MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sncld Structured version   Unicode version

Theorem sncld 20055
Description: A singleton is closed in a Hausdorff space. (Contributed by NM, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t1sep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sncld  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  P  e.  X )  ->  { P }  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem sncld
StepHypRef Expression
1 haust1 20036 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 t1sep.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32t1sncld 20010 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  P  e.  X )  ->  { P }  e.  ( Clsd `  J )
)
41, 3sylan 469 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  P  e.  X )  ->  { P }  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   {csn 3969   U.cuni 4188   ` cfv 5523   Clsdccld 19699   Frect1 19991   Hauscha 19992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fv 5531  df-topgen 14948  df-top 19581  df-topon 19584  df-cld 19702  df-t1 19998  df-haus 19999
This theorem is referenced by:  tgphaus  20797  csscld  21871  clsocv  21872  dvrec  22540  dvexp3  22561  abelth  23018  dvtanlem  31400  sncldre  36775  dirkercncflem2  37221
  Copyright terms: Public domain W3C validator