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Theorem smores 7097
Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
smores  |-  ( ( Smo  A  /\  B  e.  dom  A )  ->  Smo  ( A  |`  B ) )

Proof of Theorem smores
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 5640 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
A  ->  Fun  ( A  |`  B ) )
2 funfn 5630 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
A  <->  A  Fn  dom  A )
3 funfn 5630 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  ( A  |`  B )  <-> 
( A  |`  B )  Fn  dom  ( A  |`  B ) )
41, 2, 33imtr3i 273 . . . . . . 7  |-  ( A  Fn  dom  A  -> 
( A  |`  B )  Fn  dom  ( A  |`  B ) )
5 resss 5147 . . . . . . . . 9  |-  ( A  |`  B )  C_  A
6 rnss 5082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  |`  B )  C_  A  ->  ran  ( A  |`  B )  C_  ran  A )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  ( A  |`  B )  C_  ran  A
8 sstr 3452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( A  |`  B )  C_  ran  A  /\  ran  A  C_  On )  ->  ran  ( A  |`  B )  C_  On )
97, 8mpan 681 . . . . . . 7  |-  ( ran 
A  C_  On  ->  ran  ( A  |`  B ) 
C_  On )
104, 9anim12i 574 . . . . . 6  |-  ( ( A  Fn  dom  A  /\  ran  A  C_  On )  ->  ( ( A  |`  B )  Fn  dom  ( A  |`  B )  /\  ran  ( A  |`  B )  C_  On ) )
11 df-f 5605 . . . . . 6  |-  ( A : dom  A --> On  <->  ( A  Fn  dom  A  /\  ran  A 
C_  On ) )
12 df-f 5605 . . . . . 6  |-  ( ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On  <->  ( ( A  |`  B )  Fn 
dom  ( A  |`  B )  /\  ran  ( A  |`  B ) 
C_  On ) )
1310, 11, 123imtr4i 274 . . . . 5  |-  ( A : dom  A --> On  ->  ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( A : dom  A --> On  ->  ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On ) )
15 ordelord 5464 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  A  /\  B  e.  dom  A )  ->  Ord  B )
1615expcom 441 . . . . . 6  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Ord  dom  A  ->  Ord  B ) )
17 ordin 5472 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  dom 
A )  ->  Ord  ( B  i^i  dom  A
) )
1817ex 440 . . . . . 6  |-  ( Ord 
B  ->  ( Ord  dom 
A  ->  Ord  ( B  i^i  dom  A )
) )
1916, 18syli 38 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Ord  dom  A  ->  Ord  ( B  i^i  dom  A ) ) )
20 dmres 5144 . . . . . 6  |-  dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
21 ordeq 5449 . . . . . 6  |-  ( dom  ( A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )  ->  ( Ord  dom  ( A  |`  B )  <->  Ord  ( B  i^i  dom  A )
) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  ( A  |`  B )  <->  Ord  ( B  i^i  dom  A )
)
2319, 22syl6ibr 235 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Ord  dom  A  ->  Ord  dom  ( A  |`  B ) ) )
24 dmss 5053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  |`  B )  C_  A  ->  dom  ( A  |`  B )  C_  dom  A )
255, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  ( A  |`  B )  C_  dom  A
26 ssralv 3505 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( A  |`  B ) 
C_  dom  A  ->  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
28 ssralv 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( A  |`  B ) 
C_  dom  A  ->  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) )  ->  A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
2925, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
3029ralimi 2793 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )
3127, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
32 inss1 3664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  dom  A )  C_  B
3320, 32eqsstri 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  ( A  |`  B )  C_  B
34 simpl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  ->  x  e.  dom  ( A  |`  B ) )
3533, 34sseldi 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  ->  x  e.  B )
36 fvres 5902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  =  ( A `  x
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( A  |`  B ) `  x
)  =  ( A `
 x ) )
38 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
y  e.  dom  ( A  |`  B ) )
3933, 38sseldi 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
y  e.  B )
40 fvres 5902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
( A  |`  B ) `
 y )  =  ( A `  y
) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( A  |`  B ) `  y
)  =  ( A `
 y ) )
4237, 41eleq12d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( ( A  |`  B ) `  x
)  e.  ( ( A  |`  B ) `  y )  <->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) )
4342imbi2d 322 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  /\  y  e.  dom  ( A  |`  B ) )  -> 
( ( x  e.  y  ->  ( ( A  |`  B ) `  x )  e.  ( ( A  |`  B ) `
 y ) )  <-> 
( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y ) ) ) )
4443ralbidva 2836 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  dom  ( A  |`  B )  ->  ( A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( ( A  |`  B ) `  x
)  e.  ( ( A  |`  B ) `  y ) )  <->  A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
4544ralbiia 2830 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) )  <->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )
4631, 45sylibr 217 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  -> 
( A `  x
)  e.  ( A `
 y ) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  ( ( A  |`  B ) `  x
)  e.  ( ( A  |`  B ) `  y ) ) )
4746a1i 11 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( A. x  e. 
dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) )  ->  A. x  e.  dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) ) ) )
4814, 23, 473anim123d 1355 . . 3  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) )  -> 
( ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On  /\  Ord  dom  ( A  |`  B )  /\  A. x  e. 
dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) ) ) ) )
49 df-smo 7091 . . 3  |-  ( Smo 
A  <->  ( A : dom  A --> On  /\  Ord  dom 
A  /\  A. x  e.  dom  A A. y  e.  dom  A ( x  e.  y  ->  ( A `  x )  e.  ( A `  y
) ) ) )
50 df-smo 7091 . . 3  |-  ( Smo  ( A  |`  B )  <-> 
( ( A  |`  B ) : dom  ( A  |`  B ) --> On  /\  Ord  dom  ( A  |`  B )  /\  A. x  e. 
dom  ( A  |`  B ) A. y  e.  dom  ( A  |`  B ) ( x  e.  y  ->  (
( A  |`  B ) `
 x )  e.  ( ( A  |`  B ) `  y
) ) ) )
5148, 49, 503imtr4g 278 . 2  |-  ( B  e.  dom  A  -> 
( Smo  A  ->  Smo  ( A  |`  B ) ) )
5251impcom 436 1  |-  ( ( Smo  A  /\  B  e.  dom  A )  ->  Smo  ( A  |`  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749    i^i cin 3415    C_ wss 3416   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855   Ord word 5441   Oncon0 5442   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   Smo wsmo 7090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ord 5445  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-smo 7091
This theorem is referenced by:  smores3  7098  alephsing  8732
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