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Theorem smadiadet 18609
Description: The determinant of a submatrix of a square matrix obtained by removing a row and a column at the same index equals the determinant of the original matrix with the row replaced with 0's and a 1 at the diagonal position. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
smadiadet.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
smadiadet.r  |-  R  e. 
CRing
smadiadet.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
smadiadet.h  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
Assertion
Ref Expression
smadiadet  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) ) )

Proof of Theorem smadiadet
Dummy variables  i 
j  n  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smadiadet.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( N subMat  R )  =  ( N subMat  R )
3 smadiadet.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 2, 3submaval 18520 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N subMat  R ) `  M ) K )  =  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )
543anidm23 1278 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N subMat  R ) `  M ) K )  =  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )
65fveq2d 5804 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
7 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( N minMatR1  R )  =  ( N minMatR1  R )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
101, 3, 7, 8, 9minmar1val 18587 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
11103anidm23 1278 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
1211fveq2d 5804 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ) )
13 smadiadet.r . . . . 5  |-  R  e. 
CRing
141, 3, 13, 9, 8marep01ma 18599 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  e.  B )
15 smadiadet.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N maDet  R )
16 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
17 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
18 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
19 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
20 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2115, 1, 3, 16, 17, 18, 19, 20mdetleib2 18527 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  e.  B )  ->  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
2213, 14, 21sylancr 663 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
24 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
25 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
26 crngrng 16779 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
27 rngcmn 16799 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
2813, 26, 27mp2b 10 . . . . . 6  |-  R  e. CMnd
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
301, 3matrcl 18438 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
3130simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
32 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3332, 16symgbasfi 16011 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
3431, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
361, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19smadiadetlem1 18601 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
37 disjdif 3860 . . . . . 6  |-  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  i^i  (
( Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (/)
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  i^i  ( (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (/) )
39 ssrab2 3546 . . . . . . . 8  |-  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  C_  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }  C_  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )
41 undif 3868 . . . . . . 7  |-  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  C_  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  <->  ( {
q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  u.  (
( Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
4240, 41sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  u.  ( (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
4342eqcomd 2462 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  =  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  u.  ( (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) ) )
4424, 25, 29, 35, 36, 38, 43gsummptfidmsplit 16546 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( p  e.  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( p  e.  ( ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  \  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K } )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
45 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
46 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) )
471, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19, 45, 46smadiadetlem4 18608 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  {
q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
481, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19smadiadetlem2 18603 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
\  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K } )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
4947, 48oveq12d 6219 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( R  gsumg  ( p  e.  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( p  e.  ( ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  \  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K } )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
50 rngmnd 16778 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
5113, 26, 50mp2b 10 . . . . . 6  |-  R  e. 
Mnd
52 diffi 7655 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
5331, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
5453adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( N  \  { K } )  e.  Fin )
55 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
5655, 45symgbasfi 16011 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  Fin )
5754, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  Fin )
5813a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  R  e.  CRing
)
59 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  M  e.  B )
60 difssd 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  ( N  \  { K } ) 
C_  N )
611, 3submabas 18517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  B  /\  ( N  \  { K } )  C_  N
)  ->  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) )
6259, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )
64 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  \  { K } ) Mat  R )  =  ( ( N 
\  { K }
) Mat  R )
65 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) )  =  (
Base `  ( ( N  \  { K }
) Mat  R ) )
6645, 46, 17, 64, 65, 20madetsmelbas2 18478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  (
( N  \  { K } ) Mat  R ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6758, 62, 63, 66syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6867ralrimiva 2830 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  A. p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6924, 29, 57, 68gsummptcl 16581 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
7024, 25, 9mndrid 15562 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
7151, 69, 70sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
72 difssd 3593 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  ( N  \  { K }
)  C_  N )
7361, 13jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  ( N  \  { K } )  C_  N
)  ->  ( R  e.  CRing  /\  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) ) )
7472, 73sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  e.  CRing  /\  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) ) )
75 smadiadet.h . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
7675, 64, 65, 45, 17, 46, 19, 20mdetleib2 18527 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  (
( N  \  { K } ) Mat  R ) ) )  ->  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
7774, 76syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K }
) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
7871, 77eqtr4d 2498 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( E `  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
7944, 49, 783eqtrd 2499 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
8012, 23, 793eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) )  =  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
816, 80eqtr4d 2498 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   ifcif 3900   {csn 3986    |-> cmpt 4459    o. ccom 4953   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   Fincfn 7421   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   .rcmulr 14359   0gc0g 14498    gsumg cgsu 14499   Mndcmnd 15529   SymGrpcsymg 16002  pmSgncpsgn 16115  CMndccmn 16399  mulGrpcmgp 16714   1rcur 16726   Ringcrg 16769   CRingccrg 16770   ZRHomczrh 18057   Mat cmat 18406   subMat csubma 18515   maDet cmdat 18523   minMatR1 cminmar1 18572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-xor 1352  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-ot 3995  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-word 12348  df-concat 12350  df-s1 12351  df-substr 12352  df-splice 12353  df-reverse 12354  df-s2 12594  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-gim 15907  df-cntz 15955  df-oppg 15981  df-symg 16003  df-pmtr 16068  df-psgn 16117  df-cmn 16401  df-abl 16402  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-rnghom 16930  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-zrh 18061  df-dsmm 18283  df-frlm 18298  df-mat 18408  df-subma 18516  df-mdet 18524  df-minmar1 18574
This theorem is referenced by:  smadiadetg  18612
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