Theorem smcnlem 25734

Description: Lemma for smcn 25735. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smcn.c	|- C = ( IndMet ` U )
smcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
smcn.s	|- S = ( .sOLD ` U )
smcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
smcn.x	|- X = ( BaseSet ` U )
smcn.n	|- N = ( normCV ` U )
smcn.u	|- U e. NrmCVec
smcn.t	|- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smcnlem	|- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, r, y, C   J, r, x, y   U, r, x, y   K, r, x, y   S, r, x, y   X, r, x, y

Allowed substitution hints:   T( x, y, r)   N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem

Dummy variables s w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smcn.u	. . 3 |- U e. NrmCVec
2		smcn.x	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
3		smcn.s	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` U )
4	2, 3	nvsf 25639	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> S : ( CC X. X ) --> X )
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 |- S : ( CC X. X ) --> X
6		smcn.t	. . . . . 6 |- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
7		1rp 11249	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
8		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> y e. X )
9		smcn.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( normCV ` U )
10	2, 9	nvcl 25689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
11	1, 8, 10	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
12		abscl 13123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( abs ` x ) e. RR )
13	12	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
14	11, 13	readdcld 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
15	2, 9	nvge0 25704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
16	1, 8, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
17		absge0 13132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> 0 <_ ( abs ` x ) )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
19	11, 13, 16, 18	addge0d 10149	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) )
20	14, 19	ge0p1rpd 11307	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ )
21		rpdivcl 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
22	20, 21	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
23		rpaddcl 11265	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
24	7, 22, 23	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
25	24	rpreccld 11291	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) e. RR+ )
26	6, 25	syl5eqel 2549	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> T e. RR+ )
27		smcn.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
28	2, 27	imsmet 25724	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` X ) )
29	1, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- C e. ( Met ` X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> C e. ( Met ` X ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> U e. NrmCVec )
32		simplll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> x e. CC )
33		simpllr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> y e. X )
34	2, 3	nvscl 25648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. X ) -> ( x S y ) e. X )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x S y ) e. X )
36		simprll 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> z e. CC )
37		simprlr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> w e. X )
38	2, 3	nvscl 25648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ w e. X ) -> ( z S w ) e. X )
39	31, 36, 37, 38	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S w ) e. X )
40		metcl 20961	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
41	30, 35, 39, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
42	2, 3	nvscl 25648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ y e. X ) -> ( z S y ) e. X )
43	31, 36, 33, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S y ) e. X )
44		metcl 20961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
45	30, 35, 43, 44	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
46		metcl 20961	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
47	30, 43, 39, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
48	45, 47	readdcld 9640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) e. RR )
49		rpre 11251	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
50	49	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR )
51		mettri 20981	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
52	30, 35, 39, 43, 51	syl13anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
53	1, 33, 10	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
54	32	abscld 13279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
55	53, 54	readdcld 9640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
56		peano2re 9770	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
58	26	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR+ )
59	58	rpred 11281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR )
60	57, 59	remulcld 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) e. RR )
61	32, 36	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
62	61	abscld 13279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
63	62, 53	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
64	36	abscld 13279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) e. RR )
65		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
66	2, 65	nvmcl 25669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
67	31, 33, 37, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
68	2, 9	nvcl 25689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
69	1, 67, 68	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
70	64, 69	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) e. RR )
71	53, 59	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) x. T ) e. RR )
72		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
73	54, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
74	73, 59	remulcld 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) e. RR )
75	1, 33, 15	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
76	32, 36	abssubd 13296	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
77	36, 32	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z - x ) e. CC )
78	77	abscld 13279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) e. RR )
79		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
80	79	cnmetdval 21404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
81	32, 36, 80	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
82	81, 76	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
83		simprrl 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < T )
84	82, 83	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) < T )
85	78, 59, 84	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ T )
86	76, 85	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) <_ T )
87	62, 59, 53, 75, 86	lemul1ad 10505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( T x. ( N ` y ) ) )
88	58	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. CC )
89	53	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. CC )
90	88, 89	mulcomd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( T x. ( N ` y ) ) = ( ( N ` y ) x. T ) )
91	87, 90	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` y ) x. T ) )
92	36	absge0d 13287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
93	2, 9	nvge0 25704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
94	1, 67, 93	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
95	54, 78	readdcld 9640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) e. RR )
96	32, 36	pncan3d 9953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
97	96	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( abs ` z ) )
98	32, 77	abstrid 13299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
99	97, 98	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
100		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. RR )
101		1re 9612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
102	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
103		ltaddrp 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
104	101, 102, 103	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
105	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
106	105	recgt1d 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) <-> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 ) )
107	104, 106	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 )
108	6, 107	syl5eqbr 4489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T < 1 )
109	59, 100, 108	ltled 9750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T <_ 1 )
110	78, 59, 100, 85, 109	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ 1 )
111	78, 100, 54, 110	leadd2dd 10188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
112	64, 95, 73, 99, 111	letrd 9756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
113	2, 65, 9, 27	imsdval 25719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
114	31, 33, 37, 113	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
115		simprrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) < T )
116	114, 115	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) < T )
117	69, 59, 116	ltled 9750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) <_ T )
118	64, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117	lemul12ad 10508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) <_ ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) )
119	63, 70, 71, 74, 91, 118	le2addd 10191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) <_ ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
120		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
121	2, 120, 3, 9, 27	imsdval2 25720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
122	31, 35, 43, 121	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123		neg1cn 10660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. CC
124		mulcl 9593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. CC /\ z e. CC ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
125	123, 36, 124	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
126	2, 120, 3	nvdir 25653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. CC /\ ( -u 1 x. z ) e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
127	31, 32, 125, 33, 126	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
128	36	mulm1d 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) = -u z )
129	128	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x + -u z ) )
130	32, 36	negsubd 9956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + -u z ) = ( x - z ) )
131	129, 130	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x - z ) )
132	131	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x - z ) S y ) )
133	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> -u 1 e. CC )
134	2, 3	nvsass 25650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ z e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
135	31, 133, 36, 33, 134	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136	135	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x - z ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
138	137	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
139	2, 3, 9	nvs 25692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x - z ) e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
140	31, 61, 33, 139	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
141	122, 138, 140	3eqtr2d 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
142	2, 65, 9, 27	imsdval 25719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
143	31, 43, 39, 142	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
144	2, 65, 3	nvmdi 25672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z e. CC /\ y e. X /\ w e. X ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
145	31, 36, 33, 37, 144	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
146	145	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
147	2, 3, 9	nvs 25692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
148	31, 36, 67, 147	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
149	143, 146, 148	3eqtr2d 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
150	141, 149	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) = ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) )
151	54	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
152		1cnd 9629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. CC )
153	89, 151, 152	addassd 9635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) = ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
154	153	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) )
155	73	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. CC )
156	89, 155, 88	adddird 9638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
157	154, 156	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
158	119, 150, 157	3brtr4d 4486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) <_ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) )
159	57	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. CC )
160	105	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. CC )
161	105	rpne0d 11286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) =/= 0 )
162	159, 160, 161	divrecd 10344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) ) )
163	6	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
164	162, 163	syl6reqr 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
165		simplr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR+ )
166	102	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR )
167	166	ltp1d 10496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) )
168	102	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. CC )
169	168, 152	addcomd 9799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) = ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
170	167, 169	breqtrd 4480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
171	57, 165, 105, 170	ltdiv23d 11337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < r )
172	164, 171	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) < r )
173	48, 60, 50, 158, 172	lelttrd 9757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) < r )
174	41, 48, 50, 52, 173	lelttrd 9757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
175	174	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. CC /\ w e. X ) ) -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
176	175	ralrimivva 2878	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
177		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( x ( abs o. - ) z ) < s <-> ( x ( abs o. - ) z ) < T ) )
178		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( y C w ) < s <-> ( y C w ) < T ) )
179	177, 178	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) <-> ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) )
180	179	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( s = T -> ( ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
181	180	2ralbidv 2901	. . . . . 6 |- ( s = T -> ( A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
182	181	rspcev 3210	. . . . 5 |- ( ( T e. RR+ /\ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
183	26, 176, 182	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
184	183	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
185	184	rgen2 2882	. 2 |- A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
186		cnxmet 21406	. . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
187	2, 27	imsxmet 25725	. . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` X ) )
188	1, 187	ax-mp 5	. . 3 |- C e. ( *Met ` X )
189		smcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
190	189	cnfldtopn 21415	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
191		smcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
192	190, 191, 191	txmetcn 21177	. . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ C e. ( *Met ` X ) /\ C e. ( *Met ` X ) ) -> ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) ) )
193	186, 188, 188, 192	mp3an 1324	. 2 |- ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
194	5, 185, 193	mpbir2an 920	1 |- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   -ucneg 9825   / cdiv 10227   RR+crp 11245   abscabs 13079   TopOpenctopn 14839   *Metcxmt 18530   Metcme 18531   MetOpencmopn 18535  ℂ_fldccnfld 18547   Cn ccn 19852   tX ctx 20187   NrmCVeccnv 25604   +vcpv 25605   BaseSetcba 25606   .sOLDcns 25607   -vcnsb 25609   norm_CVcnmcv 25610   IndMetcims 25611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-xms 20949  df-tms 20951  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621

This theorem is referenced by:  smcn  25735