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Theorem smupp1 14006
Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupp1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupp1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 11128 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 seqp1 12102 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
6 smuval.p . . . 4  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
76fveq1i 5873 . . 3  |-  ( P `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )
86fveq1i 5873 . . . 4  |-  ( P `
 N )  =  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )
98oveq1i 6305 . . 3  |-  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
105, 7, 93eqtr4g 2533 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
11 1nn0 10823 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
131, 12nn0addcld 10868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqeq1 2471 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
15 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
1614, 15ifbieq2d 3970 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
18 0ex 4583 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
2018, 19ifex 4014 . . . . . 6  |-  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
_V
2116, 17, 20fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
2213, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
23 nn0p1nn 10847 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
241, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2524nnne0d 10592 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
26 ifnefalse 3957 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  0  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
281nn0cnd 10866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2912nn0cnd 10866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 9943 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
3122, 27, 303eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  N )
3231oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) N ) )
33 smuval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
34 smuval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3533, 34, 6smupf 14004 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
3635, 1ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  ~P NN0 )
37 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  x  =  ( P `
 N ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  y  =  N )
3938eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( y  e.  A  <->  N  e.  A ) )
4038oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( k  -  y
)  =  ( k  -  N ) )
4140eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( k  -  y )  e.  B  <->  ( k  -  N )  e.  B ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( y  e.  A  /\  ( k  -  y )  e.  B )  <->  ( N  e.  A  /\  (
k  -  N )  e.  B ) ) )
4342rabbidv 3110 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) } )
44 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  N )  =  ( n  -  N ) )
4544eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  N
)  e.  B  <->  ( n  -  N )  e.  B
) )
4645anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B )  <-> 
( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) ) )
4746cbvrabv 3117 . . . . . 6  |-  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) }
4843, 47syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } )
4937, 48oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( x sadd  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
50 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( p  =  x  ->  (
p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) )
51 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
m  e.  A  <->  y  e.  A ) )
52 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  y ) )
5352eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
( n  -  m
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5451, 53anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5554rabbidv 3110 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { n  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) } )
56 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  y )  =  ( n  -  y ) )
5756eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  y
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5857anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5958cbvrabv 3117 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) }
6055, 59syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } )
6160oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( m  =  y  ->  (
x sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
6250, 61cbvmpt2v 6372 . . . 4  |-  ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) )  =  ( x  e.  ~P NN0 ,  y  e.  NN0  |->  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
63 ovex 6320 . . . 4  |-  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  e.  _V
6449, 62, 63ovmpt2a 6428 . . 3  |-  ( ( ( P `  N
)  e.  ~P NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6536, 1, 64syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6610, 32, 653eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   ~Pcpw 4016    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    - cmin 9817   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZ>=cuz 11094    seqcseq 12087   sadd csad 13946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1361  df-tru 1382  df-had 1431  df-cad 1432  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-sad 13977
This theorem is referenced by:  smuval2  14008  smupvallem  14009  smu01lem  14011  smupval  14014  smup1  14015  smueqlem  14016
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