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Theorem smcnlem 22146
Description: Lemma for smcn 22147. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
smcn.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
smcn.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
smcn.u  |-  U  e.  NrmCVec
smcn.t  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
Assertion
Ref Expression
smcnlem  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Distinct variable groups:    x, r,
y, C    J, r, x, y    U, r, x, y    K, r, x, y    S, r, x, y    X, r, x, y
Allowed substitution hints:    T( x, y, r)    N( x, y, r)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
2 smcn.x . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
42, 3nvsf 22051 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S : ( CC  X.  X ) --> X )
51, 4ax-mp 8 . 2  |-  S :
( CC  X.  X
) --> X
6 smcn.t . . . . . 6  |-  T  =  ( 1  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
7 1rp 10572 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
8 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  N  =  ( normCV `  U )
102, 9nvcl 22101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
111, 8, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  y
)  e.  RR )
12 abscl 12038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
1411, 13readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  e.  RR )
152, 9nvge0 22116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y
) )
161, 8, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  y ) )
17 absge0 12047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
1817adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
1911, 13, 16, 18addge0d 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) ) )
2014, 19ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+ )
21 rpdivcl 10590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )
2220, 21sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
23 rpaddcl 10588 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
247, 22, 23sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
2524rpreccld 10614 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  e.  RR+ )
266, 25syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( IndMet `  U )
282, 27imsmet 22136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
291, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  C  e.  ( Met `  X
)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  C  e.  ( Met `  X ) )
311a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
32 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  x  e.  CC )
33 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  y  e.  X
)
342, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
x S y )  e.  X )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x S y )  e.  X
)
36 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  z  e.  CC )
37 simprlr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  w  e.  X
)
382, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  w  e.  X )  ->  (
z S w )  e.  X )
3931, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S w )  e.  X
)
40 metcl 18315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4130, 35, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
422, 3nvscl 22060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  (
z S y )  e.  X )
4331, 36, 33, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S y )  e.  X
)
44 metcl 18315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
4530, 35, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  e.  RR )
46 metcl 18315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4730, 43, 39, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  e.  RR )
4845, 47readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  e.  RR )
49 rpre 10574 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
5049ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR )
51 mettri 18335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Met `  X )  /\  (
( x S y )  e.  X  /\  ( z S w )  e.  X  /\  ( z S y )  e.  X ) )  ->  ( (
x S y ) C ( z S w ) )  <_ 
( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <_  (
( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) ) )
531, 33, 10sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  RR )
5432abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
5553, 54readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  e.  RR )
56 peano2re 9195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  e.  RR  ->  ( (
( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  e.  RR )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  RR )
5826adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR+ )
5958rpred 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  RR )
6057, 59remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  e.  RR )
6132, 36subcld 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  -  z )  e.  CC )
6261abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  e.  RR )
6362, 53remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  e.  RR )
6436abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  e.  RR )
65 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
662, 65nvmcl 22081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )
6731, 33, 37, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y ( -v `  U ) w )  e.  X
)
682, 9nvcl 22101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
( N `  (
y ( -v `  U ) w ) )  e.  RR )
691, 67, 68sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  e.  RR )
7064, 69remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  e.  RR )
7153, 59remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( N `
 y )  x.  T )  e.  RR )
72 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
7354, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
7473, 59remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T )  e.  RR )
751, 33, 15sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  y )
)
7632, 36abssubd 12210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  =  ( abs `  ( z  -  x
) ) )
7736, 32subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z  -  x )  e.  CC )
7877abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  e.  RR )
79 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
8079cnmetdval 18758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( x  -  z
) ) )
8132, 36, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( x  -  z ) ) )
8281, 76eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  =  ( abs `  ( z  -  x ) ) )
83 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T
)
8482, 83eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <  T )
8578, 59, 84ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  T )
8676, 85eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  -  z ) )  <_  T )
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 9906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( T  x.  ( N `  y
) ) )
8858rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  e.  CC )
8953recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  y )  e.  CC )
9088, 89mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( T  x.  ( N `  y ) )  =  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9187, 90breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
)  <_  ( ( N `  y )  x.  T ) )
9236absge0d 12201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  z ) )
932, 9nvge0 22116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( -v `  U ) w )  e.  X )  -> 
0  <_  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
941, 67, 93sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  0  <_  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )
9554, 78readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  e.  RR )
9632, 36pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( z  -  x
) )  =  z )
9796fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( abs `  z ) )
9832, 77abstrid 12213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
9997, 98eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  (
z  -  x ) ) ) )
100 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  RR )
10222adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR+ )
103 ltaddrp 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  e.  RR+ )  ->  1  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
104100, 102, 103sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  <  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
10524adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  RR+ )
106105recgt1d 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  < 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  <->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
) )
107104, 106mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  1
)
1086, 107syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <  1
)
10959, 101, 108ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  T  <_  1
)
11078, 59, 101, 85, 109letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  (
z  -  x ) )  <_  1 )
11178, 101, 54, 110leadd2dd 9597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  ( abs `  ( z  -  x ) ) )  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
11264, 95, 73, 99, 111letrd 9183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  x )  +  1 ) )
1132, 65, 9, 27imsdval 22131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
y C w )  =  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) ) )
11431, 33, 37, 113syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  =  ( N `  ( y ( -v `  U
) w ) ) )
115 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( y C w )  <  T
)
116114, 115eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <  T
)
11769, 59, 116ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( y ( -v
`  U ) w ) )  <_  T
)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 9909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) )  <_  ( (
( abs `  x
)  +  1 )  x.  T ) )
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  z ) )  x.  ( N `  y ) )  +  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )  <_  ( (
( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
120 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 22132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S y )  e.  X  /\  (
z S y )  e.  X )  -> 
( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `
 ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
12231, 35, 43, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
123 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
124 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
125123, 36, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  e.  CC )
1262, 120, 3nvdir 22065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  CC  /\  ( -u 1  x.  z
)  e.  CC  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x  +  ( -u
1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) ) )
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( (
-u 1  x.  z
) S y ) ) )
12836mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( -u 1  x.  z )  =  -u z )
129128oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  +  -u z
) )
13032, 36negsubd 9373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  -u z )  =  ( x  -  z ) )
131129, 130eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( x  +  ( -u 1  x.  z
) )  =  ( x  -  z ) )
132131oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  +  ( -u 1  x.  z ) ) S y )  =  ( ( x  -  z
) S y ) )
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
1342, 3nvsass 22062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( -u 1  x.  z ) S y )  =  ( -u
1 S ( z S y ) ) )
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( -u
1  x.  z ) S y )  =  ( -u 1 S ( z S y ) ) )
136135oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( ( -u 1  x.  z ) S y ) )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
137127, 132, 1363eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x  -  z ) S y )  =  ( ( x S y ) ( +v `  U ) ( -u
1 S ( z S y ) ) ) )
138137fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( N `  ( ( x S y ) ( +v `  U
) ( -u 1 S ( z S y ) ) ) ) )
1392, 3, 9nvs 22104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  -  z )  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( (
x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  z
) )  x.  ( N `  y )
) )
14031, 61, 33, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( ( x  -  z ) S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
141122, 138, 1403eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S y ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) ) )
1422, 65, 9, 27imsdval 22131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z S y )  e.  X  /\  (
z S w )  e.  X )  -> 
( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `
 ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) ) )
14331, 43, 39, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1442, 65, 3nvmdi 22084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
z  e.  CC  /\  y  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v
`  U ) ( z S w ) ) )
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( z S ( y ( -v
`  U ) w ) )  =  ( ( z S y ) ( -v `  U ) ( z S w ) ) )
146145fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( N `  ( ( z S y ) ( -v `  U
) ( z S w ) ) ) )
1472, 3, 9nvs 22104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  CC  /\  ( y ( -v `  U
) w )  e.  X )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) )
14831, 36, 67, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( N `  ( z S ( y ( -v `  U ) w ) ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
149143, 146, 1483eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( z S y ) C ( z S w ) )  =  ( ( abs `  z
)  x.  ( N `
 ( y ( -v `  U ) w ) ) ) )
150141, 149oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
x  -  z ) )  x.  ( N `
 y ) )  +  ( ( abs `  z )  x.  ( N `  ( y
( -v `  U
) w ) ) ) ) )
15154recnd 9070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  CC )
152 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  1  e.  CC )
15489, 151, 153addassd 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  =  ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
155154oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T ) )
15673recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  CC )
15789, 156, 88adddird 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( ( abs `  x )  +  1 ) )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
158155, 157eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( N `  y
)  x.  T )  +  ( ( ( abs `  x )  +  1 )  x.  T ) ) )
159119, 150, 1583brtr4d 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <_  (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  T ) )
16057recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  e.  CC )
161105rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  e.  CC )
162105rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) )  =/=  0 )
163160, 161, 162divrecd 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  ( 1  / 
( 1  +  ( ( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) ) )
1646oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T )  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  x.  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
165163, 164syl6reqr 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  =  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) ) )
166 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
167102rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  RR )
168167ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( (
( ( ( N `
 y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r )  +  1 ) )
169102rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  e.  CC )
170169, 153addcomd 9224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r )  +  1 )  =  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )
171168, 170breqtrd 4196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
)  <  ( 1  +  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r
) ) )
17257, 166, 105, 171ltdiv23d 10660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  (
1  +  ( ( ( ( N `  y )  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  /  r ) ) )  <  r )
173165, 172eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( ( N `  y
)  +  ( abs `  x ) )  +  1 )  x.  T
)  <  r )
17448, 60, 50, 159, 173lelttrd 9184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( ( x S y ) C ( z S y ) )  +  ( ( z S y ) C ( z S w ) ) )  <  r
)
17541, 48, 50, 52, 174lelttrd 9184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
( z  e.  CC  /\  w  e.  X )  /\  ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
T  /\  ( y C w )  < 
T ) ) )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
176175expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  X )
)  ->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
177176ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
178 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  s  <->  ( x
( abs  o.  -  )
z )  <  T
) )
179 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  T  ->  (
( y C w )  <  s  <->  ( y C w )  < 
T ) )
180178, 179anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  <-> 
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T ) ) )
181180imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  T  ->  (
( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  < 
s  /\  ( y C w )  < 
s )  ->  (
( x S y ) C ( z S w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
1821812ralbidv 2708 . . . . . 6  |-  ( s  =  T  ->  ( A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)  <->  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) )
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( x ( abs 
o.  -  ) z
)  <  T  /\  ( y C w )  <  T )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) )
18426, 177, 183syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) )
185184ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
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186185rgen2 2762 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  (
( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
)
187 cnxmet 18760 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
1882, 27imsxmet 22137 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
1891, 188ax-mp 8 . . 3  |-  C  e.  ( * Met `  X
)
190 smcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
191190cnfldtopn 18769 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
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193191, 192, 192txmetcn 18531 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  C  e.  ( * Met `  X )  /\  C  e.  ( * Met `  X ) )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  <->  ( S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  )
z )  <  s  /\  ( y C w )  <  s )  ->  ( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r
) ) ) )
194187, 189, 189, 193mp3an 1279 . 2  |-  ( S  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J )  <->  ( S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  CC  A. w  e.  X  ( ( ( x ( abs  o.  -  ) z )  <  s  /\  (
y C w )  <  s )  -> 
( ( x S y ) C ( z S w ) )  <  r ) ) )
1955, 186, 194mpbir2an 887 1  |-  S  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   RR+crp 10568   abscabs 11994   TopOpenctopn 13604   * Metcxmt 16641   Metcme 16642   MetOpencmopn 16646  ℂfldccnfld 16658    Cn ccn 17242    tX ctx 17545   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s
OLDcns 22019   -vcnsb 22021   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023
This theorem is referenced by:  smcn  22147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-tms 18305  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033
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