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Theorem smcnlem 26175
Description: Lemma for smcn 26176. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
smcn.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
smcn.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
smcn.u  |-  U  e.  NrmCVec
smcn.t  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
Assertion
Ref Expression
smcnlem  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, r,
y, C    J, r, x, y    U, r, x, y    K, r, x, y    S, r, x, y    X, r, x, y
Allowed substitution hints:    T( x, y, r)    N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
2 smcn.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
42, 3nvsf 26080 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S : ( CC  X.  X ) --> X )
51, 4ax-mp 5 . 2  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
6 smcn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
7 1rp 11295 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
8 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( normCV `  U )
102, 9nvcl 26130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
111, 8, 10sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y
)  e.  RR )
12 abscl 13309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
1411, 13readdcld 9659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  e.  RR )
152, 9nvge0 26145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y
) )
161, 8, 15sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y ) )
17 absge0 13318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
1817adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
1911, 13, 16, 18addge0d 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) ) )
2014, 19ge0p1rpd 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+ )
21 rpdivcl 11314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )
2220, 21sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
23 rpaddcl 11312 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
247, 22, 23sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 11340 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  e.  RR+ )
266, 25syl5eqel 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
282, 27imsmet 26165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  ( Met `  X
)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
311a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
32 simplll 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  x  e.  CC )
33 simpllr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  y  e.  X
)
342, 3nvscl 26089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
x S y )  e.  X )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x S y )  e.  X
)
36 simprll 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  z  e.  CC )
37 simprlr 771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  w  e.  X
)
382, 3nvscl 26089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  w  e.  X )  ->  (
z S w )  e.  X )
3931, 36, 37, 38syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S w )  e.  X
)
40 metcl 21271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4130, 35, 39, 40syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
422, 3nvscl 26089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
z S y )  e.  X )
4331, 36, 33, 42syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S y )  e.  X
)
44 metcl 21271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
4530, 35, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
46 metcl 21271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4730, 43, 39, 46syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4845, 47readdcld 9659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  e.  RR )
49 rpre 11297 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
5049ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR )
51 mettri 21291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
( x S y )  e.  X  /\  ( z S w )  e.  X  /\  ( z S y )  e.  X ) )  ->  ( (
x S y ) C ( z S w ) )  <_ 
( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <_  (
( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
531, 33, 10sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
5432abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
5553, 54readdcld 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  e.  RR )
56 peano2re 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  e.  RR  ->  ( (
( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR )
5826adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
5958rpred 11330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR )
6057, 59remulcld 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  e.  RR )
6132, 36subcld 9975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  -  z )  e.  CC )
6261abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  e.  RR )
6362, 53remulcld 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
6436abscld 13465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  e.  RR )
65 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
662, 65nvmcl 26110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )
6731, 33, 37, 66syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  X
)
682, 9nvcl 26130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
( N `  (
y ( -v `  U ) w ) )  e.  RR )
691, 67, 68sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  e.  RR )
7064, 69remulcld 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  e.  RR )
7153, 59remulcld 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  x.  T )  e.  RR )
72 peano2re 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
7354, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
7473, 59remulcld 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T )  e.  RR )
751, 33, 15sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  y )
)
7632, 36abssubd 13482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
7736, 32subcld 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
7877abscld 13465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  e.  RR )
79 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8079cnmetdval 21695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( x  -  z
) ) )
8132, 36, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( x  -  z ) ) )
8281, 76eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( z  -  x ) ) )
83 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T
)
8482, 83eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <  T )
8578, 59, 84ltled 9772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  T )
8676, 85eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  <_  T )
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 10535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( T  x.  ( N `  y
) ) )
8858rpcnd 11332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  CC )
8953recnd 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  CC )
9088, 89mulcomd 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( T  x.  ( N `  y ) )  =  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9187, 90breqtrd 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9236absge0d 13473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
932, 9nvge0 26145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
0  <_  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
941, 67, 93sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )
9554, 78readdcld 9659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  e.  RR )
9632, 36pncan3d 9978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( z  -  x
) )  =  z )
9796fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( abs `  z ) )
9832, 77abstrid 13485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
100 1red 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  RR )
101 1re 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
10222adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
103 ltaddrp 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
104101, 102, 103sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  <  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
10524adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
106105recgt1d 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  < 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  <->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
) )
107104, 106mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
)
1086, 107syl5eqbr 4450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <  1
)
10959, 100, 108ltled 9772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <_  1
)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  1 )
11178, 100, 54, 110leadd2dd 10217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
11264, 95, 73, 99, 111letrd 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
1132, 65, 9, 27imsdval 26160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y C w )  =  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
11431, 33, 37, 113syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  =  ( N `  ( y ( -v `  U
) w ) ) )
115 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  <  T
)
116114, 115eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <  T
)
11769, 59, 116ltled 9772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <_  T
)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 10538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( abs `  x
)  +  1 )  x.  T ) )
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 10221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  z ) )  x.  ( N `  y ) )  +  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )  <_  ( (
( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
120 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 26161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `
 ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
12231, 35, 43, 121syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123 neg1cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
124 mulcl 9612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
125123, 36, 124sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
1262, 120, 3nvdir 26094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  CC  /\  ( -u 1  x.  z
)  e.  CC  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x  +  ( -u
1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) ) )
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( (
-u 1  x.  z
) S y ) ) )
12836mulm1d 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  =  -u z )
129128oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  +  -u z
) )
13032, 36negsubd 9981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  -u z )  =  ( x  -  z ) )
131129, 130eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  -  z ) )
132131oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x  -  z
) S y ) )
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
1342, 3nvsass 26091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  z ) S y )  =  ( -u
1 S ( z S y ) ) )
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( -u
1  x.  z ) S y )  =  ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136135oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
137127, 132, 1363eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  -  z ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
138137fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
1392, 3, 9nvs 26133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  -  z )  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
) )
14031, 61, 33, 139syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
141122, 138, 1403eqtr2d 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
1422, 65, 9, 27imsdval 26160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `
 ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) ) )
14331, 43, 39, 142syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1442, 65, 3nvmdi 26113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z  e.  CC  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v
`  U ) ( z S w ) ) )
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S ( y ( -v
`  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) )
146145fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1472, 3, 9nvs 26133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  ( y ( -v `  U
) w )  e.  X )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) )
14831, 36, 67, 147syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
149143, 146, 1483eqtr2d 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
150141, 149oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) )  +  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) ) )
15154recnd 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  CC )
152 1cnd 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  CC )
15389, 151, 152addassd 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  =  ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
154153oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T ) )
15573recnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  CC )
15689, 155, 88adddird 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
157154, 156eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
158119, 150, 1573brtr4d 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <_  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  T ) )
15957recnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  CC )
160105rpcnd 11332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  CC )
161105rpne0d 11335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  =/=  0 )
162159, 160, 161divrecd 10375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) ) )
1636oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
164162, 163syl6reqr 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
165 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
166102rpred 11330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR )
167166ltp1d 10526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  +  1 ) )
168102rpcnd 11332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  CC )
169168, 152addcomd 9824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r )  +  1 )  =  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
170167, 169breqtrd 4441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
) ) )
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 11392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  r )
172164, 171eqbrtrd 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  <  r )
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 9782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <  r
)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 9782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
175174expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
176175ralrimivva 2844 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
177 breq2 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  s  <->  ( x
( abs  o.  -  )
z )  <  T
) )
178 breq2 4421 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
T ) )
179177, 178anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T ) ) )
180179imbi1d 318 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x S y ) C ( z S w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
1811802ralbidv 2867 . . . . . 6  |-  ( s  =  T  ->  ( A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
182181rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
18326, 176, 182syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
184183ralrimiva 2837 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
185184rgen2 2848 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
186 cnxmet 21697 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1872, 27imsxmet 26166 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
1881, 187ax-mp 5 . . 3  |-  C  e.  ( *Met `  X )
189 smcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
190189cnfldtopn 21706 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
191 smcn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
192190, 191, 191txmetcn 21487 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  C  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( *Met `  X ) )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) ) )
193186, 188, 188, 192mp3an 1360 . 2  |-  ( S  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  <->  ( S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) ) )
1945, 185, 193mpbir2an 928 1  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   class class class wbr 4417    X. cxp 4843    o. ccom 4849   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849   -ucneg 9850    / cdiv 10258   RR+crp 11291   abscabs 13265   TopOpenctopn 15272   *Metcxmt 18883   Metcme 18884   MetOpencmopn 18888  ℂfldccnfld 18898    Cn ccn 20164    tX ctx 20499   NrmCVeccnv 26045   +vcpv 26046   BaseSetcba 26047   .sOLDcns 26048   -vcnsb 26050   normCVcnmcv 26051   IndMetcims 26052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-xms 21259  df-tms 21261  df-grpo 25761  df-gid 25762  df-ginv 25763  df-gdiv 25764  df-ablo 25852  df-vc 26007  df-nv 26053  df-va 26056  df-ba 26057  df-sm 26058  df-0v 26059  df-vs 26060  df-nmcv 26061  df-ims 26062
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