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Theorem smadiadetglem2 18594
Description: Lemma 2 for smadiadetg 18595. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
smadiadet.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
smadiadet.r  |-  R  e. 
CRing
smadiadet.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
smadiadet.h  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
smadiadetg.x  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
smadiadetglem2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  oF  .x.  (
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  |`  ( { K }  X.  N ) ) ) )

Proof of Theorem smadiadetglem2
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4631 . . . . 5  |-  { K }  e.  _V
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  { K }  e.  _V )
3 smadiadet.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 smadiadet.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
53, 4matrcl 18421 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
6 elex 3077 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  e.  _V )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
85, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  _V )
983ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  N  e.  _V )
10 simp13 1020 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  S  e.  ( Base `  R
) )
11 smadiadet.r . . . . . 6  |-  R  e. 
CRing
12 crngrng 16761 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1311, 12mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
14 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
1614, 15rngidcl 16771 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
17 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1814, 17rng0cl 16772 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1916, 18ifcld 3930 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
2013, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
21 fconstmpt2 6285 . . . . 5  |-  ( ( { K }  X.  N )  X.  { S } )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  S )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  =  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  S ) )
23 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
242, 9, 10, 20, 22, 23offval22 6752 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
2511, 12mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( Base `  R
)  ->  R  e.  Ring )
26 smadiadetg.x . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2714, 26, 15rngridm 16775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( S  .x.  ( 1r `  R ) )  =  S )
2825, 27mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( Base `  R
)  ->  ( S  .x.  ( 1r `  R
) )  =  S )
29283ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( S  .x.  ( 1r `  R ) )  =  S )
3029ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  ( 1r `  R ) )  =  S )
31 iftrue 3895 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3231adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3332oveq2d 6206 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( S  .x.  ( 1r
`  R ) ) )
34 iftrue 3895 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  S )
3534adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  S )
3630, 33, 353eqtr4d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
3714, 26, 17rngrz 16788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( S  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
3825, 37mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( Base `  R
)  ->  ( S  .x.  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
39383ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( S  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
4039ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
41 iffalse 3897 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4241oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  K  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( S  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
4342adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( S  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
44 iffalse 3897 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4544adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2502 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
4736, 46pm2.61ian 788 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  j  e.  N
)  ->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  if ( j  =  K ,  S , 
( 0g `  R
) ) )
48473adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
4948mpt2eq3dva 6249 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ) )
5024, 49eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ) )
51 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  K  e.  N )
52 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( N minMatR1  R )  =  ( N minMatR1  R )
533, 4, 52, 15, 17minmar1val 18570 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
5451, 53syld3an3 1264 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
5554reseq1d 5207 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M ) K )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N
) ) )
56 snssi 4115 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  { K }  C_  N )
57563ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  { K }  C_  N
)
58 ssid 3473 . . . . . 6  |-  N  C_  N
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  N  C_  N )
60 resmpt2 6288 . . . . 5  |-  ( ( { K }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
6157, 59, 60syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
62 mpt2snif 6284 . . . . 5  |-  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
6362a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
6455, 61, 633eqtrd 2496 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M ) K )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
6564oveq2d 6206 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( ( K ( ( N minMatR1  R ) `
 M ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) ) )  =  ( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
66 3simpb 986 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( M  e.  B  /\  S  e.  ( Base `  R ) ) )
67 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( N matRRep  R )  =  ( N matRRep  R )
683, 4, 67, 17marrepval 18484 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( K  e.  N  /\  K  e.  N ) )  -> 
( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
6966, 51, 51, 68syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
7069reseq1d 5207 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N ) ) )
71 resmpt2 6288 . . . 4  |-  ( ( { K }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
7257, 59, 71syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
73 mpt2snif 6284 . . . 4  |-  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
7473a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S , 
( 0g `  R
) ) ) )
7570, 72, 743eqtrd 2496 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ) )
7650, 65, 753eqtr4rd 2503 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  oF  .x.  (
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  |`  ( { K }  X.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    C_ wss 3426   ifcif 3889   {csn 3975    X. cxp 4936    |` cres 4940   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192    oFcof 6418   Fincfn 7410   Basecbs 14276   .rcmulr 14341   0gc0g 14480   1rcur 16708   Ringcrg 16751   CRingccrg 16752   Mat cmat 18389   matRRep cmarrep 18478   maDet cmdat 18506   minMatR1 cminmar1 18555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-mat 18391  df-marrep 18480  df-minmar1 18557
This theorem is referenced by:  smadiadetg  18595
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