MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smup1 Structured version   Unicode version

Theorem smup1 13685
Description: Rewrite smupp1 13676 using only smul instead of the internal recursive function  P. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smup1.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smup1.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smup1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
smup1  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) smul 
B )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, N    ph, n

Proof of Theorem smup1
Dummy variables  m  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smup1.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
2 smup1.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
3 eqid 2443 . . 3  |-  seq 0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
4 smup1.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
51, 2, 3, 4smupp1 13676 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } ) )
6 peano2nn0 10620 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
74, 6syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
81, 2, 3, 7smupval 13684 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) ) smul  B ) )
91, 2, 3, 4smupval 13684 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  B ) )
109oveq1d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq 0
( ( p  e. 
~P NN0 ,  m  e. 
NN0  |->  ( p sadd  {
n  e.  NN0  | 
( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  N
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  ( n  -  N
)  e.  B ) } )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } ) )
115, 8, 103eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) smul 
B )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul 
B ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( N  e.  A  /\  (
n  -  N )  e.  B ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   ifcif 3791   ~Pcpw 3860    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    - cmin 9595   NN0cn0 10579  ..^cfzo 11548    seqcseq 11806   sadd csad 13616   smul csmu 13617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-fal 1375  df-had 1421  df-cad 1422  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-dvds 13536  df-bits 13618  df-sad 13647  df-smu 13672
This theorem is referenced by:  smumullem  13688
  Copyright terms: Public domain W3C validator