MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetg Structured version   Unicode version

Theorem smadiadetg 19465
Description: The determinant of a square matrix with one row replaced with 0's and an arbitrary element of the underlying ring at the diagonal position equals the ring element multiplied with the determinant of a submatrix of the square matrix obtained by removing the row and the column at the same index. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
smadiadet.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
smadiadet.r  |-  R  e. 
CRing
smadiadet.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
smadiadet.h  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
smadiadetg.x  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
smadiadetg  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( D `  ( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K ) )  =  ( S  .x.  ( E `  ( K
( ( N subMat  R
) `  M ) K ) ) ) )

Proof of Theorem smadiadetg
StepHypRef Expression
1 smadiadet.d . . 3  |-  D  =  ( N maDet  R )
2 smadiadet.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
3 smadiadet.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  A
)
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5 smadiadetg.x . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
6 smadiadet.r . . . 4  |-  R  e. 
CRing
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  R  e.  CRing )
8 crngring 17527 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
96, 8mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  R  e.  Ring )
10 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  M  e.  B )
11 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  S  e.  ( Base `  R ) )
12 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  ->  K  e.  N )
132, 3marrepcl 19356 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  B  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  /\  ( K  e.  N  /\  K  e.  N
) )  ->  ( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K )  e.  B
)
149, 10, 11, 12, 12, 13syl32anc 1238 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K )  e.  B )
152, 3minmar1cl 19443 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  M  e.  B )  /\  ( K  e.  N  /\  K  e.  N ) )  -> 
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  e.  B )
169, 10, 12, 12, 15syl22anc 1231 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  e.  B )
17 smadiadet.h . . . 4  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
182, 3, 6, 1, 17, 5smadiadetglem2 19464 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( { K }  X.  N
) )  =  ( ( ( { K }  X.  N )  X. 
{ S } )  oF  .x.  (
( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  |`  ( { K }  X.  N ) ) ) )
192, 3, 6, 1, 17smadiadetglem1 19463 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( K ( M ( N matRRep  R
) S ) K )  |`  ( ( N  \  { K }
)  X.  N ) )  =  ( ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  |`  ( ( N  \  { K } )  X.  N ) ) )
201, 2, 3, 4, 5, 7, 14, 11, 16, 12, 18, 19mdetrsca 19395 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( D `  ( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K ) )  =  ( S  .x.  ( D `  ( K
( ( N minMatR1  R ) `
 M ) K ) ) ) )
212, 3, 6, 1, 17smadiadet 19462 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) ) )
22213adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) ) )
2322eqcomd 2410 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) )  =  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) ) )
2423oveq2d 6293 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( S  .x.  ( D `  ( K
( ( N minMatR1  R ) `
 M ) K ) ) )  =  ( S  .x.  ( E `  ( K
( ( N subMat  R
) `  M ) K ) ) ) )
2520, 24eqtrd 2443 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  S  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( D `  ( K ( M ( N matRRep  R ) S ) K ) )  =  ( S  .x.  ( E `  ( K
( ( N subMat  R
) `  M ) K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    \ cdif 3410   {csn 3971   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   .rcmulr 14908   Ringcrg 17516   CRingccrg 17517   Mat cmat 19199   matRRep cmarrep 19348   subMat csubma 19368   maDet cmdat 19376   minMatR1 cminmar1 19425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-word 12589  df-lsw 12590  df-concat 12591  df-s1 12592  df-substr 12593  df-splice 12594  df-reverse 12595  df-s2 12867  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-gim 16629  df-cntz 16677  df-oppg 16703  df-symg 16725  df-pmtr 16789  df-psgn 16838  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-rnghom 17682  df-drng 17716  df-subrg 17745  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-dsmm 19059  df-frlm 19074  df-mat 19200  df-marrep 19350  df-subma 19369  df-mdet 19377  df-minmar1 19427
This theorem is referenced by:  smadiadetg0  19466
  Copyright terms: Public domain W3C validator