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Theorem smupval 12955
Description: Rewrite the elements of the partial sum sequence in terms of sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smupval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smupval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smupval.p  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smupval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupval  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)

Proof of Theorem smupval
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smupval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 10476 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2494 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 11022 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
53, 4sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
6 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
7 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
86, 7eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P ` 
0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
98imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 0 )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 ) ) ) )
10 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( P `  x )  =  ( P `  k ) )
11 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )
1210, 11eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) ) )
1312imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) ) ) )
14 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
15 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
1716imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
18 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
19 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
2018, 19eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  x
)  <->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
2120imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P `
 x )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 x ) )  <-> 
( ph  ->  ( P `
 N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N ) ) ) )
22 smupval.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
23 smupval.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
24 smupval.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2522, 23, 24smup0 12946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
26 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  A
2726, 22syl5ss 3319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
28 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
2927, 23, 28smup0 12946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
3025, 29eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) )
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
) ) )
32 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  k )  =  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3423adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
35 elfzouz 11099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3635adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3736, 2syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3833, 34, 24, 37smupp1 12947 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( P `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
3927adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
4039, 34, 28, 37smupp1 12947 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
41 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  A  /\  k  e.  (
0..^ N ) ) )
4241rbaib 874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  A ) )
4443anbi1d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
)  <->  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k )  e.  B ) ) )
4544rabbidv 2908 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  k )  e.  B
) }  =  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )
4645oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4740, 46eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  (  seq  0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) )
4838, 47eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( P `  k ) sadd  { n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } )  =  ( (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k ) sadd  {
n  e.  NN0  | 
( k  e.  A  /\  ( n  -  k
)  e.  B ) } ) ) )
4932, 48syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 k )  -> 
( P `  (
k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
5049expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
)  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5150a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( P `  k )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  k
) )  ->  ( ph  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
529, 13, 17, 21, 31, 51fzind2 11153 . . 3  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( P `  N )  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ) )
535, 52mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) )
54 inss2 3522 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
5554a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  ( 0..^ N ) )
561nn0zd 10329 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
57 uzid 10456 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5856, 57syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
5927, 23, 28, 1, 55, 58smupvallem 12950 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  ( A  i^i  (
0..^ N ) )  /\  ( n  -  m )  e.  B
) } ) ) ,  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `
 N )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) )
6053, 59eqtrd 2436 1  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090    seq cseq 11278   sadd csad 12887   smul csmu 12888
This theorem is referenced by:  smup1  12956  smueqlem  12957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-xor 1311  df-tru 1325  df-had 1386  df-cad 1387  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-bits 12889  df-sad 12918  df-smu 12943
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