertion
Ref Expression
snclseqg

Proof of Theorem snclseqg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snclseqg.s . . . 4
21imaeq2i 5166 . . 3
3 tgpgrp 21093 . . . . 5
43adantr 467 . . . 4
5 snclseqg.j . . . . . . . . . 10
6 snclseqg.x . . . . . . . . . 10
75, 6tgptopon 21097 . . . . . . . . 9 TopOn
87adantr 467 . . . . . . . 8 TopOn
9 topontop 19941 . . . . . . . 8 TopOn
108, 9syl 17 . . . . . . 7
11 snclseqg.z . . . . . . . . . . 11
126, 11grpidcl 16694 . . . . . . . . . 10
134, 12syl 17 . . . . . . . . 9
1413snssd 4117 . . . . . . . 8
15 toponuni 19942 . . . . . . . . 9 TopOn
168, 15syl 17 . . . . . . . 8
1714, 16sseqtrd 3468 . . . . . . 7
18 eqid 2451 . . . . . . . 8
1918clsss3 20074 . . . . . . 7
2010, 17, 19syl2anc 667 . . . . . 6
2120, 16sseqtr4d 3469 . . . . 5
221, 21syl5eqss 3476 . . . 4
23 simpr 463 . . . 4
24 snclseqg.r . . . . 5 ~QG
25 eqid 2451 . . . . 5
266, 24, 25eqglact 16868 . . . 4
274, 22, 23, 26syl3anc 1268 . . 3
28 eqid 2451 . . . . 5
2928, 6, 25, 5tgplacthmeo 21118 . . . 4
3018hmeocls 20783 . . . 4
3129, 17, 30syl2anc 667 . . 3
322, 27, 313eqtr4a 2511 . 2
33 df-ima 4847 . . . . 5
3414resmptd 5156 . . . . . 6
3534rneqd 5062 . . . . 5
3633, 35syl5eq 2497 . . . 4
37 fvex 5875 . . . . . . . . 9
3811, 37eqeltri 2525 . . . . . . . 8
39 oveq2 6298 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2461 . . . . . . . 8
4138, 40rexsn 4011 . . . . . . 7
426, 25, 11grprid 16697 . . . . . . . . 9
433, 42sylan 474 . . . . . . . 8
4443eqeq2d 2461 . . . . . . 7
4541, 44syl5bb 261 . . . . . 6
4645abbidv 2569 . . . . 5
47 eqid 2451 . . . . . 6
4847rnmpt 5080 . . . . 5
49 df-sn 3969 . . . . 5
5046, 48, 493eqtr4g 2510 . . . 4
5136, 50eqtrd 2485 . . 3
5251fveq2d 5869 . 2
5332, 52eqtrd 2485 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cab 2437  wrex 2738  cvv 3045   wss 3404  csn 3968  cuni 4198   cmpt 4461   crn 4835   cres 4836  cima 4837  cfv 5582  (class class class)co 6290  cec 7361  cbs 15121   cplusg 15190  ctopn 15320  c0g 15338  cgrp 16669   ~QG cqg 16813  ctop 19917  TopOnctopon 19918  ccl 20033  chmeo 20768  ctgp 21086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-ec 7365  df-map 7474  df-0g 15340  df-topgen 15342  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-eqg 16816  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cls 20036  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-tmd 21087  df-tgp 21088 This theorem is referenced by:  tgptsmscls  21164
 Copyright terms: Public domain W3C validator