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Theorem smo11 6837
Description: A strictly monotone ordinal function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
smo11  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A -1-1-> B )

Proof of Theorem smo11
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A --> B )
2 ffn 5571 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
3 smodm2 6828 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  Ord  A )
4 ordelord 4753 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  z  e.  A )  ->  Ord  z )
54ex 434 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( z  e.  A  ->  Ord  z
) )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
z  e.  A  ->  Ord  z ) )
7 ordelord 4753 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  A  /\  w  e.  A )  ->  Ord  w )
87ex 434 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( w  e.  A  ->  Ord  w
) )
93, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
w  e.  A  ->  Ord  w ) )
106, 9anim12d 563 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( Ord  z  /\  Ord  w ) ) )
11 ordtri3or 4763 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  z  /\  Ord  w )  ->  (
z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z ) )
12 simp1rr 1054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  w  e.  A )
13 smoel2 6836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  x
) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )
1413ralrimivva 2820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
16153ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
17 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  e.  w )
18 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )
19 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
2019eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
2120raleqbi1dv 2937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  <->  A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
2221rspcv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w ) ) )
23 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
2423eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) )
2524rspccv 3082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  w  ( F `  y )  e.  ( F `  w
)  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  w
) ) )
2622, 25syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  (
z  e.  w  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) ) )
27263imp 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x
)  /\  z  e.  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w
) )
28 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) ) )
2928biimpac 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3027, 29sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  /\  z  e.  w )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3112, 16, 17, 18, 30syl31anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
32 smofvon2 6829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Smo 
F  ->  ( F `  w )  e.  On )
33 eloni 4741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  w )  e.  On  ->  Ord  ( F `  w ) )
34 ordirr 4749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  ( F `  w
)  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w
) )
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Smo 
F  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w
) )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  -.  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) )
37363ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  -.  ( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
3831, 37pm2.21dd 174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  z  e.  w  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  =  w )
39383exp 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
z  e.  w  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
40 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
z  =  w  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
42 simp1rl 1053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  e.  A )
43153ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )
44 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  w  e.  z )
45 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )
46 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
4746eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
4847raleqbi1dv 2937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  <->  A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
4948rspcv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
50 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
5150eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  z ) ) )
5251rspccv 3082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  z  ( F `  y )  e.  ( F `  z
)  ->  ( w  e.  z  ->  ( F `
 w )  e.  ( F `  z
) ) )
5349, 52syl6 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  ->  (
w  e.  z  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 z ) ) ) )
54533imp 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x
)  /\  w  e.  z )  ->  ( F `  w )  e.  ( F `  z
) )
55 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  w
)  e.  ( F `
 z )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  w ) ) )
5655biimpac 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  ( F `
 z )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
5754, 56sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x )  /\  w  e.  z )  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
5842, 43, 44, 45, 57syl31anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
59363ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  ->  -.  ( F `  w
)  e.  ( F `
 w ) )
6058, 59pm2.21dd 174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A ) )  /\  w  e.  z  /\  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  -> 
z  =  w )
61603exp 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
w  e.  z  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6239, 41, 613jaod 1282 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( z  e.  w  \/  z  =  w  \/  w  e.  z
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6311, 62syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( Ord  z  /\  Ord  w )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
6463ex 434 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( Ord  z  /\  Ord  w
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
6510, 64mpdd 40 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  A
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) ) )
6665ralrimivv 2819 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  Smo  F )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
672, 66sylan 471 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  ->  z  =  w ) )
68 dff13 5983 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  -> 
z  =  w ) ) )
691, 67, 68sylanbrc 664 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  Smo  F )  ->  F : A -1-1-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   Ord word 4730   Oncon0 4731    Fn wfn 5425   -->wf 5426   -1-1->wf1 5427   ` cfv 5430   Smo wsmo 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fv 5438  df-smo 6819
This theorem is referenced by:  smoiso2  6842  alephf1ALT  8285
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