MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcn Structured version   Unicode version

Theorem smcn 25734
Description: Scalar multiplication is jointly continuous in both arguments. (Contributed by NM, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c  |-  C  =  ( IndMet `  U )
smcn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
smcn.s  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
smcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
smcn  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )

Proof of Theorem smcn
Dummy variables  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.s . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
2 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
31, 2syl5eq 2510 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  S  =  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
4 smcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
5 smcn.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
6 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( IndMet `  U )  =  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
75, 6syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  C  =  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) )
87fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( MetOpen `  C )  =  ( MetOpen `  ( IndMet `
 if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
94, 8syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  J  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
109oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( K  tX  J
)  =  ( K 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) ) )
1110, 9oveq12d 6314 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( K  tX  J )  Cn  J
)  =  ( ( K  tX  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) ) )
123, 11eleq12d 2539 . 2  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( S  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )  <-> 
( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) ) ) )
13 eqid 2457 . . 3  |-  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
14 eqid 2457 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  (
MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
15 eqid 2457 . . 3  |-  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
16 smcn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
17 eqid 2457 . . 3  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
18 eqid 2457 . . 3  |-  ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
19 elimnvu 25716 . . 3  |-  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
20 eqid 2457 . . 3  |-  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )  =  ( 1  /  ( 1  +  ( ( ( ( ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) `  y )  +  ( abs `  x
) )  +  1 )  /  r ) ) )
2113, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20smcnlem 25733 . 2  |-  ( .sOLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) ) ) )
2212, 21dedth 3996 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ifcif 3944   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    / cdiv 10227   abscabs 13078   TopOpenctopn 14838   MetOpencmopn 18534  ℂfldccnfld 18546    Cn ccn 19851    tX ctx 20186   NrmCVeccnv 25603   BaseSetcba 25605   .sOLDcns 25606   normCVcnmcv 25609   IndMetcims 25610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-xms 20948  df-tms 20950  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620
This theorem is referenced by:  vmcn  25735  dipcn  25759  ipasslem7  25877
  Copyright terms: Public domain W3C validator