MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetlem1a Structured version   Unicode version

Theorem smadiadetlem1a 19332
Description: Lemma 1a for smadiadet 19339: The summands of the Leibniz' formula vanish for all permutations fixing the index of the row containing the 0's and the 1 to the column with the 1. (Contributed by AV, 3-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marep01ma.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
marep01ma.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
marep01ma.r  |-  R  e. 
CRing
marep01ma.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
marep01ma.1  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
smadiadetlem.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
smadiadetlem.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
madetminlem.y  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
madetminlem.s  |-  S  =  (pmSgn `  N )
madetminlem.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
smadiadetlem1a  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    i, j, n, B    i, q, K, j, n    i, L, j, n, q    i, M, j, n    i, N, j, n    P, i, j, n, q    R, i, j, n    .1. , i,
j, n    .0. , i,
j, n    n, G    n, p, B    K, p    L, p    M, p    N, p    P, p    R, p, i, j    q, p
Allowed substitution hints:    A( i, j, n, q, p)    B( q)    R( q)    S( i, j, n, q, p)    .x. ( i, j, n, q, p)    .1. ( q, p)    G( i, j, q, p)    M( q)    N( q)    Y( i, j, n, q, p)    .0. ( q, p)

Proof of Theorem smadiadetlem1a
StepHypRef Expression
1 marep01ma.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 marep01ma.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 marep01ma.r . . . . . . 7  |-  R  e. 
CRing
4 marep01ma.0 . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 marep01ma.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 smadiadetlem.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
7 smadiadetlem.g . . . . . . 7  |-  G  =  (mulGrp `  R )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7smadiadetlem0 19330 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) )  =  .0.  ) )
98imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) )  =  .0.  )
109oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  p )  .x.  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  =  ( ( ( Y  o.  S ) `  p
)  .x.  .0.  )
)
1110mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) )  =  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  .0.  ) ) )
1211oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } )  |->  ( ( ( Y  o.  S
) `  p )  .x.  .0.  ) ) ) )
13 crngring 17404 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
143, 13mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  R  e.  Ring )
151, 2matrcl 19081 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
1615simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
17163ad2ant1 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
1817adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  N  e.  Fin )
19 eldifi 3612 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } )  ->  p  e.  P )
2019adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  p  e.  P )
21 madetminlem.s . . . . . . 7  |-  S  =  (pmSgn `  N )
22 madetminlem.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( ZRHom `  R
)
236, 21, 22zrhcopsgnelbas 18804 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  N  e.  Fin  /\  p  e.  P )  ->  (
( Y  o.  S
) `  p )  e.  ( Base `  R
) )
2414, 18, 20, 23syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  ( ( Y  o.  S ) `  p )  e.  (
Base `  R )
)
25 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
26 madetminlem.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2725, 26, 4ringrz 17431 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( Y  o.  S
) `  p )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( Y  o.  S ) `  p
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2814, 24, 27syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N
)  /\  p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) )  ->  ( (
( Y  o.  S
) `  p )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
2928mpteq2dva 4525 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  .0.  ) )  =  ( p  e.  ( P 
\  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  L } )  |->  .0.  ) )
3029oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  .0.  ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  .0.  ) ) )
31 ringmnd 17402 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
323, 13, 31mp2b 10 . . 3  |-  R  e. 
Mnd
33 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  e.  _V
346, 33eqeltri 2538 . . . 4  |-  P  e. 
_V
35 difexg 4585 . . . 4  |-  ( P  e.  _V  ->  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `
 K )  =  L } )  e. 
_V )
3634, 35mp1i 12 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( P  \  {
q  e.  P  | 
( q `  K
)  =  L }
)  e.  _V )
374gsumz 16204 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } )  e.  _V )  -> 
( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
3832, 36, 37sylancr 661 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
3912, 30, 383eqtrd 2499 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  L  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( P  \  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  L } ) 
|->  ( ( ( Y  o.  S ) `  p )  .x.  ( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .1.  ,  .0.  ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   ifcif 3929    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   Fincfn 7509   Basecbs 14716   .rcmulr 14785   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118   SymGrpcsymg 16601  pmSgncpsgn 16713  mulGrpcmgp 17336   1rcur 17348   Ringcrg 17393   CRingccrg 17394   ZRHomczrh 18712   Mat cmat 19076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-xor 1363  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12526  df-lsw 12527  df-concat 12528  df-s1 12529  df-substr 12530  df-splice 12531  df-reverse 12532  df-s2 12804  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-gim 16506  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-symg 16602  df-pmtr 16666  df-psgn 16715  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-rnghom 17559  df-subrg 17622  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-zrh 18716  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mat 19077
This theorem is referenced by:  smadiadetlem2  19333
  Copyright terms: Public domain W3C validator