Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcnlem Unicode version

Theorem smcnlem 22146
 Description: Lemma for smcn 22147. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c
smcn.j
smcn.s
smcn.k fld
smcn.x
smcn.n CV
smcn.u
smcn.t
Assertion
Ref Expression
smcnlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3
2 smcn.x . . . 4
3 smcn.s . . . 4
42, 3nvsf 22051 . . 3
51, 4ax-mp 8 . 2
6 smcn.t . . . . . 6
7 1rp 10572 . . . . . . . 8
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13 CV
102, 9nvcl 22101 . . . . . . . . . . . 12
111, 8, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
12 abscl 12038 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11
1411, 13readdcld 9071 . . . . . . . . . 10
152, 9nvge0 22116 . . . . . . . . . . . 12
161, 8, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
17 absge0 12047 . . . . . . . . . . . 12
1817adantr 452 . . . . . . . . . . 11
1911, 13, 16, 18addge0d 9558 . . . . . . . . . 10
2014, 19ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . 9
21 rpdivcl 10590 . . . . . . . . 9
2220, 21sylan 458 . . . . . . . 8
23 rpaddcl 10588 . . . . . . . 8
247, 22, 23sylancr 645 . . . . . . 7
2524rpreccld 10614 . . . . . 6
266, 25syl5eqel 2488 . . . . 5
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12
282, 27imsmet 22136 . . . . . . . . . . 11
291, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
3029a1i 11 . . . . . . . . 9
311a1i 11 . . . . . . . . . 10
32 simplll 735 . . . . . . . . . 10
33 simpllr 736 . . . . . . . . . 10
342, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . 10
3531, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
36 simprll 739 . . . . . . . . . 10
37 simprlr 740 . . . . . . . . . 10
382, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . 10
3931, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
40 metcl 18315 . . . . . . . . 9
4130, 35, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8
422, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . . 11
4331, 36, 33, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
44 metcl 18315 . . . . . . . . . 10
4530, 35, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
46 metcl 18315 . . . . . . . . . 10
4730, 43, 39, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
4845, 47readdcld 9071 . . . . . . . 8
49 rpre 10574 . . . . . . . . 9
5049ad2antlr 708 . . . . . . . 8
51 mettri 18335 . . . . . . . . 9
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1186 . . . . . . . 8
531, 33, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
5432abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11
56 peano2re 9195 . . . . . . . . . . 11
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10
5826adantr 452 . . . . . . . . . . 11
5958rpred 10604 . . . . . . . . . 10
6057, 59remulcld 9072 . . . . . . . . 9
6132, 36subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13
6261abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12
6362, 53remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11
6436abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12
65 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15
662, 65nvmcl 22081 . . . . . . . . . . . . . 14
6731, 33, 37, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
682, 9nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . 13
691, 67, 68sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
7064, 69remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11
7153, 59remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11
72 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . 13
7354, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7473, 59remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11
751, 33, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
7632, 36abssubd 12210 . . . . . . . . . . . . . 14
7736, 32subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8132, 36, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281, 76eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15
8578, 59, 84ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . 14
8676, 85eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 9906 . . . . . . . . . . . 12
8858rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . 13
8953recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . 12
9187, 90breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11
9236absge0d 12201 . . . . . . . . . . . 12
932, 9nvge0 22116 . . . . . . . . . . . . 13
941, 67, 93sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
9554, 78readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13
9632, 36pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
9832, 77abstrid 12213 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 98eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . 13
100 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
10222adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 ltaddrp 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104100, 102, 103sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10524adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106105recgt1d 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107104, 106mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1086, 107syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10959, 101, 108ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15
11078, 59, 101, 85, 109letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14
11178, 101, 54, 110leadd2dd 9597 . . . . . . . . . . . . 13
11264, 95, 73, 99, 111letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12
1132, 65, 9, 27imsdval 22131 . . . . . . . . . . . . . . 15
11431, 33, 37, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
115 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14
116114, 115eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . 13
11769, 59, 116ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 9909 . . . . . . . . . . 11
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 9600 . . . . . . . . . 10
120 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 22132 . . . . . . . . . . . . 13
12231, 35, 43, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
123 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 36, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
1262, 120, 3nvdir 22065 . . . . . . . . . . . . . . 15
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14
12836mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129128oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13032, 36negsubd 9373 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131129, 130eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
132131oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1342, 3nvsass 22062 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
137127, 132, 1363eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . 13
138137fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12
1392, 3, 9nvs 22104 . . . . . . . . . . . . 13
14031, 61, 33, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
141122, 138, 1403eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . 11
1422, 65, 9, 27imsdval 22131 . . . . . . . . . . . . 13
14331, 43, 39, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
1442, 65, 3nvmdi 22084 . . . . . . . . . . . . . 14
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13
146145fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12
1472, 3, 9nvs 22104 . . . . . . . . . . . . 13
14831, 36, 67, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
149143, 146, 1483eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . 11
150141, 149oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
15154recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13
152 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
15489, 151, 153addassd 9066 . . . . . . . . . . . 12
155154oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11
15673recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
15789, 156, 88adddird 9069 . . . . . . . . . . 11
158155, 157eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
159119, 150, 1583brtr4d 4202 . . . . . . . . 9
16057recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12
161105rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12
162105rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12
163160, 161, 162divrecd 9749 . . . . . . . . . . 11
1646oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11
165163, 164syl6reqr 2455 . . . . . . . . . 10
166 simplr 732 . . . . . . . . . . 11
167102rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13
168167ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . 12
169102rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . 13
170169, 153addcomd 9224 . . . . . . . . . . . 12
171168, 170breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11
17257, 166, 105, 171ltdiv23d 10660 . . . . . . . . . 10
173165, 172eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9
17448, 60, 50, 159, 173lelttrd 9184 . . . . . . . 8
17541, 48, 50, 52, 174lelttrd 9184 . . . . . . 7
176175expr 599 . . . . . 6
177176ralrimivva 2758 . . . . 5
178 breq2 4176 . . . . . . . . 9
179 breq2 4176 . . . . . . . . 9
180178, 179anbi12d 692 . . . . . . . 8
181180imbi1d 309 . . . . . . 7
1821812ralbidv 2708 . . . . . 6
183182rspcev 3012 . . . . 5
18426, 177, 183syl2anc 643 . . . 4
185184ralrimiva 2749 . . 3
186185rgen2 2762 . 2
187 cnxmet 18760 . . 3
1882, 27imsxmet 22137 . . . 4
1891, 188ax-mp 8 . . 3
190 smcn.k . . . . 5 fld
191190cnfldtopn 18769 . . . 4
192 smcn.j . . . 4
193191, 192, 192txmetcn 18531 . . 3
194187, 189, 189, 193mp3an 1279 . 2
1955, 186, 194mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667   class class class wbr 4172   cxp 4835   ccom 4841  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   clt 9076   cle 9077   cmin 9247  cneg 9248   cdiv 9633  crp 10568  cabs 11994  ctopn 13604  cxmt 16641  cme 16642  cmopn 16646  ℂfldccnfld 16658   ccn 17242   ctx 17545  cnv 22016  cpv 22017  cba 22018  cns 22019  cnsb 22021  CVcnmcv 22022  cims 22023 This theorem is referenced by:  smcn  22147 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-tms 18305  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033
 Copyright terms: Public domain W3C validator