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Theorem smueqlem 14543
Description: Any element of a sequence multiplication only depends on the values of the argument sequences up to and including that point. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smueq.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
smueq.b  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
smueq.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
smueq.p  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
smueq.q  |-  Q  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
smueqlem  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Distinct variable groups:    m, n, p, A    B, m, n, p    m, N, n, p    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( m, p)    P( m, n, p)    Q( m, n, p)

Proof of Theorem smueqlem
Dummy variables  k 
i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smueq.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  NN0 )
21adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
3 smueq.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  NN0 )
43adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
5 smueq.p . . . . . . 7  |-  P  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  B ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  -  1 ) ) ) )
6 elfzouz 11951 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
8 nn0uz 11217 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
97, 8syl6eleqr 2560 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  NN0 )
109nn0zd 11061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  e.  ZZ )
1110peano2zd 11066 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
12 smueq.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1312adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN0 )
1413nn0zd 11061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
15 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  k  <  N )
1615adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  k  <  N
)
17 nn0ltp1le 11018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( k  +  1 )  <_  N ) )
189, 13, 17syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  < 
N  <->  ( k  +  1 )  <_  N
) )
1916, 18mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  N
)
20 eluz2 11188 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
k  +  1 ) )  <->  ( ( k  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  <_  N ) )
2111, 14, 19, 20syl3anbrc 1214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  ( k  +  1 ) ) )
222, 4, 5, 9, 21smuval2 14535 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
2312, 8syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
24 eluzfz2b 11834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  N  e.  (
0 ... N ) )
2523, 24sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... N ) )
26 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  ( P `  x )  =  ( P ` 
0 ) )
2726ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) ) )
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  0  ->  ( Q `  x )  =  ( Q ` 
0 ) )
2928ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) ) )
3027, 29eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
3130imbi2d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  0 )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  0
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( P `  x )  =  ( P `  i ) )
3332ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) )
34 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  i  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  i ) )
3534ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  i  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) )
3633, 35eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
3736imbi2d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
38 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( i  +  1 ) ) )
3938ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) )
40 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  ( i  +  1 ) ) )
4140ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) )
4239, 41eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
4342imbi2d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( i  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
44 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( P `  x )  =  ( P `  N ) )
4544ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
( P `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  N  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  N ) )
4746ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  N  ->  (
( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) ) )
4845, 47eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( P `  x )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 x )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
4948imbi2d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  N  ->  (
( ph  ->  ( ( P `  x )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  x
)  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( P `  N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N
)  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
501, 3, 5smup0 14532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  (/) )
51 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  C_  B
5251, 3syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
53 smueq.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  seq 0 ( ( p  e.  ~P NN0 ,  m  e.  NN0  |->  ( p sadd  { n  e.  NN0  |  ( m  e.  A  /\  ( n  -  m
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) ) ,  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  0 ,  (/) ,  ( n  - 
1 ) ) ) )
541, 52, 53smup0 14532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Q `  0
)  =  (/) )
5550, 54eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P `  0
)  =  ( Q `
 0 ) )
5655ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( P ` 
0 )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 0 )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
58 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
5958ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
601adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  A  C_  NN0 )
613adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
62 elfzonn0 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  NN0 )
6362adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  NN0 )
6460, 61, 5, 63smupp1 14533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( P `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } ) )
6564ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( P `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ N ) ) )
661, 3, 5smupf 14531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P : NN0 --> ~P NN0 )
67 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P : NN0 --> ~P NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( P `  i
)  e.  ~P NN0 )
6866, 62, 67syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  i )  e.  ~P NN0 )
6968elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( P `  i )  C_  NN0 )
70 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) } 
C_  NN0
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) } 
C_  NN0 )
7212adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN0 )
7369, 71, 72sadeq 14525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( ( ( P `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7465, 73eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
7552adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
7660, 75, 53, 63smupp1 14533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( Q `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } ) )
7776ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( Q `  i
) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
781, 52, 53smupf 14531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Q : NN0 --> ~P NN0 )
79 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Q : NN0 --> ~P NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( Q `  i
)  e.  ~P NN0 )
8078, 62, 79syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  i )  e.  ~P NN0 )
8180elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  i )  C_  NN0 )
82 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  C_  NN0
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  C_  NN0 )
8481, 83, 72sadeq 14525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( Q `  i ) sadd  { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) } )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
85 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  C_  (
0..^ N )
8685sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  ( 0..^ N ) )
8761adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  B  C_  NN0 )
8887sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  ->  (
n  -  i )  e.  NN0 ) )
89 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  <->  ( n  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  n  <  N
) )
9089simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  N  e.  NN )
9190adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
92 elfzonn0 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  n  e.  NN0 )
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  NN0 )
9493nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  e.  RR )
9563adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  NN0 )
9695nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  RR )
9794, 96resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  e.  RR )
9891nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
9995nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  0  <_  i )
10094, 96subge02d 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( 0  <_  i  <->  ( n  -  i )  <_  n ) )
10199, 100mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  <_  n )
102 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  ( 0..^ N )  ->  n  <  N )
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  n  <  N )
10497, 94, 98, 101, 103lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( n  -  i )  < 
N )
10591, 104jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) )
106 elfzo0 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( n  -  i )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  <  N
) )
107 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  (
n  -  i )  <  N )  <->  ( (
n  -  i )  e.  NN0  /\  ( N  e.  NN  /\  (
n  -  i )  <  N ) ) )
108106, 107bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( n  -  i )  e. 
NN0  /\  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) ) )
109108baib 919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( n  -  i )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( N  e.  NN  /\  ( n  -  i )  < 
N ) ) )
110105, 109syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  NN0  ->  ( n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
11188, 110syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  ->  (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
112111pm4.71rd 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  B  <->  ( (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( n  -  i )  e.  B ) ) )
113 ancom 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
n  -  i )  e.  B )  <->  ( (
n  -  i )  e.  B  /\  (
n  -  i )  e.  ( 0..^ N ) ) )
114 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( ( n  -  i )  e.  B  /\  ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N ) ) )
115113, 114bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( n  -  i
)  e.  ( 0..^ N )  /\  (
n  -  i )  e.  B )  <->  ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )
116112, 115syl6rbb 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) )  <-> 
( n  -  i
)  e.  B ) )
117116anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) ) )
11886, 117sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  /\  n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ N ) ) )  ->  ( (
i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  <->  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) ) )
119118rabbidva 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { n  e.  ( NN0  i^i  (
0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i )  e.  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) }  =  {
n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) } )
120 inrab2 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) )  =  {
n  e.  ( NN0 
i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }
121 inrab2 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) )  =  { n  e.  ( NN0  i^i  ( 0..^ N ) )  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  B ) }
122119, 120, 1213eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )
123122oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  | 
( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ( Q `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
124123ineq1d 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) ) sadd  ( { n  e.  NN0  |  ( i  e.  A  /\  ( n  -  i
)  e.  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12577, 84, 1243eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
12674, 125eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( (
( ( P `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( ( Q `  i )  i^i  (
0..^ N ) ) sadd  ( { n  e. 
NN0  |  ( i  e.  A  /\  (
n  -  i )  e.  B ) }  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
12759, 126syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( ( P `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i
)  i^i  ( 0..^ N ) )  -> 
( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
128127expcom 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ph  ->  ( ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) )  ->  (
( P `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  ( i  +  1 ) )  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
129128a2d 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( ph  ->  ( ( P `
 i )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  i )  i^i  ( 0..^ N ) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( P `  ( i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  (
i  +  1 ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
13031, 37, 43, 49, 57, 129fzind2 12054 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... N )  ->  ( ph  ->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
13125, 130mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  =  ( ( Q `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
132131adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
133132eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
134 elin 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( P `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( P `  N
)  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
135134rbaib 922 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
136135adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( P `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( P `
 N ) ) )
137 elin 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Q `
 N )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( Q `  N
)  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
138137rbaib 922 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ N )  ->  ( k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( Q `
 N ) ) )
139138adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( ( Q `  N )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
k  e.  ( Q `
 N ) ) )
140133, 136, 1393bitr3d 291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( P `  N
)  <->  k  e.  ( Q `  N ) ) )
14152adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) 
C_  NN0 )
1422, 141, 53, 13smupval 14541 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( Q `  N )  =  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) )
143142eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( Q `  N
)  <->  k  e.  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) )
14422, 140, 1433bitrd 287 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( k  e.  ( A smul  B )  <-> 
k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) ) ) )
145144ex 441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0..^ N )  -> 
( k  e.  ( A smul  B )  <->  k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) ) ) ) )
146145pm5.32rd 652 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( A smul  B )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  ( ( A  i^i  (
0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) ) )
147 elin 3608 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( A smul 
B )  i^i  (
0..^ N ) )  <-> 
( k  e.  ( A smul  B )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
148 elin 3608 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  ( k  e.  ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  (
0..^ N ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ N ) ) )
149146, 147, 1483bitr4g 296 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( ( A smul  B )  i^i  ( 0..^ N ) )  <->  k  e.  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) ) )
150149eqrdv 2469 1  |-  ( ph  ->  ( ( A smul  B
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  ( ( ( A  i^i  ( 0..^ N ) ) smul  ( B  i^i  ( 0..^ N ) ) )  i^i  ( 0..^ N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942    seqcseq 12251   sadd csad 14472   smul csmu 14473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-xor 1431  df-tru 1455  df-fal 1458  df-had 1505  df-cad 1518  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-bits 14474  df-sad 14504  df-smu 14529
This theorem is referenced by:  smueq  14544
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