Theorem smores 16446

Description: A strictly monotone function restricted to an ordinal remains strictly monotone.

Assertion

Ref	Expression
smores	|- ((Smo A /\ B e. dom A) -> Smo (A |` B))

Proof of Theorem smores

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 4459	. . . . . . . 8 |- (Fun A -> Fun (A |` B))
2		funfn 4451	. . . . . . . 8 |- (Fun A <-> A Fn dom A)
3		funfn 4451	. . . . . . . 8 |- (Fun (A |` B) <-> (A |` B) Fn dom ( A |` B))
4	1, 2, 3	3imtr3i 235	. . . . . . 7 |- (A Fn dom A -> (A |` B) Fn dom ( A |` B))
5		resss 4237	. . . . . . . . 9 |- (A |` B) C_ A
6		rnss 4189	. . . . . . . . 9 |- ((A |` B) C_ A -> ran ( A |` B) C_ ran A)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ran ( A |` B) C_ ran A
8		sstr 2625	. . . . . . . 8 |- ((ran ( A |` B) C_ ran A /\ ran A C_ On) -> ran ( A |` B) C_ On)
9	7, 8	mpan 759	. . . . . . 7 |- (ran A C_ On -> ran ( A |` B) C_ On)
10	4, 9	anim12i 360	. . . . . 6 |- ((A Fn dom A /\ ran A C_ On) -> ((A |` B) Fn dom ( A |` B) /\ ran ( A |` B) C_ On))
11		df-f 4010	. . . . . 6 |- (A:dom A-->On <-> (A Fn dom A /\ ran A C_ On))
12		df-f 4010	. . . . . 6 |- ((A |` B):dom ( A |` B)-->On <-> ((A |` B) Fn dom ( A |` B) /\ ran ( A |` B) C_ On))
13	10, 11, 12	3imtr4i 236	. . . . 5 |- (A:dom A-->On -> (A |` B):dom ( A |` B)-->On)
14	13	a1i 8	. . . 4 |- (B e. dom A -> (A:dom A-->On -> (A |` B):dom ( A |` B)-->On))
15		ordelord 3680	. . . . . . 7 |- ((Ord dom A /\ B e. dom A) -> Ord B)
16	15	expcom 403	. . . . . 6 |- (B e. dom A -> (Ord dom A -> Ord B))
17		ordin 3689	. . . . . . 7 |- ((Ord B /\ Ord dom A) -> Ord (B i^i dom A))
18	17	ex 402	. . . . . 6 |- (Ord B -> (Ord dom A -> Ord (B i^i dom A)))
19	16, 18	syli 65	. . . . 5 |- (B e. dom A -> (Ord dom A -> Ord (B i^i dom A)))
20		dmres 4234	. . . . . 6 |- dom ( A |` B) = (B i^i dom A)
21		ordeq 3664	. . . . . 6 |- (dom ( A |` B) = (B i^i dom A) -> (Ord dom ( A |` B) <-> Ord (B i^i dom A)))
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . 5 |- (Ord dom ( A |` B) <-> Ord (B i^i dom A))
23	19, 22	syl6ibr 230	. . . 4 |- (B e. dom A -> (Ord dom A -> Ord dom ( A |` B)))
24		hbra1 2147	. . . . . 6 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> A.xA.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)))
25		hbra2 2148	. . . . . . 7 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> A.yA.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)))
26		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (x e. dom ( A |` B) -> A.y x e. dom ( A |` B))
27		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y))) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y))))
28		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. B -> ((A |` B)` x) = (A` x))
29	28	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. B /\ y e. B) -> ((A |` B)` x) = (A` x))
30		fvres 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. B -> ((A |` B)` y) = (A` y))
31	30	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. B /\ y e. B) -> ((A |` B)` y) = (A` y))
32	29, 31	eleq12d 1965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x e. B /\ y e. B) -> (((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y) <-> (A` x) e. (A` y)))
33	32	biimprcd 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A` x) e. (A` y) -> ((x e. B /\ y e. B) -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y)))
34	33	imim2i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> (x e. y -> ((x e. B /\ y e. B) -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
35	34	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> ((x e. B /\ y e. B) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
36	27, 35	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y))) -> ((x e. B /\ y e. B) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y)))))
37	36	com23 36	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. dom A /\ y e. dom A) -> ((x e. B /\ y e. B) -> (((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y))) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y)))))
38	37	impcom 378	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. B /\ y e. B) /\ (x e. dom A /\ y e. dom A)) -> (((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y))) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
39		ra42 2157	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> ((x e. dom A /\ y e. dom A) -> (x e. y -> (A` x) e. (A` y))))
40	38, 39	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. B /\ y e. B) /\ (x e. dom A /\ y e. dom A)) -> (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
41	40	an4s 566	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. B /\ x e. dom A) /\ (y e. B /\ y e. dom A)) -> (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
42	41	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> (((x e. B /\ x e. dom A) /\ (y e. B /\ y e. dom A)) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
43		elin 2786	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (B i^i dom A) <-> (x e. B /\ x e. dom A))
44		elin 2786	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. (B i^i dom A) <-> (y e. B /\ y e. dom A))
45	43, 44	anbi12i 540	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. (B i^i dom A) /\ y e. (B i^i dom A)) <-> ((x e. B /\ x e. dom A) /\ (y e. B /\ y e. dom A)))
46	42, 45	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> ((x e. (B i^i dom A) /\ y e. (B i^i dom A)) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
47	20	eleq2i 1961	. . . . . . . . . 10 |- (x e. dom ( A |` B) <-> x e. (B i^i dom A))
48	20	eleq2i 1961	. . . . . . . . . 10 |- (y e. dom ( A |` B) <-> y e. (B i^i dom A))
49	47, 48	anbi12i 540	. . . . . . . . 9 |- ((x e. dom ( A |` B) /\ y e. dom ( A |` B)) <-> (x e. (B i^i dom A) /\ y e. (B i^i dom A)))
50	46, 49	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> ((x e. dom ( A |` B) /\ y e. dom ( A |` B)) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
51	50	exp3a 405	. . . . . . 7 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> (x e. dom ( A |` B) -> (y e. dom ( A |` B) -> (x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y)))))
52	25, 26, 51	r19.21ad 2180	. . . . . 6 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> (x e. dom ( A |` B) -> A.y e. dom ( A |` B)(x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
53	24, 52	r19.21ai 2174	. . . . 5 |- (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> A.x e. dom ( A |` B)A.y e. dom ( A |` B)(x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y)))
54	53	a1i 8	. . . 4 |- (B e. dom A -> (A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y)) -> A.x e. dom ( A |` B)A.y e. dom ( A |` B)(x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
55	14, 23, 54	3anim123d 1175	. . 3 |- (B e. dom A -> ((A:dom A-->On /\ Ord dom A /\ A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y))) -> ((A |` B):dom ( A |` B)-->On /\ Ord dom ( A |` B) /\ A.x e. dom ( A |` B)A.y e. dom ( A |` B)(x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y)))))
56		df-smo 16442	. . 3 |- (Smo A <-> (A:dom A-->On /\ Ord dom A /\ A.x e. dom AA.y e. dom A(x e. y -> (A` x) e. (A` y))))
57		df-smo 16442	. . 3 |- (Smo (A |` B) <-> ((A |` B):dom ( A |` B)-->On /\ Ord dom ( A |` B) /\ A.x e. dom ( A |` B)A.y e. dom ( A |` B)(x e. y -> ((A |` B)` x) e. ((A |` B)` y))))
58	55, 56, 57	3imtr4g 612	. 2 |- (B e. dom A -> (Smo A -> Smo (A |` B)))
59	58	impcom 378	1 |- ((Smo A /\ B e. dom A) -> Smo (A |` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  Smo csmo 16441

This theorem is referenced by:  smores2 16447

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-smo 16442

Copyright terms: Public domain