Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem smatfval 28695
Description: Value of the submatrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
smatfval  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( K (subMat1 `  M ) L )  =  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K , 
i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) )
Distinct variable groups:    i, K, j    i, L, j
Allowed substitution hints:    M( i, j)    V( i, j)

Proof of Theorem smatfval
Dummy variables  k 
l  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3040 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  M  e.  _V )
213ad2ant3 1053 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  M  e.  _V )
3 coeq1 4997 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
m  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) )  =  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) )
43mpt2eq3dv 6376 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
k  e.  NN , 
l  e.  NN  |->  ( m  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) )  =  ( k  e.  NN ,  l  e.  NN  |->  ( M  o.  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) )
>. ) ) ) )
5 df-smat 28694 . . . 4  |- subMat1  =  ( m  e.  _V  |->  ( k  e.  NN , 
l  e.  NN  |->  ( m  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) ) )
6 nnex 10637 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
76, 6mpt2ex 6889 . . . 4  |-  ( k  e.  NN ,  l  e.  NN  |->  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  < 
l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )
) )  e.  _V
84, 5, 7fvmpt 5963 . . 3  |-  ( M  e.  _V  ->  (subMat1 `  M )  =  ( k  e.  NN , 
l  e.  NN  |->  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) ) )
92, 8syl 17 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  (subMat1 `  M )  =  ( k  e.  NN , 
l  e.  NN  |->  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) ) )
10 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
i  <  k  <->  i  <  K ) )
1110ifbid 3894 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) )  =  if ( i  <  K , 
i ,  ( i  +  1 ) ) )
1211opeq1d 4164 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.  =  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  < 
l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )
1312mpt2eq3dv 6376 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) )
>. )  =  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) )
>. ) )
14 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
j  <  l  <->  j  <  L ) )
1514ifbid 3894 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) )  =  if ( j  <  L , 
j ,  ( j  +  1 ) ) )
1615opeq2d 4165 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  <. if ( i  <  K , 
i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.  =  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  < 
L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )
1716mpt2eq3dv 6376 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) )
>. )  =  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L , 
j ,  ( j  +  1 ) )
>. ) )
1813, 17sylan9eq 2525 . . . 4  |-  ( ( k  =  K  /\  l  =  L )  ->  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  < 
k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )  =  ( i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L , 
j ,  ( j  +  1 ) )
>. ) )
1918adantl 473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  /\  ( k  =  K  /\  l  =  L ) )  ->  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  l ,  j ,  ( j  +  1 ) )
>. )  =  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L , 
j ,  ( j  +  1 ) )
>. ) )
2019coeq2d 5002 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  /\  ( k  =  K  /\  l  =  L ) )  ->  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  k ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  < 
l ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )
)  =  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  < 
L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )
) )
21 simp1 1030 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  K  e.  NN )
22 simp2 1031 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  L  e.  NN )
23 simp3 1032 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  M  e.  V )
246, 6mpt2ex 6889 . . . 4  |-  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K , 
i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
)  e.  _V
2524a1i 11 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  (
i  e.  NN , 
j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L , 
j ,  ( j  +  1 ) )
>. )  e.  _V )
26 coexg 6763 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  < 
K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )  e.  _V )  ->  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  < 
K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. ) )  e. 
_V )
2723, 25, 26syl2anc 673 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K ,  i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  < 
L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >. )
)  e.  _V )
289, 20, 21, 22, 27ovmpt2d 6443 1  |-  ( ( K  e.  NN  /\  L  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( K (subMat1 `  M ) L )  =  ( M  o.  ( i  e.  NN ,  j  e.  NN  |->  <. if ( i  <  K , 
i ,  ( i  +  1 ) ) ,  if ( j  <  L ,  j ,  ( j  +  1 ) ) >.
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   ifcif 3872   <.cop 3965   class class class wbr 4395    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693   NNcn 10631  subMat1csmat 28693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-nn 10632  df-smat 28694
This theorem is referenced by:  smatrcl  28696  smatlem  28697
  Copyright terms: Public domain W3C validator