MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcn Structured version   Unicode version

Theorem smcn 26269
Description: Scalar multiplication is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
smcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem smcn
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
2 fveq2 5818 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
31, 2syl5eq 2468 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  S  =  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
4 smcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
5 smcn.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
6 fveq2 5818 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( IndMet `  U )  =  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
75, 6syl5eq 2468 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  C  =  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
87fveq2d 5822 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( MetOpen `  C )  =  ( MetOpen `  ( IndMet `
 if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
94, 8syl5eq 2468 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  J  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
109oveq2d 6258 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( K  tX  J
)  =  ( K 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
1110, 9oveq12d 6260 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  =  ( ( K  tX  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) ) )
123, 11eleq12d 2494 . 2  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )  <-> 
( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) ) ) )
13 eqid 2422 . . 3  |-  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
14 eqid 2422 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  (
MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
15 eqid 2422 . . 3  |-  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
16 smcn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
17 eqid 2422 . . 3  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
18 eqid 2422 . . 3  |-  ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
19 elimnvu 26251 . . 3  |-  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
20 eqid 2422 . . 3  |-  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
2113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20smcnlem 26268 . 2  |-  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
2212, 21dedth 3898 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   ifcif 3847   <.cop 3940   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488    / cdiv 10213   abscabs 13234   TopOpenctopn 15256   MetOpencmopn 18896  ℂfldccnfld 18906    Cn ccn 20175    tX ctx 20510   NrmCVeccnv 26138   BaseSetcba 26140   .sOLDcns 26141   normCVcnmcv 26144   IndMetcims 26145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-xms 21270  df-tms 21272  df-grpo 25854  df-gid 25855  df-ginv 25856  df-gdiv 25857  df-ablo 25945  df-vc 26100  df-nv 26146  df-va 26149  df-ba 26150  df-sm 26151  df-0v 26152  df-vs 26153  df-nmcv 26154  df-ims 26155
This theorem is referenced by:  vmcn  26270  dipcn  26294  ipasslem7  26412
  Copyright terms: Public domain W3C validator