MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smup0 Structured version   Unicode version

Theorem smup0 14427
Description: The initial element of the partial sum sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smuval.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smuval.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
smup0  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    ph, n    B, m, n, p
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)

Proof of Theorem smup0
StepHypRef Expression
1 0z 10948 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 smuval.p . . . . 5  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
32fveq1i 5882 . . . 4  |-  ( P `
 0 )  =  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e. 
NN0  |  ( m  e.  A  /\  (
n  -  m )  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) ) `  0 )
4 seq1 12223 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ) `  0
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 ) )
53, 4syl5eq 2482 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( P `  0 )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 ) )
61, 5mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 ) )
7 0nn0 10884 . . 3  |-  0  e.  NN0
8 iftrue 3921 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) )  =  (/) )
9 eqid 2429 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) )
10 0ex 4557 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
118, 9, 10fvmpt 5964 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  (/) )
127, 11mp1i 13 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  (/) )
136, 12eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3915   ~Pcpw 3985    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   0cc0 9538   1c1 9539    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937    seqcseq 12210   sadd csad 14368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12211
This theorem is referenced by:  smu01lem  14433  smupval  14436  smueqlem  14438
  Copyright terms: Public domain W3C validator