Theorem smcnlem 26382

Description: Lemma for smcn 26383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smcn.c	|- C = ( IndMet ` U )
smcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
smcn.s	|- S = ( .sOLD ` U )
smcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
smcn.x	|- X = ( BaseSet ` U )
smcn.n	|- N = ( normCV ` U )
smcn.u	|- U e. NrmCVec
smcn.t	|- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smcnlem	|- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, r, y, C   J, r, x, y   U, r, x, y   K, r, x, y   S, r, x, y   X, r, x, y

Allowed substitution hints:   T( x, y, r)   N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem

Dummy variables s w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smcn.u	. . 3 |- U e. NrmCVec
2		smcn.x	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
3		smcn.s	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` U )
4	2, 3	nvsf 26287	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> S : ( CC X. X ) --> X )
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 |- S : ( CC X. X ) --> X
6		smcn.t	. . . . . 6 |- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
7		1rp 11335	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
8		simpr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> y e. X )
9		smcn.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( normCV ` U )
10	2, 9	nvcl 26337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
11	1, 8, 10	sylancr 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
12		abscl 13390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( abs ` x ) e. RR )
13	12	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
14	11, 13	readdcld 9696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
15	2, 9	nvge0 26352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
16	1, 8, 15	sylancr 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
17		absge0 13399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> 0 <_ ( abs ` x ) )
18	17	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
19	11, 13, 16, 18	addge0d 10217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) )
20	14, 19	ge0p1rpd 11397	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ )
21		rpdivcl 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
22	20, 21	sylan 478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
23		rpaddcl 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
24	7, 22, 23	sylancr 674	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
25	24	rpreccld 11380	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) e. RR+ )
26	6, 25	syl5eqel 2544	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> T e. RR+ )
27		smcn.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
28	2, 27	imsmet 26372	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` X ) )
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- C e. ( Met ` X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> C e. ( Met ` X ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> U e. NrmCVec )
32		simplll 773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> x e. CC )
33		simpllr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> y e. X )
34	2, 3	nvscl 26296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. X ) -> ( x S y ) e. X )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x S y ) e. X )
36		simprll 777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> z e. CC )
37		simprlr 778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> w e. X )
38	2, 3	nvscl 26296	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ w e. X ) -> ( z S w ) e. X )
39	31, 36, 37, 38	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S w ) e. X )
40		metcl 21396	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
41	30, 35, 39, 40	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
42	2, 3	nvscl 26296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ y e. X ) -> ( z S y ) e. X )
43	31, 36, 33, 42	syl3anc 1276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S y ) e. X )
44		metcl 21396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
45	30, 35, 43, 44	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
46		metcl 21396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
47	30, 43, 39, 46	syl3anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
48	45, 47	readdcld 9696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) e. RR )
49		rpre 11337	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
50	49	ad2antlr 738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR )
51		mettri 21416	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
52	30, 35, 39, 43, 51	syl13anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
53	1, 33, 10	sylancr 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
54	32	abscld 13547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
55	53, 54	readdcld 9696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
56		peano2re 9832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
58	26	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR+ )
59	58	rpred 11370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR )
60	57, 59	remulcld 9697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) e. RR )
61	32, 36	subcld 10012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
62	61	abscld 13547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
63	62, 53	remulcld 9697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
64	36	abscld 13547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) e. RR )
65		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
66	2, 65	nvmcl 26317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
67	31, 33, 37, 66	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
68	2, 9	nvcl 26337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
69	1, 67, 68	sylancr 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
70	64, 69	remulcld 9697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) e. RR )
71	53, 59	remulcld 9697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) x. T ) e. RR )
72		peano2re 9832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
73	54, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
74	73, 59	remulcld 9697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) e. RR )
75	1, 33, 15	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
76	32, 36	abssubd 13564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
77	36, 32	subcld 10012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z - x ) e. CC )
78	77	abscld 13547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) e. RR )
79		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
80	79	cnmetdval 21840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
81	32, 36, 80	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
82	81, 76	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
83		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < T )
84	82, 83	eqbrtrrd 4439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) < T )
85	78, 59, 84	ltled 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ T )
86	76, 85	eqbrtrd 4437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) <_ T )
87	62, 59, 53, 75, 86	lemul1ad 10574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( T x. ( N ` y ) ) )
88	58	rpcnd 11372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. CC )
89	53	recnd 9695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. CC )
90	88, 89	mulcomd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( T x. ( N ` y ) ) = ( ( N ` y ) x. T ) )
91	87, 90	breqtrd 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` y ) x. T ) )
92	36	absge0d 13555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
93	2, 9	nvge0 26352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
94	1, 67, 93	sylancr 674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
95	54, 78	readdcld 9696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) e. RR )
96	32, 36	pncan3d 10015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
97	96	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( abs ` z ) )
98	32, 77	abstrid 13567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
99	97, 98	eqbrtrrd 4439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
100		1red 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. RR )
101		1re 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
102	22	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
103		ltaddrp 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
104	101, 102, 103	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
105	24	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
106	105	recgt1d 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) <-> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 ) )
107	104, 106	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 )
108	6, 107	syl5eqbr 4450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T < 1 )
109	59, 100, 108	ltled 9809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T <_ 1 )
110	78, 59, 100, 85, 109	letrd 9818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ 1 )
111	78, 100, 54, 110	leadd2dd 10256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
112	64, 95, 73, 99, 111	letrd 9818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
113	2, 65, 9, 27	imsdval 26367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
114	31, 33, 37, 113	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
115		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) < T )
116	114, 115	eqbrtrrd 4439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) < T )
117	69, 59, 116	ltled 9809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) <_ T )
118	64, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117	lemul12ad 10577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) <_ ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) )
119	63, 70, 71, 74, 91, 118	le2addd 10260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) <_ ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
120		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
121	2, 120, 3, 9, 27	imsdval2 26368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
122	31, 35, 43, 121	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123		neg1cn 10741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. CC
124		mulcl 9649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. CC /\ z e. CC ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
125	123, 36, 124	sylancr 674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
126	2, 120, 3	nvdir 26301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. CC /\ ( -u 1 x. z ) e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
127	31, 32, 125, 33, 126	syl13anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
128	36	mulm1d 10098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) = -u z )
129	128	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x + -u z ) )
130	32, 36	negsubd 10018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + -u z ) = ( x - z ) )
131	129, 130	eqtrd 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x - z ) )
132	131	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x - z ) S y ) )
133	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> -u 1 e. CC )
134	2, 3	nvsass 26298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ z e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
135	31, 133, 36, 33, 134	syl13anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136	135	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr3d 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x - z ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
138	137	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
139	2, 3, 9	nvs 26340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x - z ) e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
140	31, 61, 33, 139	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
141	122, 138, 140	3eqtr2d 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
142	2, 65, 9, 27	imsdval 26367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
143	31, 43, 39, 142	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
144	2, 65, 3	nvmdi 26320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z e. CC /\ y e. X /\ w e. X ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
145	31, 36, 33, 37, 144	syl13anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
146	145	fveq2d 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
147	2, 3, 9	nvs 26340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
148	31, 36, 67, 147	syl3anc 1276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
149	143, 146, 148	3eqtr2d 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
150	141, 149	oveq12d 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) = ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) )
151	54	recnd 9695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
152		1cnd 9685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. CC )
153	89, 151, 152	addassd 9691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) = ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
154	153	oveq1d 6330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) )
155	73	recnd 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. CC )
156	89, 155, 88	adddird 9694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
157	154, 156	eqtrd 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
158	119, 150, 157	3brtr4d 4447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) <_ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) )
159	57	recnd 9695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. CC )
160	105	rpcnd 11372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. CC )
161	105	rpne0d 11375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) =/= 0 )
162	159, 160, 161	divrecd 10414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) ) )
163	6	oveq2i 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
164	162, 163	syl6reqr 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
165		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR+ )
166	102	rpred 11370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR )
167	166	ltp1d 10565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) )
168	102	rpcnd 11372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. CC )
169	168, 152	addcomd 9861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) = ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
170	167, 169	breqtrd 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
171	57, 165, 105, 170	ltdiv23d 11432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < r )
172	164, 171	eqbrtrd 4437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) < r )
173	48, 60, 50, 158, 172	lelttrd 9819	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) < r )
174	41, 48, 50, 52, 173	lelttrd 9819	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
175	174	expr 624	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. CC /\ w e. X ) ) -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
176	175	ralrimivva 2821	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
177		breq2 4420	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( x ( abs o. - ) z ) < s <-> ( x ( abs o. - ) z ) < T ) )
178		breq2 4420	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( y C w ) < s <-> ( y C w ) < T ) )
179	177, 178	anbi12d 722	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) <-> ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) )
180	179	imbi1d 323	. . . . . . 7 |- ( s = T -> ( ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
181	180	2ralbidv 2844	. . . . . 6 |- ( s = T -> ( A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
182	181	rspcev 3162	. . . . 5 |- ( ( T e. RR+ /\ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
183	26, 176, 182	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
184	183	ralrimiva 2814	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
185	184	rgen2 2825	. 2 |- A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
186		cnxmet 21842	. . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
187	2, 27	imsxmet 26373	. . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` X ) )
188	1, 187	ax-mp 5	. . 3 |- C e. ( *Met ` X )
189		smcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
190	189	cnfldtopn 21851	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
191		smcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
192	190, 191, 191	txmetcn 21612	. . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. ( *Met ` X ) /\ C e. ( *Met ` X ) ) -> ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) ) )
193	186, 188, 188, 192	mp3an 1373	. 2 |- ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
194	5, 185, 193	mpbir2an 936	1 |- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   class class class wbr 4416   X. cxp 4851   o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   + caddc 9568   x. cmul 9570   < clt 9701   <_ cle 9702   - cmin 9886   -ucneg 9887   / cdiv 10297   RR+crp 11331   abscabs 13346   TopOpenctopn 15369   *Metcxmt 19004   Metcme 19005   MetOpencmopn 19009  ℂ_fldccnfld 19019   Cn ccn 20289   tX ctx 20624   NrmCVeccnv 26252   +vcpv 26253   BaseSetcba 26254   .sOLDcns 26255   -vcnsb 26257   norm_CVcnmcv 26258   IndMetcims 26259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-xms 21384  df-tms 21386  df-grpo 25968  df-gid 25969  df-ginv 25970  df-gdiv 25971  df-ablo 26059  df-vc 26214  df-nv 26260  df-va 26263  df-ba 26264  df-sm 26265  df-0v 26266  df-vs 26267  df-nmcv 26268  df-ims 26269

This theorem is referenced by:  smcn  26383