Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smobeth Structured version   Unicode version

Theorem smobeth 9013
 Description: The beth function is strictly monotone. This function is not strictly the beth function, but rather bethA is the same as , since conventionally we start counting at the first infinite level, and ignore the finite levels. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
smobeth

Proof of Theorem smobeth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardf2 8380 . . . . . . 7
2 ffun 5746 . . . . . . 7
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6
4 r1fnon 8241 . . . . . . 7
5 fnfun 5689 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6
7 funco 5637 . . . . . 6
83, 6, 7mp2an 677 . . . . 5
9 funfn 5628 . . . . 5
108, 9mpbi 212 . . . 4
11 rnco 5358 . . . . 5
12 resss 5145 . . . . . . 7
13 rnss 5080 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 frn 5750 . . . . . . 7
161, 15ax-mp 5 . . . . . 6
1714, 16sstri 3474 . . . . 5
1811, 17eqsstri 3495 . . . 4
19 df-f 5603 . . . 4
2010, 18, 19mpbir2an 929 . . 3
21 dmco 5360 . . . 4
2221feq2i 5737 . . 3
2320, 22mpbi 212 . 2
24 elpreima 6015 . . . . . . . . 9
254, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8
2625simplbi 462 . . . . . . 7
27 onelon 5465 . . . . . . 7
2826, 27sylan 474 . . . . . 6
2925simprbi 466 . . . . . . . 8
3029adantr 467 . . . . . . 7
31 r1ord2 8255 . . . . . . . . 9
3231imp 431 . . . . . . . 8
3326, 32sylan 474 . . . . . . 7
34 ssnum 8472 . . . . . . 7
3530, 33, 34syl2anc 666 . . . . . 6
36 elpreima 6015 . . . . . . 7
374, 36ax-mp 5 . . . . . 6
3828, 35, 37sylanbrc 669 . . . . 5
3938rgen2 2851 . . . 4
40 dftr5 4519 . . . 4
4139, 40mpbir 213 . . 3
42 cnvimass 5205 . . . . 5
43 dffn2 5745 . . . . . . 7
444, 43mpbi 212 . . . . . 6
4544fdmi 5749 . . . . 5
4642, 45sseqtri 3497 . . . 4
47 epweon 6622 . . . 4
48 wess 4838 . . . 4
4946, 47, 48mp2 9 . . 3
50 df-ord 5443 . . 3
5141, 49, 50mpbir2an 929 . 2
52 r1sdom 8248 . . . . . . 7
5326, 52sylan 474 . . . . . 6
54 cardsdom2 8425 . . . . . . 7
5535, 30, 54syl2anc 666 . . . . . 6
5653, 55mpbird 236 . . . . 5
57 fvco2 5954 . . . . . 6
584, 28, 57sylancr 668 . . . . 5
5926adantr 467 . . . . . 6
60 fvco2 5954 . . . . . 6
614, 59, 60sylancr 668 . . . . 5
6256, 58, 613eltr4d 2526 . . . 4
6362ex 436 . . 3
6463adantl 468 . 2
6523, 51, 64, 21issmo 7073 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  cab 2408  wral 2776  wrex 2777  cvv 3082   wss 3437   class class class wbr 4421   wtr 4516   cep 4760   wwe 4809  ccnv 4850   cdm 4851   crn 4852   cres 4853  cima 4854   ccom 4855   word 5439  con0 5440   wfun 5593   wfn 5594  wf 5595  cfv 5599   wsmo 7070   cen 7572   csdm 7574  cr1 8236  ccrd 8372 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-smo 7071  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-r1 8238  df-card 8376 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator