MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smogt Structured version   Unicode version

Theorem smogt 7035
Description: A strictly monotone ordinal function is greater than or equal to its argument. Exercise 1 in [TakeutiZaring] p. 50. (Contributed by Andrew Salmon, 23-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smogt  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )

Proof of Theorem smogt
Dummy variables  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  x  =  C )
2 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
31, 2sseq12d 3533 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  C  C_  ( F `  C )
) )
43imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C )
) ) )
5 smodm2 7023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
653adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  A )
7 simp3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
8 ordelord 4900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
96, 7, 8syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  Ord  x )
10 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1110elon 4887 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  <->  Ord  x )
129, 11sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  On )
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
14133anbi3d 1305 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  <->  ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A
) ) )
15 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
16 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1715, 16sseq12d 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  ( F `  x )  <->  y  C_  ( F `  y ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) )  <->  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) ) ) )
19 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  F  Fn  A )
20 simpl2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  Smo  F )
21 ordtr1 4921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Ord 
A  ->  ( (
y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2221expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
A  ->  ( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  A ) ) )
236, 7, 22sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  A ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
25 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2619, 20, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) ) )
2726ralimdva 2872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y ) ) )
2853adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  A )
29 simp31 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  x  e.  A )
3028, 29, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  x )
31 simp32 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  x )
32 ordelord 4900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  x  /\  y  e.  x )  ->  Ord  y )
3330, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  y )
34 smofvon2 7024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  x )  e.  On )
35343ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  On )
36 eloni 4888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  x )  e.  On  ->  Ord  ( F `  x ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  ->  Ord  ( F `  x
) )
38 simp33 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  C_  ( F `  y ) )
39 smoel2 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
40393adantr3 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
41403impa 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )
42 ordtr2 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x ) )  ->  ( (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4342imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Ord  y  /\  Ord  ( F `  x
) )  /\  (
y  C_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
4433, 37, 38, 41, 43syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `  y
) ) )  -> 
y  e.  ( F `
 x ) )
45443expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  x  /\  y  C_  ( F `
 y ) )  ->  y  e.  ( F `  x ) ) )
46453expd 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  x  ->  ( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
47463impia 1193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `
 x ) ) ) )
4847imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  C_  ( F `  y )  ->  y  e.  ( F `  x
) ) )
4948ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) ) )
50 dfss3 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( F `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( F `  x ) )
5149, 50syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  y  C_  ( F `  y )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5227, 51syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5352com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  x  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y
) )  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  y  e.  A )  ->  y  C_  ( F `  y ) )  -> 
( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) ) )
5518, 54tfis2 6669 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) ) )
5612, 55mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  ( F `  x
) )
57563expia 1198 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
x  e.  A  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
5857com12 31 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  x  C_  ( F `  x ) ) )
594, 58vtoclga 3177 . . 3  |-  ( C  e.  A  ->  (
( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  C  C_  ( F `  C ) ) )
6059com12 31 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  ( C  e.  A  ->  C 
C_  ( F `  C ) ) )
61603impia 1193 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F  /\  C  e.  A )  ->  C  C_  ( F `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   Ord word 4877   Oncon0 4878    Fn wfn 5581   ` cfv 5586   Smo wsmo 7013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-smo 7014
This theorem is referenced by:  smorndom  7036  oismo  7961
  Copyright terms: Public domain W3C validator