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Theorem smupvallem 14340
Description: If  A only has elements less than  N, then all elements of the partial sum sequence past  N already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smupvallem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
smupvallem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
smupvallem  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    M( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smuval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 smuval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
41, 2, 3smupf 14335 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
5 smuval.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 smupvallem.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
7 eluznn0 11195 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
85, 6, 7syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
94, 8ffvelrnd 6009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  e.  ~P NN0 )
109elpwid 3964 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  C_  NN0 )
1110sseld 3440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  ->  k  e.  NN0 ) )
121, 2, 3smufval 14334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A smul  B )  =  { k  e. 
NN0  |  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
13 ssrab2 3523 . . . . 5  |-  { k  e.  NN0  |  k  e.  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0
1412, 13syl6eqss 3491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A smul  B ) 
C_  NN0 )
1514sseld 3440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  -> 
k  e.  NN0 )
)
161ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  A  C_  NN0 )
172ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  B  C_  NN0 )
18 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
196adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
20 uztrn 11142 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2119, 20sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 14339 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 M ) ) )
2322bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
246ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
25 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ph )
26 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
2726eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
2827imbi2d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
29 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
3029eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
3130imbi2d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  k
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
32 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3332eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
3433imbi2d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
35 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  ( P `  x )  =  ( P `  M ) )
3635eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) ) )
3736imbi2d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
38 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
401adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  NN0 )
412adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  B  C_  NN0 )
42 eluznn0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  NN0 )
435, 42sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  NN0 )
4440, 41, 3, 43smupp1 14337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
45 eluzle 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
4645adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
475nn0red 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  RR )
4943nn0red 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
5048, 49lenltd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  -.  k  <  N ) )
5146, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  k  <  N )
52 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
5352adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  (
0..^ N ) )
5453sseld 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
55 elfzolt2 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
5654, 55syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  < 
N ) )
5756adantrd 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B )  ->  k  <  N
) )
5851, 57mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
5958ralrimivw 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
60 rabeq0 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
6159, 60sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  =  (/) )
6261oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  k
) sadd  (/) ) )
634adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  P : NN0
--> ~P NN0 )
6463, 43ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  e.  ~P NN0 )
6564elpwid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  C_  NN0 )
66 sadid1 14325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  k ) 
C_  NN0  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `  k )
)
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `
 k ) )
6844, 62, 673eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  k ) )
6968eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
7069biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
7170expcom 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) ) )
7271a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
7328, 31, 34, 37, 39, 72uzind4 11184 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) )
7424, 25, 73sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) )
75 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
7628, 31, 34, 34, 39, 72uzind4 11184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) )
7775, 25, 76sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) )
7874, 77eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
7978eleq2d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
801ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  A  C_ 
NN0 )
812ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  B  C_ 
NN0 )
82 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
8380, 81, 3, 82smuval 14338 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( A smul 
B )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
8479, 83bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( A smul  B )
) )
85 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
8685nn0zd 11005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
8786peano2zd 11010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
885nn0zd 11005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
8988adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
90 uztric 11147 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
9187, 89, 90syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )
9223, 84, 91mpjaodan 787 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
9392ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) ) )
9411, 15, 93pm5.21ndd 352 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) )
9594eqrdv 2399 1  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {crab 2757    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   ~Pcpw 3954   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126  ..^cfzo 11852    seqcseq 12149   sadd csad 14277   smul csmu 14278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-fal 1411  df-had 1461  df-cad 1462  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-dvds 14194  df-bits 14279  df-sad 14308  df-smu 14333
This theorem is referenced by:  smupval  14345
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