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Theorem smupvallem 13988
Description: If  A only has elements less than  N, then all elements of the partial sum sequence past  N already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smupvallem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
smupvallem.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
smupvallem  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    M( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smuval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 smuval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
41, 2, 3smupf 13983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
5 smuval.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 smupvallem.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
7 eluznn0 11147 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
94, 8ffvelrnd 6020 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  e.  ~P NN0 )
109elpwid 4020 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  C_  NN0 )
1110sseld 3503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  ->  k  e.  NN0 ) )
121, 2, 3smufval 13982 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A smul  B )  =  { k  e. 
NN0  |  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) } )
13 ssrab2 3585 . . . . 5  |-  { k  e.  NN0  |  k  e.  ( P `  (
k  +  1 ) ) }  C_  NN0
1412, 13syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A smul  B ) 
C_  NN0 )
1514sseld 3503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  -> 
k  e.  NN0 )
)
161ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  A  C_  NN0 )
172ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  B  C_  NN0 )
18 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
196adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
20 uztrn 11094 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2119, 20sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 13987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 M ) ) )
2322bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
246ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
25 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ph )
26 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
2726eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
29 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
3029eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
3130imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  k
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
32 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3332eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
3433imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
35 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  ( P `  x )  =  ( P `  M ) )
3635eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
( P `  x
)  =  ( P `
 N )  <->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) ) )
3736imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  ( P `  N
) )  <->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) ) )
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( P `
 N ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  ( P `  N ) ) )
401adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  NN0 )
412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  B  C_  NN0 )
42 eluznn0 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N ) )  -> 
k  e.  NN0 )
435, 42sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  NN0 )
4440, 41, 3, 43smupp1 13985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
45 eluzle 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  k )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  <_  k )
475nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  N  e.  RR )
4943nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  k  e.  RR )
5048, 49lenltd 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( N  <_  k  <->  -.  k  <  N ) )
5146, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  k  <  N )
52 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A  C_  ( 0..^ N ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A  C_  (
0..^ N ) )
5453sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
55 elfzolt2 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( k  e.  A  ->  k  < 
N ) )
5756adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B )  ->  k  <  N
) )
5851, 57mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  -.  (
k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) )
5958ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
60 rabeq0 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) }  =  (/)  <->  A. n  e.  NN0  -.  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) )
6159, 60sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  (
n  -  k )  e.  B ) }  =  (/) )
6261oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  k
) sadd  (/) ) )
634adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  P : NN0
--> ~P NN0 )
6463, 43ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  e.  ~P NN0 )
6564elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  k )  C_  NN0 )
66 sadid1 13973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  k ) 
C_  NN0  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `  k )
)
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  (/) )  =  ( P `
 k ) )
6844, 62, 673eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  k ) )
6968eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N )  <->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) ) )
7069biimprd 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) )
7170expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  ( P `  N )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) ) ) )
7271a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  ( P `  N ) )  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) ) )
7328, 31, 34, 37, 39, 72uzind4 11135 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( P `
 N ) ) )
7424, 25, 73sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  N ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
7628, 31, 34, 34, 39, 72uzind4 11135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( ph  ->  ( P `  (
k  +  1 ) )  =  ( P `
 N ) ) )
7775, 25, 76sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( P `  N ) )
7874, 77eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  ( P `  M )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
7978eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
801ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  A  C_ 
NN0 )
812ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  B  C_ 
NN0 )
82 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  k  e.  NN0 )
8380, 81, 3, 82smuval 13986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( A smul 
B )  <->  k  e.  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
8479, 83bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  ->  (
k  e.  ( P `
 M )  <->  k  e.  ( A smul  B )
) )
85 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
8685nn0zd 10960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
8786peano2zd 10965 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
885nn0zd 10960 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
8988adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
90 uztric 11099 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) ) )
9187, 89, 90syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( k  +  1 ) )  \/  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) ) )
9223, 84, 91mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  ( P `  M
)  <->  k  e.  ( A smul  B ) ) )
9392ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) ) )
9411, 15, 93pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( P `  M )  <-> 
k  e.  ( A smul 
B ) ) )
9594eqrdv 2464 1  |-  ( ph  ->  ( P `  M
)  =  ( A smul 
B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078  ..^cfzo 11788    seqcseq 12071   sadd csad 13925   smul csmu 13926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-fal 1385  df-had 1431  df-cad 1432  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-dvds 13844  df-bits 13927  df-sad 13956  df-smu 13981
This theorem is referenced by:  smupval  13993
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