MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smup1 Structured version   Unicode version

Theorem smup1 14150
Description: Rewrite smupp1 14141 using only smul instead of the internal recursive function  P. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smup1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smup1.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smup1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smup1  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) smul 
B )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, N    ph, n

Proof of Theorem smup1
Dummy variables  m  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smup1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smup1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 eqid 2457 . . 3  |-  seq 0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
4 smup1.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
51, 2, 3, 4smupp1 14141 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6 peano2nn0 10857 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
81, 2, 3, 7smupval 14149 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) smul  B ) )
91, 2, 3, 4smupval 14149 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B ) )
109oveq1d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq 0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } ) )
115, 8, 103eqtr3d 2506 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) smul 
B )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824   NN0cn0 10816  ..^cfzo 11820    seqcseq 12109   sadd csad 14081   smul csmu 14082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-xor 1364  df-tru 1398  df-fal 1401  df-had 1447  df-cad 1448  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-bits 14083  df-sad 14112  df-smu 14137
This theorem is referenced by:  smumullem  14153
  Copyright terms: Public domain W3C validator