Theorem smores2 16447

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone.

Assertion

Ref	Expression
smores2	|- ((Smo (A |` B) /\ C e. (dom A i^i B) /\ Ord B) -> Smo (A |` C))

Proof of Theorem smores2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smores 16446	. . . 4 |- ((Smo (A |` B) /\ C e. dom ( A |` B)) -> Smo ((A |` B) |` C))
2		dmres 4234	. . . . . 6 |- dom ( A |` B) = (B i^i dom A)
3		incom 2787	. . . . . 6 |- (B i^i dom A) = (dom A i^i B)
4	2, 3	eqtri 1908	. . . . 5 |- dom ( A |` B) = (dom A i^i B)
5	4	eleq2i 1961	. . . 4 |- (C e. dom ( A |` B) <-> C e. (dom A i^i B))
6	1, 5	sylan2br 502	. . 3 |- ((Smo (A |` B) /\ C e. (dom A i^i B)) -> Smo ((A |` B) |` C))
7	6	3adant3 896	. 2 |- ((Smo (A |` B) /\ C e. (dom A i^i B) /\ Ord B) -> Smo ((A |` B) |` C))
8		ordelss 3674	. . . . . 6 |- ((Ord B /\ C e. B) -> C C_ B)
9	8	ancoms 484	. . . . 5 |- ((C e. B /\ Ord B) -> C C_ B)
10		inss2 2813	. . . . . 6 |- (dom A i^i B) C_ B
11	10	sseli 2617	. . . . 5 |- (C e. (dom A i^i B) -> C e. B)
12	9, 11	sylan 497	. . . 4 |- ((C e. (dom A i^i B) /\ Ord B) -> C C_ B)
13	12	3adant1 894	. . 3 |- ((Smo (A |` B) /\ C e. (dom A i^i B) /\ Ord B) -> C C_ B)
14		resabs1 4244	. . 3 |- (C C_ B -> ((A |` B) |` C) = (A |` C))
15		smoeq 16444	. . 3 |- (((A |` B) |` C) = (A |` C) -> (Smo ((A |` B) |` C) <-> Smo (A |` C)))
16	13, 14, 15	3syl 24	. 2 |- ((Smo (A |` B) /\ C e. (dom A i^i B) /\ Ord B) -> (Smo ((A |` B) |` C) <-> Smo (A |` C)))
17	7, 16	mpbid 212	1 |- ((Smo (A |` B) /\ C e. (dom A i^i B) /\ Ord B) -> Smo (A |` C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592   C_ wss 2593  Ord word 3656  dom cdm 3986   |` cres 3988  Smo csmo 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-smo 16442

Copyright terms: Public domain