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Theorem smores2 6575
Description: A strictly monotone ordinal function restricted to an ordinal is still monotone. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
smores2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Smo  ( F  |`  A ) )

Proof of Theorem smores2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsmo2 6568 . . . . . . 7  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
21simp1bi 972 . . . . . 6  |-  ( Smo 
F  ->  F : dom  F --> On )
3 ffun 5552 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> On  ->  Fun 
F )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  Fun  F )
5 funres 5451 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  A ) )
6 funfn 5441 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <-> 
( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
75, 6sylib 189 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  ( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
84, 7syl 16 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  ( F  |`  A )  Fn  dom  ( F  |`  A ) )
9 df-ima 4850 . . . . . 6  |-  ( F
" A )  =  ran  ( F  |`  A )
10 imassrn 5175 . . . . . 6  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
119, 10eqsstr3i 3339 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  A )  C_  ran  F
12 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( F : dom  F --> On  ->  ran 
F  C_  On )
132, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  ran  F  C_  On )
1411, 13syl5ss 3319 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  ran  ( F  |`  A )  C_  On )
15 df-f 5417 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On  <->  ( ( F  |`  A )  Fn 
dom  ( F  |`  A )  /\  ran  ( F  |`  A ) 
C_  On ) )
168, 14, 15sylanbrc 646 . . 3  |-  ( Smo 
F  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On )
1716adantr 452 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On )
18 smodm 6572 . . 3  |-  ( Smo 
F  ->  Ord  dom  F
)
19 ordin 4571 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  ( A  i^i  dom  F
) )
20 dmres 5126 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21 ordeq 4548 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom 
F )  ->  ( Ord  dom  ( F  |`  A )  <->  Ord  ( A  i^i  dom  F )
) )
2220, 21ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  ( F  |`  A )  <->  Ord  ( A  i^i  dom  F )
)
2319, 22sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  dom 
F )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
2423ancoms 440 . . 3  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  Ord  A )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
2518, 24sylan 458 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Ord  dom  ( F  |`  A ) )
26 resss 5129 . . . . . 6  |-  ( F  |`  A )  C_  F
27 dmss 5028 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A )  C_  F  ->  dom  ( F  |`  A )  C_  dom  F )
2826, 27ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  dom  F
291simp3bi 974 . . . . 5  |-  ( Smo 
F  ->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
30 ssralv 3367 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  |`  A ) 
C_  dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
3128, 29, 30mpsyl 61 . . . 4  |-  ( Smo 
F  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
3231adantr 452 . . 3  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
33 ordtr1 4584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
dom  ( F  |`  A )  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  ->  y  e.  dom  ( F  |`  A ) ) )
3425, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
y  e.  dom  ( F  |`  A ) ) )
35 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
3620, 35eqsstri 3338 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  A
3736sseli 3304 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  y  e.  A )
3834, 37syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
y  e.  A ) )
3938exp3acom23 1378 . . . . . . . 8  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) ) )
4039imp31 422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
41 fvres 5704 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
4240, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
4336sseli 3304 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  x  e.  A )
44 fvres 5704 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
4645ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4742, 46eleq12d 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ( ( F  |`  A ) `  x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
4847ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  /\  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )  -> 
( A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y
)  e.  ( ( F  |`  A ) `  x )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
4948ralbidva 2682 . . 3  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  ( A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x )  <->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
5032, 49mpbird 224 . 2  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  A. x  e.  dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x ) )
51 dfsmo2 6568 . 2  |-  ( Smo  ( F  |`  A )  <-> 
( ( F  |`  A ) : dom  ( F  |`  A ) --> On  /\  Ord  dom  ( F  |`  A )  /\  A. x  e. 
dom  ( F  |`  A ) A. y  e.  x  ( ( F  |`  A ) `  y )  e.  ( ( F  |`  A ) `
 x ) ) )
5217, 25, 50, 51syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( Smo  F  /\  Ord  A )  ->  Smo  ( F  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    i^i cin 3279    C_ wss 3280   Ord word 4540   Oncon0 4541   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413   Smo wsmo 6566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-smo 6567
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