Theorem smo0 16449

Description: The null set is a strictly monotone ordinal function.

Assertion

Ref	Expression
smo0	|- Smo (/)

Proof of Theorem smo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 3715	. . 3 |- Ord (/)
2	1	iordsmo 16448	. 2 |- Smo ( _I |` (/))
3		res0 4221	. . 3 |- ( _I |` (/)) = (/)
4		smoeq 16444	. . 3 |- (( _I |` (/)) = (/) -> (Smo ( _I |` (/)) <-> Smo (/)))
5	3, 4	ax-mp 7	. 2 |- (Smo ( _I |` (/)) <-> Smo (/))
6	2, 5	mpbi 206	1 |- Smo (/)

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298  (/)c0 2875   _I cid 3582   |` cres 3988  Smo csmo 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-smo 16442

Copyright terms: Public domain