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Theorem smadiadetglem2 19466
Description: Lemma 2 for smadiadetg 19467. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
smadiadet.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
smadiadet.r  |-  R  e. 
CRing
smadiadet.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
smadiadet.h  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
smadiadetg.x  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
smadiadetglem2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  oF  .x.  (
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  |`  ( { K }  X.  N ) ) ) )

Proof of Theorem smadiadetglem2
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4632 . . . . 5  |-  { K }  e.  _V
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  { K }  e.  _V )
3 smadiadet.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( N Mat  R )
4 smadiadet.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  A
)
53, 4matrcl 19206 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
6 elex 3068 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  N  e.  _V )
76adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  _V )
983ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  N  e.  _V )
10 simp13 1029 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  S  e.  ( Base `  R
) )
11 smadiadet.r . . . . . 6  |-  R  e. 
CRing
12 crngring 17529 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1311, 12mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
14 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
1614, 15ringidcl 17539 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
17 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1814, 17ring0cl 17540 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
1916, 18ifcld 3928 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  ( Base `  R
) )
2013, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  ( Base `  R ) )
21 fconstmpt2 6378 . . . . 5  |-  ( ( { K }  X.  N )  X.  { S } )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  S )
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  =  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  S ) )
23 eqidd 2403 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
242, 9, 10, 20, 22, 23offval22 6863 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
2511, 12mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ( Base `  R
)  ->  R  e.  Ring )
26 smadiadetg.x . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2714, 26, 15ringridm 17543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( S  .x.  ( 1r `  R ) )  =  S )
2825, 27mpancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( Base `  R
)  ->  ( S  .x.  ( 1r `  R
) )  =  S )
29283ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( S  .x.  ( 1r `  R ) )  =  S )
3029ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  ( 1r `  R ) )  =  S )
31 iftrue 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3231adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 1r
`  R ) )
3332oveq2d 6294 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( S  .x.  ( 1r
`  R ) ) )
34 iftrue 3891 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  S )
3534adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  S )
3630, 33, 353eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
3714, 26, 17ringrz 17556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( S  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
3825, 37mpancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  ( Base `  R
)  ->  ( S  .x.  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  R ) )
39383ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( S  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
4039ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
41 iffalse 3894 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4241oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  K  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( S  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
4342adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( S  .x.  ( 0g
`  R ) ) )
44 iffalse 3894 . . . . . . . 8  |-  ( -.  j  =  K  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4544adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  ->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4640, 43, 453eqtr4d 2453 . . . . . 6  |-  ( ( -.  j  =  K  /\  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R
) )  /\  j  e.  N ) )  -> 
( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
4736, 46pm2.61ian 791 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  j  e.  N
)  ->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  =  if ( j  =  K ,  S , 
( 0g `  R
) ) )
48473adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  i  e.  { K }  /\  j  e.  N )  ->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
4948mpt2eq3dva 6342 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  ( S  .x.  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ) )
5024, 49eqtrd 2443 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ) )
51 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  K  e.  N )
52 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( N minMatR1  R )  =  ( N minMatR1  R )
533, 4, 52, 15, 17minmar1val 19442 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
5451, 53syld3an3 1275 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
5554reseq1d 5093 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M ) K )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N
) ) )
56 snssi 4116 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  { K }  C_  N )
57563ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  { K }  C_  N
)
58 ssid 3461 . . . . 5  |-  N  C_  N
59 resmpt2 6381 . . . . 5  |-  ( ( { K }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
6057, 58, 59sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
61 mpt2snif 6377 . . . . 5  |-  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
6261a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) ) )
6355, 60, 623eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M ) K )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
6463oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( ( K ( ( N minMatR1  R ) `
 M ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) ) )  =  ( ( ( { K }  X.  N
)  X.  { S } )  oF  .x.  ( i  e. 
{ K } , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ) )
65 3simpb 995 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( M  e.  B  /\  S  e.  ( Base `  R ) ) )
66 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( N matRRep  R )  =  ( N matRRep  R )
673, 4, 66, 17marrepval 19356 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( K  e.  N  /\  K  e.  N ) )  -> 
( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
6865, 51, 51, 67syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
6968reseq1d 5093 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N ) ) )
70 resmpt2 6381 . . . 4  |-  ( ( { K }  C_  N  /\  N  C_  N
)  ->  ( (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
7157, 58, 70sylancl 660 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
72 mpt2snif 6377 . . . 4  |-  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) )
7372a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S , 
( 0g `  R
) ) ) )
7469, 71, 733eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( i  e.  { K } ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  S ,  ( 0g `  R ) ) ) )
7550, 64, 743eqtr4rd 2454 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  oF  .x.  (
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  |`  ( { K }  X.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    C_ wss 3414   ifcif 3885   {csn 3972    X. cxp 4821    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280    oFcof 6519   Fincfn 7554   Basecbs 14841   .rcmulr 14910   0gc0g 15054   1rcur 17473   Ringcrg 17518   CRingccrg 17519   Mat cmat 19201   matRRep cmarrep 19350   maDet cmdat 19378   minMatR1 cminmar1 19427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-mat 19202  df-marrep 19352  df-minmar1 19429
This theorem is referenced by:  smadiadetg  19467
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