Theorem smores2 6575

Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Proof of Theorem smores2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsmo2 6568	. . . . . . 7 |- ( Smo F <-> ( F : dom F --> On /\ Ord dom F /\ A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
2	1	simp1bi 972	. . . . . 6 |- ( Smo F -> F : dom F --> On )
3		ffun 5552	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> Fun F )
4	2, 3	syl 16	. . . . 5 |- ( Smo F -> Fun F )
5		funres 5451	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Fun ( F |` A ) )
6		funfn 5441	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
7	5, 6	sylib 189	. . . . 5 |- ( Fun F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
8	4, 7	syl 16	. . . 4 |- ( Smo F -> ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) )
9		df-ima 4850	. . . . . 6 |- ( F " A ) = ran ( F |` A )
10		imassrn 5175	. . . . . 6 |- ( F " A ) C_ ran F
11	9, 10	eqsstr3i 3339	. . . . 5 |- ran ( F |` A ) C_ ran F
12		frn 5556	. . . . . 6 |- ( F : dom F --> On -> ran F C_ On )
13	2, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( Smo F -> ran F C_ On )
14	11, 13	syl5ss 3319	. . . 4 |- ( Smo F -> ran ( F |` A ) C_ On )
15		df-f 5417	. . . 4 |- ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On <-> ( ( F |` A ) Fn dom ( F |` A ) /\ ran ( F |` A ) C_ On ) )
16	8, 14, 15	sylanbrc 646	. . 3 |- ( Smo F -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
17	16	adantr 452	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On )
18		smodm 6572	. . 3 |- ( Smo F -> Ord dom F )
19		ordin 4571	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord ( A i^i dom F ) )
20		dmres 5126	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
21		ordeq 4548	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F ) -> ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) ) )
22	20, 21	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( Ord dom ( F |` A ) <-> Ord ( A i^i dom F ) )
23	19, 22	sylibr 204	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord dom F ) -> Ord dom ( F |` A ) )
24	23	ancoms 440	. . 3 |- ( ( Ord dom F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
25	18, 24	sylan 458	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Ord dom ( F |` A ) )
26		resss 5129	. . . . . 6 |- ( F |` A ) C_ F
27		dmss 5028	. . . . . 6 |- ( ( F |` A ) C_ F -> dom ( F |` A ) C_ dom F )
28	26, 27	ax-mp 8	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) C_ dom F
29	1	simp3bi 974	. . . . 5 |- ( Smo F -> A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
30		ssralv 3367	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) C_ dom F -> ( A. x e. dom F A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
31	28, 29, 30	mpsyl 61	. . . 4 |- ( Smo F -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
32	31	adantr 452	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) )
33		ordtr1 4584	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord dom ( F |` A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
34	25, 33	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. dom ( F |` A ) ) )
35		inss1 3521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i dom F ) C_ A
36	20, 35	eqsstri 3338	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` A ) C_ A
37	36	sseli 3304	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. dom ( F |` A ) -> y e. A )
38	34, 37	syl6 31	. . . . . . . . 9 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( ( y e. x /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> y e. A ) )
39	38	exp3acom23 1378	. . . . . . . 8 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( x e. dom ( F |` A ) -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
40	39	imp31 422	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> y e. A )
41		fvres 5704	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
42	40, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` y ) = ( F ` y ) )
43	36	sseli 3304	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> x e. A )
44		fvres 5704	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( x e. dom ( F |` A ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
46	45	ad2antlr 708	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( F |` A ) ` x ) = ( F ` x ) )
47	42, 46	eleq12d 2472	. . . . 5 |- ( ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) /\ y e. x ) -> ( ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
48	47	ralbidva 2682	. . . 4 |- ( ( ( Smo F /\ Ord A ) /\ x e. dom ( F |` A ) ) -> ( A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
49	48	ralbidva 2682	. . 3 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> ( A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) <-> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( F ` y ) e. ( F ` x ) ) )
50	32, 49	mpbird 224	. 2 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) )
51		dfsmo2 6568	. 2 |- ( Smo ( F |` A ) <-> ( ( F |` A ) : dom ( F |` A ) --> On /\ Ord dom ( F |` A ) /\ A. x e. dom ( F |` A ) A. y e. x ( ( F |` A ) ` y ) e. ( ( F |` A ) ` x ) ) )
52	17, 25, 50, 51	syl3anbrc 1138	1 |- ( ( Smo F /\ Ord A ) -> Smo ( F |` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   i^i cin 3279   C_ wss 3280   Ord word 4540   Oncon0 4541   dom cdm 4837   ran crn 4838   |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   Smo wsmo 6566

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-smo 6567