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Theorem smupp1 14142
Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smuval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smupp1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    n, N    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    N( m, p)

Proof of Theorem smupp1
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 11140 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 seqp1 12125 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) ) )
6 smuval.p . . . 4  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
76fveq1i 5873 . . 3  |-  ( P `
 ( N  + 
1 ) )  =  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )
86fveq1i 5873 . . . 4  |-  ( P `
 N )  =  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )
98oveq1i 6306 . . 3  |-  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )
105, 7, 93eqtr4g 2523 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) ) ) )
11 1nn0 10832 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
131, 12nn0addcld 10877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
14 eqeq1 2461 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  =  0  <->  ( N  +  1 )  =  0 ) )
15 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
1614, 15ifbieq2d 3969 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) )
17 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
18 0ex 4587 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
19 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
2018, 19ifex 4013 . . . . . 6  |-  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
_V
2116, 17, 20fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
2213, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )
23 nn0p1nn 10856 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
241, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2524nnne0d 10601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
26 ifnefalse 3956 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  =/=  0  ->  if ( ( N  + 
1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( ( N  +  1 )  =  0 ,  (/) ,  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
281nn0cnd 10875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2912nn0cnd 10875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3028, 29pncand 9951 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
3122, 27, 303eqtrd 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1
) )  =  N )
3231oveq2d 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) N ) )
33 smuval.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
34 smuval.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3533, 34, 6smupf 14140 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
3635, 1ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P `  N
)  e.  ~P NN0 )
37 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  x  =  ( P `
 N ) )
38 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  y  =  N )
3938eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( y  e.  A  <->  N  e.  A ) )
4038oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( k  -  y
)  =  ( k  -  N ) )
4140eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( k  -  y )  e.  B  <->  ( k  -  N )  e.  B ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( ( y  e.  A  /\  ( k  -  y )  e.  B )  <->  ( N  e.  A  /\  (
k  -  N )  e.  B ) ) )
4342rabbidv 3101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) } )
44 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  N )  =  ( n  -  N ) )
4544eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  N
)  e.  B  <->  ( n  -  N )  e.  B
) )
4645anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B )  <-> 
( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) ) )
4746cbvrabv 3108 . . . . . 6  |-  { k  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( k  -  N
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) }
4843, 47syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  { k  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } )
4937, 48oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( x  =  ( P `
 N )  /\  y  =  N )  ->  ( x sadd  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) } )  =  ( ( P `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
50 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( p  =  x  ->  (
p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) )
51 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
m  e.  A  <->  y  e.  A ) )
52 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  y  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  y ) )
5352eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  y  ->  (
( n  -  m
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5451, 53anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  y  ->  (
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5554rabbidv 3101 . . . . . . 7  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { n  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) } )
56 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  -  y )  =  ( n  -  y ) )
5756eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  -  y
)  e.  B  <->  ( n  -  y )  e.  B ) )
5857anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B )  <-> 
( y  e.  A  /\  ( n  -  y
)  e.  B ) ) )
5958cbvrabv 3108 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN0  |  (
y  e.  A  /\  ( k  -  y
)  e.  B ) }  =  { n  e.  NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
n  -  y )  e.  B ) }
6055, 59syl6eqr 2516 . . . . . 6  |-  ( m  =  y  ->  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) }  =  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } )
6160oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( m  =  y  ->  (
x sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } )  =  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
6250, 61cbvmpt2v 6376 . . . 4  |-  ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) )  =  ( x  e.  ~P NN0 ,  y  e.  NN0  |->  ( x sadd  { k  e. 
NN0  |  ( y  e.  A  /\  (
k  -  y )  e.  B ) } ) )
63 ovex 6324 . . . 4  |-  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  e.  _V
6449, 62, 63ovmpt2a 6432 . . 3  |-  ( ( ( P `  N
)  e.  ~P NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6536, 1, 64syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N ) ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) N )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6610, 32, 653eqtrd 2502 1  |-  ( ph  ->  ( P `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( P `  N ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106    seqcseq 12110   sadd csad 14082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111  df-sad 14113
This theorem is referenced by:  smuval2  14144  smupvallem  14145  smu01lem  14147  smupval  14150  smup1  14151  smueqlem  14152
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