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Theorem smprngopr 32331
Description: A simple ring (one whose only ideals are  0 and  R) is a prime ring. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
smprngpr.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
smprngpr.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
smprngpr.3  |-  X  =  ran  G
smprngpr.4  |-  Z  =  (GId `  G )
smprngpr.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
smprngopr  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  R  e.  PrRing )

Proof of Theorem smprngopr
Dummy variables  i 
j  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1014 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  R  e.  RingOps )
2 smprngpr.1 . . . . 5  |-  G  =  ( 1st `  R
)
3 smprngpr.4 . . . . 5  |-  Z  =  (GId `  G )
42, 30idl 32304 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  { Z }  e.  ( Idl `  R
) )
543ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  { Z }  e.  ( Idl `  R ) )
6 smprngpr.2 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 smprngpr.3 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
8 smprngpr.5 . . . . . . . 8  |-  U  =  (GId `  H )
92, 6, 7, 3, 80rngo 32306 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( Z  =  U  <->  X  =  { Z } ) )
10 eqcom 2469 . . . . . . 7  |-  ( U  =  Z  <->  Z  =  U )
11 eqcom 2469 . . . . . . 7  |-  ( { Z }  =  X  <-> 
X  =  { Z } )
129, 10, 113bitr4g 296 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U  =  Z  <->  { Z }  =  X ) )
1312necon3bid 2680 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U  =/= 
Z  <->  { Z }  =/=  X ) )
1413biimpa 491 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  { Z }  =/=  X )
15143adant3 1034 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  { Z }  =/=  X )
16 df-pr 3983 . . . . . . . 8  |-  { { Z } ,  X }  =  ( { { Z } }  u.  { X } )
1716eqeq2i 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X }  <->  ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } ) )
18 eleq2 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
i  e.  ( Idl `  R )  <->  i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) ) )
19 eleq2 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
j  e.  ( Idl `  R )  <->  j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) ) )
2018, 19anbi12d 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  /\  j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) ) ) )
21 elun 3586 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( i  e.  { { Z } }  \/  i  e.  { X } ) )
22 elsn 3994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  { { Z } }  <->  i  =  { Z } )
23 elsn 3994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  { X }  <->  i  =  X )
2422, 23orbi12i 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  { { Z } }  \/  i  e.  { X } )  <-> 
( i  =  { Z }  \/  i  =  X ) )
2521, 24bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( i  =  { Z }  \/  i  =  X )
)
26 elun 3586 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( j  e.  { { Z } }  \/  j  e.  { X } ) )
27 elsn 3994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { { Z } }  <->  j  =  { Z } )
28 elsn 3994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  { X }  <->  j  =  X )
2927, 28orbi12i 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  { { Z } }  \/  j  e.  { X } )  <-> 
( j  =  { Z }  \/  j  =  X ) )
3026, 29bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  <->  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
)
3125, 30anbi12i 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( { { Z } }  u.  { X } )  /\  j  e.  ( { { Z } }  u.  { X } ) )  <->  ( (
i  =  { Z }  \/  i  =  X )  /\  (
j  =  { Z }  \/  j  =  X ) ) )
3220, 31syl6bb 269 . . . . . . 7  |-  ( ( Idl `  R )  =  ( { { Z } }  u.  { X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X
)  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
) ) )
3317, 32sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X }  ->  ( ( i  e.  ( Idl `  R
)  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X
)  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
) ) )
34333ad2ant3 1037 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  <->  ( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X
)  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X )
) ) )
35 eqimss 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  { Z }  ->  i  C_  { Z } )
3635orcd 398 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
3736adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  { Z } )  ->  (
i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
3837a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) )
3938a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  { Z }  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e. 
{ Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
40 eqimss 3496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  { Z }  ->  j  C_  { Z } )
4140olcd 399 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
4241adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  { Z } )  ->  (
i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )
4342a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) )
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  X  /\  j  =  { Z } )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) ) )
4536adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  X )  ->  ( i  C_ 
{ Z }  \/  j  C_  { Z }
) )
4645a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  { Z }  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  (
x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) )
4746a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  { Z }  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) ) )
482rneqi 5083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  G  =  ran  ( 1st `  R
)
497, 48eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  =  ran  ( 1st `  R
)
5049, 6, 8rngo1cl 26213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RingOps  ->  U  e.  X
)
5150adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  U  e.  X )
526, 49, 8rngolidm 26208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  e.  X )  ->  ( U H U )  =  U )
5350, 52mpdan 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( U H U )  =  U )
5453eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( U H U )  e. 
{ Z }  <->  U  e.  { Z } ) )
55 fvex 5902 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (GId `  H )  e.  _V
568, 55eqeltri 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  e. 
_V
5756elsnc 4004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  e.  { Z }  <->  U  =  Z )
5854, 57syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( ( U H U )  e. 
{ Z }  <->  U  =  Z ) )
5958necon3bbid 2673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( -.  ( U H U )  e. 
{ Z }  <->  U  =/=  Z ) )
6059biimpar 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  -.  ( U H U )  e.  { Z }
)
61 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  U  ->  (
x H y )  =  ( U H y ) )
6261eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U  ->  (
( x H y )  e.  { Z } 
<->  ( U H y )  e.  { Z } ) )
6362notbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U  ->  ( -.  ( x H y )  e.  { Z } 
<->  -.  ( U H y )  e.  { Z } ) )
64 oveq2 6328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  U  ->  ( U H y )  =  ( U H U ) )
6564eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  U  ->  (
( U H y )  e.  { Z } 
<->  ( U H U )  e.  { Z } ) )
6665notbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  U  ->  ( -.  ( U H y )  e.  { Z } 
<->  -.  ( U H U )  e.  { Z } ) )
6763, 66rspc2ev 3173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  X  /\  U  e.  X  /\  -.  ( U H U )  e.  { Z } )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  (
x H y )  e.  { Z }
)
6851, 51, 60, 67syl3anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  (
x H y )  e.  { Z }
)
69 rexnal2 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  X  E. y  e.  X  -.  ( x H y )  e.  { Z } 
<->  -.  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } )
7068, 69sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  -.  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x H y )  e.  { Z }
)
7170pm2.21d 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_ 
{ Z } ) ) )
72 raleq 2999 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  X  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } ) )
73 raleq 2999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  ( A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } 
<-> 
A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } ) )
7473ralbidv 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  j 
( x H y )  e.  { Z } 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } ) )
7572, 74sylan9bb 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z } ) )
7675imbi1d 323 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  X  /\  j  =  X )  ->  ( ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e. 
{ Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) )  <-> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
7771, 76syl5ibrcom 230 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( i  =  X  /\  j  =  X )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  (
x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
7839, 44, 47, 77ccased 964 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z )  ->  (
( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X )  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X ) )  -> 
( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
79783adant3 1034 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  (
( ( i  =  { Z }  \/  i  =  X )  /\  ( j  =  { Z }  \/  j  =  X ) )  -> 
( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
8034, 79sylbid 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  (
( i  e.  ( Idl `  R )  /\  j  e.  ( Idl `  R ) )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  (
x H y )  e.  { Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) )
8180ralrimivv 2820 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  A. i  e.  ( Idl `  R
) A. j  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e. 
{ Z }  ->  ( i  C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) )
822, 6, 7ispridl 32313 . . . 4  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( { Z }  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( { Z }  e.  ( Idl `  R )  /\  { Z }  =/=  X  /\  A. i  e.  ( Idl `  R ) A. j  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) ) )
83823ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  ( { Z }  e.  (
PrIdl `  R )  <->  ( { Z }  e.  ( Idl `  R )  /\  { Z }  =/=  X  /\  A. i  e.  ( Idl `  R ) A. j  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  i  A. y  e.  j  ( x H y )  e.  { Z }  ->  ( i 
C_  { Z }  \/  j  C_  { Z } ) ) ) ) )
845, 15, 81, 83mpbir3and 1197 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  { Z }  e.  ( PrIdl `  R ) )
852, 3isprrngo 32329 . 2  |-  ( R  e.  PrRing 
<->  ( R  e.  RingOps  /\  { Z }  e.  (
PrIdl `  R ) ) )
861, 84, 85sylanbrc 675 1  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  U  =/=  Z  /\  ( Idl `  R )  =  { { Z } ,  X } )  ->  R  e.  PrRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    u. cun 3414    C_ wss 3416   {csn 3980   {cpr 3982   ran crn 4857   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   1stc1st 6823   2ndc2nd 6824  GIdcgi 25971   RingOpscrngo 26159   Idlcidl 32286   PrIdlcpridl 32287   PrRingcprrng 32325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-grpo 25975  df-gid 25976  df-ginv 25977  df-ablo 26066  df-ass 26097  df-exid 26099  df-mgmOLD 26103  df-sgrOLD 26115  df-mndo 26122  df-rngo 26160  df-idl 32289  df-pridl 32290  df-prrngo 32327
This theorem is referenced by:  divrngpr  32332
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