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Theorem smadiadet 19356
Description: The determinant of a submatrix of a square matrix obtained by removing a row and a column at the same index equals the determinant of the original matrix with the row replaced with 0's and a 1 at the diagonal position. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 24-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
smadiadet.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
smadiadet.r  |-  R  e. 
CRing
smadiadet.d  |-  D  =  ( N maDet  R )
smadiadet.h  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
Assertion
Ref Expression
smadiadet  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) ) )

Proof of Theorem smadiadet
Dummy variables  i 
j  n  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smadiadet.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( N subMat  R )  =  ( N subMat  R )
3 smadiadet.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
41, 2, 3submaval 19267 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N subMat  R ) `  M ) K )  =  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )
543anidm23 1289 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N subMat  R ) `  M ) K )  =  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )
65fveq2d 5809 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
7 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( N minMatR1  R )  =  ( N minMatR1  R )
8 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
9 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
101, 3, 7, 8, 9minmar1val 19334 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
11103anidm23 1289 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )
1211fveq2d 5809 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ) )
13 smadiadet.r . . . . 5  |-  R  e. 
CRing
141, 3, 13, 9, 8marep01ma 19346 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  e.  B )
15 smadiadet.d . . . . . 6  |-  D  =  ( N maDet  R )
16 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  =  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
17 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( ZRHom `  R )  =  ( ZRHom `  R )
18 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  N )  =  (pmSgn `  N )
19 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
20 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2115, 1, 3, 16, 17, 18, 19, 20mdetleib2 19274 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) )  e.  B )  ->  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
2213, 14, 21sylancr 661 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( D `  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
2322adantr 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( D `  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N )
) `  p )
( .r `  R
) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
24 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
25 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
26 crngring 17421 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
27 ringcmn 17441 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
2813, 26, 27mp2b 10 . . . . . 6  |-  R  e. CMnd
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  R  e. CMnd )
301, 3matrcl 19098 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
3130simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
32 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3332, 16symgbasfi 16627 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
3431, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  e.  Fin )
3534adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  e.  Fin )
361, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19smadiadetlem1 19348 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N ) ) )  ->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
37 disjdif 3843 . . . . . 6  |-  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  i^i  (
( Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (/)
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  i^i  ( (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (/) )
39 ssrab2 3523 . . . . . . . 8  |-  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  C_  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }  C_  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) )
41 undif 3851 . . . . . . 7  |-  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  C_  ( Base `  ( SymGrp `  N
) )  <->  ( {
q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  u.  (
( Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
4240, 41sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  u.  ( (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  N ) ) )
4342eqcomd 2410 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  =  ( { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  u.  ( (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  \  { q  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |  ( q `  K
)  =  K }
) ) )
4424, 25, 29, 35, 36, 38, 43gsummptfidmsplit 17165 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( p  e.  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( p  e.  ( ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  \  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K } )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ) )
45 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )  =  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) )
46 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) )  =  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) )
471, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19, 45, 46smadiadetlem4 19355 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  {
q  e.  ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  |  ( q `
 K )  =  K }  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
481, 3, 13, 9, 8, 16, 20, 17, 18, 19smadiadetlem2 19350 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  ( ( Base `  ( SymGrp `
 N ) ) 
\  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K } )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
4947, 48oveq12d 6252 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( R  gsumg  ( p  e.  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K }  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( R  gsumg  ( p  e.  ( ( Base `  ( SymGrp `  N )
)  \  { q  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )  |  ( q `  K )  =  K } )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
50 ringmnd 17419 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
5113, 26, 50mp2b 10 . . . . . 6  |-  R  e. 
Mnd
52 diffi 7706 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
5331, 52syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
5453adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( N  \  { K } )  e.  Fin )
55 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
5655, 45symgbasfi 16627 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  \  { K } )  e.  Fin  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  Fin )
5754, 56syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  e.  Fin )
5813a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  R  e.  CRing
)
59 simpll 752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  M  e.  B )
60 difssd 3570 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  ( N  \  { K } ) 
C_  N )
611, 3submabas 19264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  B  /\  ( N  \  { K } )  C_  N
)  ->  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) )
6259, 60, 61syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) )
63 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )
64 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  \  { K } ) Mat  R )  =  ( ( N 
\  { K }
) Mat  R )
65 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) )  =  (
Base `  ( ( N  \  { K }
) Mat  R ) )
6645, 46, 17, 64, 65, 20madetsmelbas2 19151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  (
( N  \  { K } ) Mat  R ) )  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  (
( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6758, 62, 63, 66syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N
)  /\  p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6867ralrimiva 2817 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  A. p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
6924, 29, 57, 68gsummptcl 17207 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
7024, 25, 9mndrid 16158 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
7151, 69, 70sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
72 difssd 3570 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  ( N  \  { K }
)  C_  N )
7361, 13jctil 535 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  ( N  \  { K } )  C_  N
)  ->  ( R  e.  CRing  /\  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) ) )
7472, 73sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  e.  CRing  /\  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  ( ( N  \  { K } ) Mat  R
) ) ) )
75 smadiadet.h . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( N  \  { K } ) maDet  R
)
7675, 64, 65, 45, 17, 46, 19, 20mdetleib2 19274 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) )  e.  ( Base `  (
( N  \  { K } ) Mat  R ) ) )  ->  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )  =  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) ) ) 
|->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `  p
) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
7774, 76syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `  ( N  \  { K }
) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) )
7871, 77eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( ( R  gsumg  ( p  e.  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R
)  o.  (pmSgn `  ( N  \  { K } ) ) ) `
 p ) ( .r `  R ) ( (mulGrp `  R
)  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( E `  (
i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
7944, 49, 783eqtrd 2447 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( p  e.  (
Base `  ( SymGrp `  N ) )  |->  ( ( ( ( ZRHom `  R )  o.  (pmSgn `  N ) ) `  p ) ( .r
`  R ) ( (mulGrp `  R )  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  K ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ,  ( i M j ) ) ) ( p `  n ) ) ) ) ) ) )  =  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
8012, 23, 793eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) )  =  ( E `  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( i M j ) ) ) )
816, 80eqtr4d 2446 1  |-  ( ( M  e.  B  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  ( K ( ( N subMat  R ) `  M
) K ) )  =  ( D `  ( K ( ( N minMatR1  R ) `  M
) K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   {csn 3971    |-> cmpt 4452    o. ccom 4946   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   Fincfn 7474   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   .rcmulr 14802   0gc0g 14946    gsumg cgsu 14947   Mndcmnd 16135   SymGrpcsymg 16618  pmSgncpsgn 16730  CMndccmn 17014  mulGrpcmgp 17353   1rcur 17365   Ringcrg 17410   CRingccrg 17411   ZRHomczrh 18729   Mat cmat 19093   subMat csubma 19262   maDet cmdat 19270   minMatR1 cminmar1 19319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-xor 1367  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-word 12498  df-lsw 12499  df-concat 12500  df-s1 12501  df-substr 12502  df-splice 12503  df-reverse 12504  df-s2 12776  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-prds 14954  df-pws 14956  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-ghm 16481  df-gim 16523  df-cntz 16571  df-oppg 16597  df-symg 16619  df-pmtr 16683  df-psgn 16732  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-oppr 17484  df-dvdsr 17502  df-unit 17503  df-invr 17533  df-dvr 17544  df-rnghom 17576  df-drng 17610  df-subrg 17639  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-cnfld 18633  df-zring 18701  df-zrh 18733  df-dsmm 18953  df-frlm 18968  df-mat 19094  df-subma 19263  df-mdet 19271  df-minmar1 19321
This theorem is referenced by:  smadiadetg  19359
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