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Theorem smuval2 13670
Description: The partial sum sequence stabilizes at  N after the  N  +  1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smuval2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
Assertion
Ref Expression
smuval2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  M ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    M( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )
2 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( N  +  1
) ) )
32eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  ( P `  x )  <->  N  e.  ( P `  ( N  +  1 ) ) ) )
43bibi2d 318 . . . 4  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  x ) )  <->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B
)  <->  N  e.  ( P `  x )
) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
6 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
76eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( N  e.  ( P `  x )  <->  N  e.  ( P `  k ) ) )
87bibi2d 318 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  x ) )  <->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 k ) ) ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B
)  <->  N  e.  ( P `  x )
) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  k ) ) ) ) )
10 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
1110eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  e.  ( P `  x )  <->  N  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
1211bibi2d 318 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  x ) )  <->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B
)  <->  N  e.  ( P `  x )
) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
14 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  ( P `  x )  =  ( P `  M ) )
1514eleq2d 2505 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( N  e.  ( P `  x )  <->  N  e.  ( P `  M ) ) )
1615bibi2d 318 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  x ) )  <->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 M ) ) ) )
1716imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B
)  <->  N  e.  ( P `  x )
) )  <->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  M ) ) ) ) )
18 smuval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
19 smuval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
20 smuval.p . . . . 5  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
21 smuval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2218, 19, 20, 21smuval 13669 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  ( N  +  1 ) ) ) )
2322a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 ( N  + 
1 ) ) ) ) )
2418adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  A  C_  NN0 )
2519adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  B  C_  NN0 )
26 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2721, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
28 eluznn0 10916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2927, 28sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
3024, 25, 20, 29smupp1 13668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3130eleq2d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( P `  (
k  +  1 ) )  <->  N  e.  (
( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) ) )
3224, 25, 20smupf 13666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  P : NN0
--> ~P NN0 )
3332, 29ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  e.  ~P NN0 )
3433elpwid 3865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( P `  k )  C_  NN0 )
35 ssrab2 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) } 
C_  NN0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) } 
C_  NN0 )
3727adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
3834, 36, 37sadeq 13660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
39 inrab2 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  { n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }
40 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( NN0 
i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  C_  NN0
41 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
4240, 41sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
4342nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
4421adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
4645nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  N  e.  RR )
47 1red 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
4846, 47readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
4929adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
5049nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  e.  RR )
51 inss2 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( NN0 
i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) )
5251, 41sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  n  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
53 elfzolt2 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  ->  n  <  ( N  +  1 ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  n  <  ( N  +  1 ) )
55 eluzle 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_ 
k )
5655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_ 
k )
5743, 48, 50, 54, 56ltletrd 9523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  n  <  k )
5843, 50ltnled 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( n  <  k  <->  -.  k  <_  n ) )
5957, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  -.  k  <_  n )
6025adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  B  C_  NN0 )
6160sseld 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
n  -  k )  e.  B  ->  (
n  -  k )  e.  NN0 ) )
62 nn0ge0 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  -  k )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( n  -  k
) )
6361, 62syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
n  -  k )  e.  B  ->  0  <_  ( n  -  k
) ) )
6443, 50subge0d 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( 0  <_  ( n  -  k )  <->  k  <_  n ) )
6563, 64sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
n  -  k )  e.  B  ->  k  <_  n ) )
6665adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B )  ->  k  <_  n
) )
6759, 66mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  -.  (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
6867ralrimiva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  -.  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) )
69 rabeq0 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  -.  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  { n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) }  =  (/) )
7139, 70syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  (/) )
7271oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) sadd  (/) ) )
73 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  C_  ( P `  k )
7473, 34syl5ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  C_  NN0 )
75 sadid1 13656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  C_  NN0 
->  ( ( ( P `
 k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) sadd  (/) )  =  ( ( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) sadd  (/) )  =  ( ( P `  k )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7772, 76eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P `
 k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
7877ineq1d 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( P `  k )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( ( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
79 inass 3555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  k )  i^i  ( ( 0..^ ( N  +  1 ) )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
80 inidm 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0..^ ( N  + 
1 ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) )
8180ineq2i 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P `  k )  i^i  ( ( 0..^ ( N  +  1 ) )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
8279, 81eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P `  k
)  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
8378, 82syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( P `  k )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
8438, 83eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( (
( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( P `
 k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
8584eleq2d 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( ( ( P `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
N  e.  ( ( P `  k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
86 elin 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( N  e.  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  /\  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) )
87 elin 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ( P `
 k )  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  <->  ( N  e.  ( P `  k
)  /\  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
8885, 86, 873bitr3g 287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  e.  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  /\  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  <->  ( N  e.  ( P `  k
)  /\  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
89 nn0uz 10887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9044, 89syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
91 eluzfz2 11451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... N
) )
9344nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
94 fzval3 11597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... N )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( 0 ... N )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
9692, 95eleqtrd 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
9796biantrud 507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) } )  <->  ( N  e.  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) } )  /\  N  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) ) )
9896biantrud 507 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( P `  k
)  <->  ( N  e.  ( P `  k
)  /\  N  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) ) )
9988, 97, 983bitr4d 285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) } )  <->  N  e.  ( P `  k )
) )
10031, 99bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  e.  ( P `  (
k  +  1 ) )  <->  N  e.  ( P `  k )
) )
101100bibi2d 318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 k ) ) ) )
102101biimprd 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  k )
)  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
103102expcom 435 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 k ) )  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
104103a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <-> 
N  e.  ( P `
 k ) ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1055, 9, 13, 17, 23, 104uzind4 10904 . 2  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  M ) ) ) )
1061, 105mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( A smul  B )  <->  N  e.  ( P `  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   {crab 2714    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ifcif 3786   ~Pcpw 3855   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540    seqcseq 11798   sadd csad 13608   smul csmu 13609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-had 1421  df-cad 1422  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-dvds 13528  df-bits 13610  df-sad 13639  df-smu 13664
This theorem is referenced by:  smupvallem  13671  smueqlem  13678
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