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Theorem smcnlem 25734
Description: Lemma for smcn 25735. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
smcn.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
smcn.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
smcn.u  |-  U  e.  NrmCVec
smcn.t  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
Assertion
Ref Expression
smcnlem  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, r,
y, C    J, r, x, y    U, r, x, y    K, r, x, y    S, r, x, y    X, r, x, y
Allowed substitution hints:    T( x, y, r)    N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
2 smcn.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
42, 3nvsf 25639 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S : ( CC  X.  X ) --> X )
51, 4ax-mp 5 . 2  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
6 smcn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
7 1rp 11249 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( normCV `  U )
102, 9nvcl 25689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
111, 8, 10sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y
)  e.  RR )
12 abscl 13123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
1411, 13readdcld 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  e.  RR )
152, 9nvge0 25704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y
) )
161, 8, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y ) )
17 absge0 13132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
1911, 13, 16, 18addge0d 10149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) ) )
2014, 19ge0p1rpd 11307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+ )
21 rpdivcl 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )
2220, 21sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
23 rpaddcl 11265 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
247, 22, 23sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 11291 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  e.  RR+ )
266, 25syl5eqel 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
282, 27imsmet 25724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  ( Met `  X
)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
311a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
32 simplll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  x  e.  CC )
33 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  y  e.  X
)
342, 3nvscl 25648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
x S y )  e.  X )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x S y )  e.  X
)
36 simprll 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  z  e.  CC )
37 simprlr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  w  e.  X
)
382, 3nvscl 25648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  w  e.  X )  ->  (
z S w )  e.  X )
3931, 36, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S w )  e.  X
)
40 metcl 20961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4130, 35, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
422, 3nvscl 25648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
z S y )  e.  X )
4331, 36, 33, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S y )  e.  X
)
44 metcl 20961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
4530, 35, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
46 metcl 20961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4730, 43, 39, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4845, 47readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  e.  RR )
49 rpre 11251 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
5049ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR )
51 mettri 20981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
( x S y )  e.  X  /\  ( z S w )  e.  X  /\  ( z S y )  e.  X ) )  ->  ( (
x S y ) C ( z S w ) )  <_ 
( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <_  (
( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
531, 33, 10sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
5432abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
5553, 54readdcld 9640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  e.  RR )
56 peano2re 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  e.  RR  ->  ( (
( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR )
5826adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
5958rpred 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR )
6057, 59remulcld 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  e.  RR )
6132, 36subcld 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  -  z )  e.  CC )
6261abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  e.  RR )
6362, 53remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
6436abscld 13279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  e.  RR )
65 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
662, 65nvmcl 25669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )
6731, 33, 37, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  X
)
682, 9nvcl 25689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
( N `  (
y ( -v `  U ) w ) )  e.  RR )
691, 67, 68sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  e.  RR )
7064, 69remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  e.  RR )
7153, 59remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  x.  T )  e.  RR )
72 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
7354, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
7473, 59remulcld 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T )  e.  RR )
751, 33, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  y )
)
7632, 36abssubd 13296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
7736, 32subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
7877abscld 13279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  e.  RR )
79 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8079cnmetdval 21404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( x  -  z
) ) )
8132, 36, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( x  -  z ) ) )
8281, 76eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( z  -  x ) ) )
83 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T
)
8482, 83eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <  T )
8578, 59, 84ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  T )
8676, 85eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  <_  T )
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 10505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( T  x.  ( N `  y
) ) )
8858rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  CC )
8953recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  CC )
9088, 89mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( T  x.  ( N `  y ) )  =  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9187, 90breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9236absge0d 13287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
932, 9nvge0 25704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
0  <_  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
941, 67, 93sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )
9554, 78readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  e.  RR )
9632, 36pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( z  -  x
) )  =  z )
9796fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( abs `  z ) )
9832, 77abstrid 13299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
100 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  RR )
101 1re 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
10222adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
103 ltaddrp 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
104101, 102, 103sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  <  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
10524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
106105recgt1d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  < 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  <->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
) )
107104, 106mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
)
1086, 107syl5eqbr 4489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <  1
)
10959, 100, 108ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <_  1
)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  1 )
11178, 100, 54, 110leadd2dd 10188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
11264, 95, 73, 99, 111letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
1132, 65, 9, 27imsdval 25719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y C w )  =  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
11431, 33, 37, 113syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  =  ( N `  ( y ( -v `  U
) w ) ) )
115 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  <  T
)
116114, 115eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <  T
)
11769, 59, 116ltled 9750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <_  T
)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 10508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( abs `  x
)  +  1 )  x.  T ) )
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 10191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  z ) )  x.  ( N `  y ) )  +  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )  <_  ( (
( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
120 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 25720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `
 ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
12231, 35, 43, 121syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123 neg1cn 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
124 mulcl 9593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
125123, 36, 124sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
1262, 120, 3nvdir 25653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  CC  /\  ( -u 1  x.  z
)  e.  CC  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x  +  ( -u
1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) ) )
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( (
-u 1  x.  z
) S y ) ) )
12836mulm1d 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  =  -u z )
129128oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  +  -u z
) )
13032, 36negsubd 9956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  -u z )  =  ( x  -  z ) )
131129, 130eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  -  z ) )
132131oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x  -  z
) S y ) )
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
1342, 3nvsass 25650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  z ) S y )  =  ( -u
1 S ( z S y ) ) )
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( -u
1  x.  z ) S y )  =  ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136135oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
137127, 132, 1363eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  -  z ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
138137fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
1392, 3, 9nvs 25692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  -  z )  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
) )
14031, 61, 33, 139syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
141122, 138, 1403eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
1422, 65, 9, 27imsdval 25719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `
 ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) ) )
14331, 43, 39, 142syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1442, 65, 3nvmdi 25672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z  e.  CC  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v
`  U ) ( z S w ) ) )
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S ( y ( -v
`  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) )
146145fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1472, 3, 9nvs 25692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  ( y ( -v `  U
) w )  e.  X )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) )
14831, 36, 67, 147syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
149143, 146, 1483eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
150141, 149oveq12d 6314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) )  +  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) ) )
15154recnd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  CC )
152 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  CC )
15389, 151, 152addassd 9635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  =  ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
154153oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T ) )
15573recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  CC )
15689, 155, 88adddird 9638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
157154, 156eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
158119, 150, 1573brtr4d 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <_  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  T ) )
15957recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  CC )
160105rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  CC )
161105rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  =/=  0 )
162159, 160, 161divrecd 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) ) )
1636oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
164162, 163syl6reqr 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
165 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
166102rpred 11281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR )
167166ltp1d 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  +  1 ) )
168102rpcnd 11283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  CC )
169168, 152addcomd 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r )  +  1 )  =  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
170167, 169breqtrd 4480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
) ) )
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 11337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  r )
172164, 171eqbrtrd 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  <  r )
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 9757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <  r
)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 9757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
175174expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
176175ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
177 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  s  <->  ( x
( abs  o.  -  )
z )  <  T
) )
178 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
T ) )
179177, 178anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T ) ) )
180179imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x S y ) C ( z S w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
1811802ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( s  =  T  ->  ( A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
182181rspcev 3210 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
18326, 176, 182syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
184183ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
185184rgen2 2882 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
186 cnxmet 21406 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1872, 27imsxmet 25725 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
1881, 187ax-mp 5 . . 3  |-  C  e.  ( *Met `  X )
189 smcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
190189cnfldtopn 21415 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
191 smcn.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
192190, 191, 191txmetcn 21177 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  C  e.  ( *Met `  X )  /\  C  e.  ( *Met `  X ) )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) ) )
193186, 188, 188, 192mp3an 1324 . 2  |-  ( S  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  <->  ( S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) ) )
1945, 185, 193mpbir2an 920 1  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456    X. cxp 5006    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   RR+crp 11245   abscabs 13079   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   MetOpencmopn 18535  ℂfldccnfld 18547    Cn ccn 19852    tX ctx 20187   NrmCVeccnv 25604   +vcpv 25605   BaseSetcba 25606   .sOLDcns 25607   -vcnsb 25609   normCVcnmcv 25610   IndMetcims 25611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-tms 20951  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621
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