Theorem smcnlem 22146

Description: Lemma for smcn 22147. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
smcn.c	|- C = ( IndMet ` U )
smcn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
smcn.s	|- S = ( .s OLD ` U )
smcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
smcn.x	|- X = ( BaseSet ` U )
smcn.n	|- N = ( normCV ` U )
smcn.u	|- U e. NrmCVec
smcn.t	|- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smcnlem	|- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Distinct variable groups:   x, r, y, C   J, r, x, y   U, r, x, y   K, r, x, y   S, r, x, y   X, r, x, y

Allowed substitution hints:   T( x, y, r)   N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem

Dummy variables s w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smcn.u	. . 3 |- U e. NrmCVec
2		smcn.x	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
3		smcn.s	. . . 4 |- S = ( .s OLD ` U )
4	2, 3	nvsf 22051	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> S : ( CC X. X ) --> X )
5	1, 4	ax-mp 8	. 2 |- S : ( CC X. X ) --> X
6		smcn.t	. . . . . 6 |- T = ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
7		1rp 10572	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
8		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> y e. X )
9		smcn.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- N = ( normCV ` U )
10	2, 9	nvcl 22101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
11	1, 8, 10	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` y ) e. RR )
12		abscl 12038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( abs ` x ) e. RR )
13	12	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
14	11, 13	readdcld 9071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
15	2, 9	nvge0 22116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
16	1, 8, 15	sylancr 645	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
17		absge0 12047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> 0 <_ ( abs ` x ) )
18	17	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
19	11, 13, 16, 18	addge0d 9558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> 0 <_ ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) )
20	14, 19	ge0p1rpd 10630	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ )
21		rpdivcl 10590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR+ /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
22	20, 21	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
23		rpaddcl 10588	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
24	7, 22, 23	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
25	24	rpreccld 10614	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) e. RR+ )
26	6, 25	syl5eqel 2488	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> T e. RR+ )
27		smcn.c	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( IndMet ` U )
28	2, 27	imsmet 22136	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` X ) )
29	1, 28	ax-mp 8	. . . . . . . . . 10 |- C e. ( Met ` X )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> C e. ( Met ` X ) )
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> U e. NrmCVec )
32		simplll 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> x e. CC )
33		simpllr 736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> y e. X )
34	2, 3	nvscl 22060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ y e. X ) -> ( x S y ) e. X )
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x S y ) e. X )
36		simprll 739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> z e. CC )
37		simprlr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> w e. X )
38	2, 3	nvscl 22060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ w e. X ) -> ( z S w ) e. X )
39	31, 36, 37, 38	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S w ) e. X )
40		metcl 18315	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
41	30, 35, 39, 40	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
42	2, 3	nvscl 22060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ y e. X ) -> ( z S y ) e. X )
43	31, 36, 33, 42	syl3anc 1184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S y ) e. X )
44		metcl 18315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
45	30, 35, 43, 44	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) e. RR )
46		metcl 18315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
47	30, 43, 39, 46	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) e. RR )
48	45, 47	readdcld 9071	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) e. RR )
49		rpre 10574	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
50	49	ad2antlr 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR )
51		mettri 18335	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` X ) /\ ( ( x S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
52	30, 35, 39, 43, 51	syl13anc 1186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) <_ ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
53	1, 33, 10	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. RR )
54	32	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
55	53, 54	readdcld 9071	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR )
56		peano2re 9195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) e. RR -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. RR )
58	26	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR+ )
59	58	rpred 10604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. RR )
60	57, 59	remulcld 9072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) e. RR )
61	32, 36	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x - z ) e. CC )
62	61	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) e. RR )
63	62, 53	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) e. RR )
64	36	abscld 12193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) e. RR )
65		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
66	2, 65	nvmcl 22081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
67	31, 33, 37, 66	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. X )
68	2, 9	nvcl 22101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
69	1, 67, 68	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) e. RR )
70	64, 69	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) e. RR )
71	53, 59	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( N ` y ) x. T ) e. RR )
72		peano2re 9195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
73	54, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
74	73, 59	remulcld 9072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) e. RR )
75	1, 33, 15	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` y ) )
76	32, 36	abssubd 12210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
77	36, 32	subcld 9367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z - x ) e. CC )
78	77	abscld 12193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) e. RR )
79		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
80	79	cnmetdval 18758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
81	32, 36, 80	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( x - z ) ) )
82	81, 76	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( z - x ) ) )
83		simprrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x ( abs o. - ) z ) < T )
84	82, 83	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) < T )
85	78, 59, 84	ltled 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ T )
86	76, 85	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x - z ) ) <_ T )
87	62, 59, 53, 75, 86	lemul1ad 9906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( T x. ( N ` y ) ) )
88	58	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T e. CC )
89	53	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` y ) e. CC )
90	88, 89	mulcomd 9065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( T x. ( N ` y ) ) = ( ( N ` y ) x. T ) )
91	87, 90	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) <_ ( ( N ` y ) x. T ) )
92	36	absge0d 12201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` z ) )
93	2, 9	nvge0 22116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
94	1, 67, 93	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 0 <_ ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
95	54, 78	readdcld 9071	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) e. RR )
96	32, 36	pncan3d 9370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
97	96	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( abs ` z ) )
98	32, 77	abstrid 12213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( x + ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
99	97, 98	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) )
100		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. RR )
102	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ )
103		ltaddrp 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
104	100, 102, 103	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
105	24	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. RR+ )
106	105	recgt1d 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) <-> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 ) )
107	104, 106	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < 1 )
108	6, 107	syl5eqbr 4205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T < 1 )
109	59, 101, 108	ltled 9177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> T <_ 1 )
110	78, 59, 101, 85, 109	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` ( z - x ) ) <_ 1 )
111	78, 101, 54, 110	leadd2dd 9597	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + ( abs ` ( z - x ) ) ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
112	64, 95, 73, 99, 111	letrd 9183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` x ) + 1 ) )
113	2, 65, 9, 27	imsdval 22131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. X /\ w e. X ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
114	31, 33, 37, 113	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) = ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
115		simprrr 742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( y C w ) < T )
116	114, 115	eqbrtrrd 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) < T )
117	69, 59, 116	ltled 9177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) <_ T )
118	64, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117	lemul12ad 9909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) <_ ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) )
119	63, 70, 71, 74, 91, 118	le2addd 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) <_ ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
120		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
121	2, 120, 3, 9, 27	imsdval2 22132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x S y ) e. X /\ ( z S y ) e. X ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
122	31, 35, 43, 121	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123		neg1cn 10023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. CC
124		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u 1 e. CC /\ z e. CC ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
125	123, 36, 124	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) e. CC )
126	2, 120, 3	nvdir 22065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. CC /\ ( -u 1 x. z ) e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
127	31, 32, 125, 33, 126	syl13anc 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) )
128	36	mulm1d 9441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( -u 1 x. z ) = -u z )
129	128	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x + -u z ) )
130	32, 36	negsubd 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + -u z ) = ( x - z ) )
131	129, 130	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( x + ( -u 1 x. z ) ) = ( x - z ) )
132	131	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x + ( -u 1 x. z ) ) S y ) = ( ( x - z ) S y ) )
133	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> -u 1 e. CC )
134	2, 3	nvsass 22062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ z e. CC /\ y e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
135	31, 133, 36, 33, 134	syl13anc 1186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( -u 1 x. z ) S y ) = ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136	135	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( ( -u 1 x. z ) S y ) ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
137	127, 132, 136	3eqtr3d 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x - z ) S y ) = ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) )
138	137	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( N ` ( ( x S y ) ( +v ` U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
139	2, 3, 9	nvs 22104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x - z ) e. CC /\ y e. X ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
140	31, 61, 33, 139	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( ( x - z ) S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
141	122, 138, 140	3eqtr2d 2442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S y ) ) = ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) )
142	2, 65, 9, 27	imsdval 22131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z S y ) e. X /\ ( z S w ) e. X ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
143	31, 43, 39, 142	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
144	2, 65, 3	nvmdi 22084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( z e. CC /\ y e. X /\ w e. X ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
145	31, 36, 33, 37, 144	syl13anc 1186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) = ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) )
146	145	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( N ` ( ( z S y ) ( -v ` U ) ( z S w ) ) ) )
147	2, 3, 9	nvs 22104	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. CC /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. X ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
148	31, 36, 67, 147	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( N ` ( z S ( y ( -v ` U ) w ) ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
149	143, 146, 148	3eqtr2d 2442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( z S y ) C ( z S w ) ) = ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
150	141, 149	oveq12d 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) = ( ( ( abs ` ( x - z ) ) x. ( N ` y ) ) + ( ( abs ` z ) x. ( N ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) ) )
151	54	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( abs ` x ) e. CC )
152		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> 1 e. CC )
154	89, 151, 153	addassd 9066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) = ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
155	154	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) )
156	73	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. CC )
157	89, 156, 88	adddird 9069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( ( abs ` x ) + 1 ) ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
158	155, 157	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( N ` y ) x. T ) + ( ( ( abs ` x ) + 1 ) x. T ) ) )
159	119, 150, 158	3brtr4d 4202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) <_ ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) )
160	57	recnd 9070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) e. CC )
161	105	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) e. CC )
162	105	rpne0d 10609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) =/= 0 )
163	160, 161, 162	divrecd 9749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) ) )
164	6	oveq2i 6051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. ( 1 / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
165	163, 164	syl6reqr 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) = ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) )
166		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> r e. RR+ )
167	102	rpred 10604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. RR )
168	167	ltp1d 9897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) )
169	102	rpcnd 10606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) e. CC )
170	169, 153	addcomd 9224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) + 1 ) = ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
171	168, 170	breqtrd 4196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) < ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) )
172	57, 166, 105, 171	ltdiv23d 10660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / ( 1 + ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) / r ) ) ) < r )
173	165, 172	eqbrtrd 4192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( ( N ` y ) + ( abs ` x ) ) + 1 ) x. T ) < r )
174	48, 60, 50, 159, 173	lelttrd 9184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( ( x S y ) C ( z S y ) ) + ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) < r )
175	41, 48, 50, 52, 174	lelttrd 9184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( ( z e. CC /\ w e. X ) /\ ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
176	175	expr 599	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. CC /\ w e. X ) ) -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
177	176	ralrimivva 2758	. . . . 5 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
178		breq2 4176	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( x ( abs o. - ) z ) < s <-> ( x ( abs o. - ) z ) < T ) )
179		breq2 4176	. . . . . . . . 9 |- ( s = T -> ( ( y C w ) < s <-> ( y C w ) < T ) )
180	178, 179	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( s = T -> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) <-> ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) ) )
181	180	imbi1d 309	. . . . . . 7 |- ( s = T -> ( ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
182	181	2ralbidv 2708	. . . . . 6 |- ( s = T -> ( A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) <-> A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
183	182	rspcev 3012	. . . . 5 |- ( ( T e. RR+ /\ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < T /\ ( y C w ) < T ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
184	26, 177, 183	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. X ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
185	184	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. X ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) )
186	185	rgen2 2762	. 2 |- A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r )
187		cnxmet 18760	. . 3 |- ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC )
188	2, 27	imsxmet 22137	. . . 4 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( * Met ` X ) )
189	1, 188	ax-mp 8	. . 3 |- C e. ( * Met ` X )
190		smcn.k	. . . . 5 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
191	190	cnfldtopn 18769	. . . 4 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
192		smcn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
193	191, 192, 192	txmetcn 18531	. . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) /\ C e. ( * Met ` X ) /\ C e. ( * Met ` X ) ) -> ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) ) )
194	187, 189, 189, 193	mp3an 1279	. 2 |- ( S e. ( ( K tX J ) Cn J ) <-> ( S : ( CC X. X ) --> X /\ A. x e. CC A. y e. X A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. CC A. w e. X ( ( ( x ( abs o. - ) z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x S y ) C ( z S w ) ) < r ) ) )
195	5, 186, 194	mpbir2an 887	1 |- S e. ( ( K tX J ) Cn J )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   -ucneg 9248   / cdiv 9633   RR+crp 10568   abscabs 11994   TopOpenctopn 13604   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646  ℂ_fldccnfld 16658   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s OLDcns 22019   -vcnsb 22021   norm_CVcnmcv 22022   IndMetcims 22023

This theorem is referenced by:  smcn  22147

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-tms 18305  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033