Theorem smcnlem 24245

Description: Lemma for smcn 24246. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smcn.c	|- C = ( IndMet ` U )
smcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
smcn.s	|- S = ( .sOLD ` U )
smcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
smcn.x	|- X = ( BaseSet ` U )
smcn.n	|- N = ( normCV ` U )
smcn.u	|- U e. NrmCVec
smcn.t	|- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smcnlem	|- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, r, y, C   J, r, x, y   U, r, x, y   K, r, x, y   S, r, x, y   X, r, x, y

Allowed substitution hints:   T( x, y, r)   N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem

Dummy variables s w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smcn.u	. . 3 |- U e. NrmCVec
2		smcn.x	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
3		smcn.s	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` U )
4	2, 3	nvsf 24150	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> S : ( CC X. X ) --> X )
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 |- S : ( CC X. X ) --> X
6		smcn.t	. . . . . 6 |- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
7		1rp 11107	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
8		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> y e. X )
9		smcn.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( normCV ` U )
10	2, 9	nvcl 24200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
11	1, 8, 10	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
12		abscl 12886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( abs ` x ) e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
14	11, 13	readdcld 9525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
15	2, 9	nvge0 24215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
16	1, 8, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
17		absge0 12895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> 0 <_ ( abs ` x ) )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
19	11, 13, 16, 18	addge0d 10027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) )
20	14, 19	ge0p1rpd 11165	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ )
21		rpdivcl 11125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
22	20, 21	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
23		rpaddcl 11123	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
24	7, 22, 23	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
25	24	rpreccld 11149	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) e. RR+ )
26	6, 25	syl5eqel 2546	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> T e. RR+ )
27		smcn.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
28	2, 27	imsmet 24235	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` X ) )
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- C e. ( Met ` X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> C e. ( Met ` X ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> U e. NrmCVec )
32		simplll 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> x e. CC )
33		simpllr 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> y e. X )
34	2, 3	nvscl 24159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. X ) -> ( x S y ) e. X )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x S y ) e. X )
36		simprll 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> z e. CC )
37		simprlr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> w e. X )
38	2, 3	nvscl 24159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ w e. X ) -> ( z S w ) e. X )
39	31, 36, 37, 38	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S w ) e. X )
40		metcl 20040	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
41	30, 35, 39, 40	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
42	2, 3	nvscl 24159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ y e. X ) -> ( z S y ) e. X )
43	31, 36, 33, 42	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S y ) e. X )
44		metcl 20040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
45	30, 35, 43, 44	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
46		metcl 20040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
47	30, 43, 39, 46	syl3anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
48	45, 47	readdcld 9525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) e. RR )
49		rpre 11109	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
50	49	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR )
51		mettri 20060	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
52	30, 35, 39, 43, 51	syl13anc 1221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
53	1, 33, 10	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
54	32	abscld 13041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
55	53, 54	readdcld 9525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
56		peano2re 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
58	26	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR+ )
59	58	rpred 11139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR )
60	57, 59	remulcld 9526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) e. RR )
61	32, 36	subcld 9831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
62	61	abscld 13041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
63	62, 53	remulcld 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
64	36	abscld 13041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) e. RR )
65		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
66	2, 65	nvmcl 24180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
67	31, 33, 37, 66	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
68	2, 9	nvcl 24200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
69	1, 67, 68	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
70	64, 69	remulcld 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) e. RR )
71	53, 59	remulcld 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) x. T ) e. RR )
72		peano2re 9654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
73	54, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
74	73, 59	remulcld 9526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) e. RR )
75	1, 33, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
76	32, 36	abssubd 13058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
77	36, 32	subcld 9831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z - x ) e. CC )
78	77	abscld 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) e. RR )
79		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
80	79	cnmetdval 20483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
81	32, 36, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
82	81, 76	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
83		simprrl 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < T )
84	82, 83	eqbrtrrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) < T )
85	78, 59, 84	ltled 9634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ T )
86	76, 85	eqbrtrd 4421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) <_ T )
87	62, 59, 53, 75, 86	lemul1ad 10384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( T x. ( N ` y ) ) )
88	58	rpcnd 11141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. CC )
89	53	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. CC )
90	88, 89	mulcomd 9519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( T x. ( N ` y ) ) = ( ( N ` y ) x. T ) )
91	87, 90	breqtrd 4425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` y ) x. T ) )
92	36	absge0d 13049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
93	2, 9	nvge0 24215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
94	1, 67, 93	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
95	54, 78	readdcld 9525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) e. RR )
96	32, 36	pncan3d 9834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
97	96	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( abs ` z ) )
98	32, 77	abstrid 13061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
99	97, 98	eqbrtrrd 4423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
100		1red 9513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. RR )
101		1re 9497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
102	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
103		ltaddrp 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
104	101, 102, 103	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
105	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
106	105	recgt1d 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) <-> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 ) )
107	104, 106	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 )
108	6, 107	syl5eqbr 4434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T < 1 )
109	59, 100, 108	ltled 9634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T <_ 1 )
110	78, 59, 100, 85, 109	letrd 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ 1 )
111	78, 100, 54, 110	leadd2dd 10066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
112	64, 95, 73, 99, 111	letrd 9640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
113	2, 65, 9, 27	imsdval 24230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
114	31, 33, 37, 113	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
115		simprrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) < T )
116	114, 115	eqbrtrrd 4423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) < T )
117	69, 59, 116	ltled 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) <_ T )
118	64, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117	lemul12ad 10387	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) <_ ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) )
119	63, 70, 71, 74, 91, 118	le2addd 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) <_ ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
120		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
121	2, 120, 3, 9, 27	imsdval2 24231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
122	31, 35, 43, 121	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123		neg1cn 10537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. CC
124		mulcl 9478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. CC /\ z e. CC ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
125	123, 36, 124	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
126	2, 120, 3	nvdir 24164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. CC /\ ( -u 1 x. z ) e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
127	31, 32, 125, 33, 126	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
128	36	mulm1d 9908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) = -u z )
129	128	oveq2d 6217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x + -u z ) )
130	32, 36	negsubd 9837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + -u z ) = ( x - z ) )
131	129, 130	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x - z ) )
132	131	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x - z ) S y ) )
133	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> -u 1 e. CC )
134	2, 3	nvsass 24161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ z e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
135	31, 133, 36, 33, 134	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136	135	oveq2d 6217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr3d 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x - z ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
138	137	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
139	2, 3, 9	nvs 24203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x - z ) e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
140	31, 61, 33, 139	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
141	122, 138, 140	3eqtr2d 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
142	2, 65, 9, 27	imsdval 24230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
143	31, 43, 39, 142	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
144	2, 65, 3	nvmdi 24183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z e. CC /\ y e. X /\ w e. X ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
145	31, 36, 33, 37, 144	syl13anc 1221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
146	145	fveq2d 5804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
147	2, 3, 9	nvs 24203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
148	31, 36, 67, 147	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
149	143, 146, 148	3eqtr2d 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
150	141, 149	oveq12d 6219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) = ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) )
151	54	recnd 9524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
152		1cnd 9514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. CC )
153	89, 151, 152	addassd 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) = ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
154	153	oveq1d 6216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) )
155	73	recnd 9524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. CC )
156	89, 155, 88	adddird 9523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
157	154, 156	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
158	119, 150, 157	3brtr4d 4431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) <_ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) )
159	57	recnd 9524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. CC )
160	105	rpcnd 11141	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. CC )
161	105	rpne0d 11144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) =/= 0 )
162	159, 160, 161	divrecd 10222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) ) )
163	6	oveq2i 6212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
164	162, 163	syl6reqr 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
165		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR+ )
166	102	rpred 11139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR )
167	166	ltp1d 10375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) )
168	102	rpcnd 11141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. CC )
169	168, 152	addcomd 9683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) = ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
170	167, 169	breqtrd 4425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
171	57, 165, 105, 170	ltdiv23d 11195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < r )
172	164, 171	eqbrtrd 4421	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) < r )
173	48, 60, 50, 158, 172	lelttrd 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) < r )
174	41, 48, 50, 52, 173	lelttrd 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
175	174	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. CC /\ w e. X ) ) -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
176	175	ralrimivva 2914	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
177		breq2 4405	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( x ( abs o. - ) z ) < s <-> ( x ( abs o. - ) z ) < T ) )
178		breq2 4405	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( y C w ) < s <-> ( y C w ) < T ) )
179	177, 178	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) <-> ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) )
180	179	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( s = T -> ( ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
181	180	2ralbidv 2879	. . . . . 6 |- ( s = T -> ( A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
182	181	rspcev 3179	. . . . 5 |- ( ( T e. RR+ /\ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
183	26, 176, 182	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
184	183	ralrimiva 2830	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
185	184	rgen2 2918	. 2 |- A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
186		cnxmet 20485	. . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
187	2, 27	imsxmet 24236	. . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` X ) )
188	1, 187	ax-mp 5	. . 3 |- C e. ( *Met ` X )
189		smcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
190	189	cnfldtopn 20494	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
191		smcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
192	190, 191, 191	txmetcn 20256	. . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. ( *Met ` X ) /\ C e. ( *Met ` X ) ) -> ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) ) )
193	186, 188, 188, 192	mp3an 1315	. 2 |- ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
194	5, 185, 193	mpbir2an 911	1 |- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   class class class wbr 4401   X. cxp 4947   o. ccom 4953   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395   + caddc 9397   x. cmul 9399   < clt 9530   <_ cle 9531   - cmin 9707   -ucneg 9708   / cdiv 10105   RR+crp 11103   abscabs 12842   TopOpenctopn 14480   *Metcxmt 17927   Metcme 17928   MetOpencmopn 17932  ℂ_fldccnfld 17944   Cn ccn 18961   tX ctx 19266   NrmCVeccnv 24115   +vcpv 24116   BaseSetcba 24117   .sOLDcns 24118   -vcnsb 24120   norm_CVcnmcv 24121   IndMetcims 24122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-tms 20030  df-grpo 23831  df-gid 23832  df-ginv 23833  df-gdiv 23834  df-ablo 23922  df-vc 24077  df-nv 24123  df-va 24126  df-ba 24127  df-sm 24128  df-0v 24129  df-vs 24130  df-nmcv 24131  df-ims 24132

This theorem is referenced by:  smcn  24246