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Theorem smadiadetlem3 18449
Description: Lemma 3 for smadiadet 18451. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
marep01ma.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
marep01ma.r  |-  R  e. 
CRing
marep01ma.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
marep01ma.1  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
smadiadetlem.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
smadiadetlem.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
madetminlem.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
madetminlem.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
madetminlem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
smadiadetlem.w  |-  W  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
smadiadetlem.z  |-  Z  =  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) )
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, n, B    i, q, K, j, n    i, M, j, n    i, N, j, n    P, i, j, n, q    R, i, j, n    .1. , i,
j, n    .0. , i,
j, n    n, G, p    B, p    K, p    M, p    N, p    P, p    R, p, i, j   
q, p    n, W, p    G, p    Y, p    Z, p
Allowed substitution hints:    A( i, j, n, q, p)    B( q)    R( q)    S( i, j, n, q, p)    .x. ( i, j, n, q, p)    .1. ( q, p)    G( i, j, q)    M( q)    N( q)    W( i, j, q)    Y( i, j, n, q)    .0. ( q, p)    Z( i, j, n, q)

Proof of Theorem smadiadetlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 marep01ma.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 eqid 2438 . . 3  |-  (Cntz `  R )  =  (Cntz `  R )
4 marep01ma.r . . . . 5  |-  R  e. 
CRing
5 crngrng 16643 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
6 rngmnd 16642 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
74, 5, 6mp2b 10 . . . 4  |-  R  e. 
Mnd
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  R  e.  Mnd )
9 smadiadetlem.w . . . 4  |-  W  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
10 fvex 5696 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  e.  _V
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  _V )
129, 11syl5eqel 2522 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  W  e.  _V )
13 marep01ma.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
14 marep01ma.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
15 marep01ma.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
16 smadiadetlem.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
17 smadiadetlem.g . . . 4  |-  G  =  (mulGrp `  R )
18 madetminlem.y . . . 4  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
19 madetminlem.s . . . 4  |-  S  =  (pmSgn `  N )
20 madetminlem.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
21 smadiadetlem.z . . . 4  |-  Z  =  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) )
2213, 14, 4, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 9, 21smadiadetlem3lem1 18447 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) : W --> ( Base `  R
) )
2313, 14, 4, 2, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 9, 21smadiadetlem3lem2 18448 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ran  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `
 p ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  C_  ( (Cntz `  R ) `  ran  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `
 p ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
24 eqid 2438 . . . 4  |-  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )
2513, 14matrcl 18287 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
2625simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
28 diffi 7535 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
29 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
30 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
3129, 30symgbasfi 15882 . . . . . 6  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  Fin )
3227, 28, 313syl 20 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  Fin )
339, 32syl5eqel 2522 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  W  e.  Fin )
34 ovex 6111 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  o.  Z
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  _V
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  W )  ->  (
( ( Y  o.  Z ) `  p
) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) )  e.  _V )
36 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
372, 36eqeltri 2508 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  .0.  e.  _V )
3924, 33, 35, 38fsuppmptdm 7623 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) finSupp  .0.  )
40 fveq1 5685 . . . . . . 7  |-  ( q  =  p  ->  (
q `  K )  =  ( p `  K ) )
4140eqeq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( q  =  p  ->  (
( q `  K
)  =  K  <->  ( p `  K )  =  K ) )
4241cbvrabv 2966 . . . . 5  |-  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  =  { p  e.  P  |  ( p `  K )  =  K }
43 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( p  e.  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) )  =  ( p  e. 
{ q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) )
4416, 42, 9, 43symgfixf1o 15937 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) : { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } -1-1-onto-> W )
4526, 44sylan 471 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) : { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K } -1-1-onto-> W )
461, 2, 3, 8, 12, 22, 23, 39, 45gsumzf1o 16382 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  p
) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) ) )  o.  (
p  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) ) ) )
47 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
48 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( N 
\  { K }
)  =  ( N 
\  { K }
)
4916, 47, 9, 48symgfixelsi 15931 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  p  e.  { q  e.  P  |  (
q `  K )  =  K } )  -> 
( p  |`  ( N  \  { K }
) )  e.  W
)
5049adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  { q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  e.  W )
51 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) )  =  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )
52 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  y  ->  (
( Y  o.  Z
) `  p )  =  ( ( Y  o.  Z ) `  y ) )
53 fveq1 5685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  y  ->  (
p `  n )  =  ( y `  n ) )
5453oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  y  ->  (
n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { K }
)  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) )
5554mpteq2dv 4374 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  y  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) )  =  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) ) )
5655oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  y  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n
) ) ) ) )
5752, 56oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( p  =  y  ->  (
( ( Y  o.  Z ) `  p
) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  Z
) `  y )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) ) ) ) )
5857cbvmptv 4378 . . . . . 6  |-  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  y ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) ) ) ) )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  =  ( y  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  y ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) ) ) ) ) )
60 fveq2 5686 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Y  o.  Z ) `  y
)  =  ( ( Y  o.  Z ) `
 ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) )
61 fveq1 5685 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  -> 
( y `  n
)  =  ( ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) `  n ) )
62 fvres 5699 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) `  n )  =  ( p `  n ) )
6361, 62sylan9eq 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( y `  n )  =  ( p `  n ) )
6463oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( n
( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { K }
)  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) )
6564mpteq2dva 4373 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) )
6665oveq2d 6102 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) )
6760, 66oveq12d 6104 . . . . 5  |-  ( y  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( ( Y  o.  Z ) `  y ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( y `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  Z ) `  (
p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) ) )
6850, 51, 59, 67fmptco 5871 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `
 p ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  o.  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )  =  ( p  e. 
{ q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `
 ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) ( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )
6916, 19, 21, 18zrhcopsgndif 18008 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  ->  ( ( Y  o.  Z ) `  (
p  |`  ( N  \  { K } ) ) )  =  ( ( Y  o.  S ) `
 p ) ) )
7026, 69sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  ->  ( ( Y  o.  Z ) `  (
p  |`  ( N  \  { K } ) ) )  =  ( ( Y  o.  S ) `
 p ) ) )
7170imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  { q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( ( Y  o.  Z ) `  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) )  =  ( ( Y  o.  S ) `  p
) )
7271oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  { q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }
)  ->  ( (
( Y  o.  Z
) `  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) ( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `  p
) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) ) )
7372mpteq2dva 4373 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `  ( p  |`  ( N 
\  { K }
) ) ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )
7468, 73eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `
 p ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  o.  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )  =  ( p  e. 
{ q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `
 p ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )
7574oveq2d 6102 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z ) `
 p ) ( .r `  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  o.  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p
) ( .r `  R ) ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n
) ) ) ) ) ) ) )
7646, 75eqtr2d 2471 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  K }  |->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p ) ( .r
`  R ) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  W  |->  ( ( ( Y  o.  Z
) `  p )
( .r `  R
) ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967    \ cdif 3320   {csn 3872    e. cmpt 4345    |` cres 4837    o. ccom 4839   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   Fincfn 7302   Basecbs 14166   .rcmulr 14231   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   Mndcmnd 15401  Cntzccntz 15824   SymGrpcsymg 15873  pmSgncpsgn 15986  mulGrpcmgp 16579   1rcur 16591   Ringcrg 16633   CRingccrg 16634   ZRHomczrh 17906   Mat cmat 18255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1351  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-ot 3881  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-s1 12224  df-substr 12225  df-splice 12226  df-reverse 12227  df-s2 12467  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-submnd 15457  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-ghm 15736  df-gim 15778  df-cntz 15826  df-oppg 15852  df-symg 15874  df-pmtr 15939  df-psgn 15988  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-rnghom 16794  df-subrg 16841  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zrh 17910  df-dsmm 18132  df-frlm 18147  df-mat 18257
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  18450
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