Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slwhash Structured version   Unicode version

Theorem slwhash 16518
 Description: A sylow subgroup has cardinality equal to the maximum power of dividing the group. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fislw.1
slwhash.3
slwhash.4 pSyl
Assertion
Ref Expression
slwhash

Proof of Theorem slwhash
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fislw.1 . . 3
2 slwhash.4 . . . . 5 pSyl
3 slwsubg 16504 . . . . 5 pSyl SubGrp
42, 3syl 16 . . . 4 SubGrp
5 subgrcl 16080 . . . 4 SubGrp
64, 5syl 16 . . 3
7 slwhash.3 . . 3
8 slwprm 16503 . . . 4 pSyl
92, 8syl 16 . . 3
101grpbn0 15953 . . . . . 6
116, 10syl 16 . . . . 5
12 hashnncl 12415 . . . . . 6
137, 12syl 16 . . . . 5
1411, 13mpbird 232 . . . 4
159, 14pccld 14251 . . 3
16 pcdvds 14264 . . . 4
179, 14, 16syl2anc 661 . . 3
181, 6, 7, 9, 15, 17sylow1 16497 . 2 SubGrp
197adantr 465 . . . 4 SubGrp
204adantr 465 . . . 4 SubGrp SubGrp
21 simprl 756 . . . 4 SubGrp SubGrp
22 eqid 2443 . . . 4
23 eqid 2443 . . . . . . 7 s s
2423slwpgp 16507 . . . . . 6 pSyl pGrp s
252, 24syl 16 . . . . 5 pGrp s
2625adantr 465 . . . 4 SubGrp pGrp s
27 simprr 757 . . . 4 SubGrp
28 eqid 2443 . . . 4
291, 19, 20, 21, 22, 26, 27, 28sylow2b 16517 . . 3 SubGrp
30 simprr 757 . . . . . 6 SubGrp
312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 SubGrp pSyl
3231, 8syl 16 . . . . . . 7 SubGrp
3315ad2antrr 725 . . . . . . . 8 SubGrp
3421adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
35 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
36 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13
371, 22, 28, 36conjsubg 16172 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
3834, 35, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp
39 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12 s s
4039subgbas 16079 . . . . . . . . . . 11 SubGrp s
4138, 40syl 16 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
4241fveq2d 5860 . . . . . . . . 9 SubGrp s
431, 22, 28, 36conjsubgen 16173 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
4434, 35, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
457ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
461subgss 16076 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
4734, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
48 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . 13
4945, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
501subgss 16076 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
5138, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
52 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . 13
5345, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
54 hashen 12399 . . . . . . . . . . . 12
5549, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5644, 55mpbird 232 . . . . . . . . . 10 SubGrp
57 simplrr 762 . . . . . . . . . 10 SubGrp
5856, 57eqtr3d 2486 . . . . . . . . 9 SubGrp
5942, 58eqtr3d 2486 . . . . . . . 8 SubGrp s
60 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10
6160eqeq2d 2457 . . . . . . . . 9 s s
6261rspcev 3196 . . . . . . . 8 s s
6333, 59, 62syl2anc 661 . . . . . . 7 SubGrp s
6439subggrp 16078 . . . . . . . . 9 SubGrp s
6538, 64syl 16 . . . . . . . 8 SubGrp s
6641, 53eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8 SubGrp s
67 eqid 2443 . . . . . . . . 9 s s
6867pgpfi 16499 . . . . . . . 8 s s pGrp s s
6965, 66, 68syl2anc 661 . . . . . . 7 SubGrp pGrp s s
7032, 63, 69mpbir2and 922 . . . . . 6 SubGrp pGrp s
7139slwispgp 16505 . . . . . . 7 pSyl SubGrp pGrp s
7231, 38, 71syl2anc 661 . . . . . 6 SubGrp pGrp s
7330, 70, 72mpbi2and 921 . . . . 5 SubGrp
7473fveq2d 5860 . . . 4 SubGrp
7574, 58eqtrd 2484 . . 3 SubGrp
7629, 75rexlimddv 2939 . 2 SubGrp
7718, 76rexlimddv 2939 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wrex 2794   wss 3461  c0 3770   class class class wbr 4437   cmpt 4495   crn 4990  cfv 5578  (class class class)co 6281   cen 7515  cfn 7518  cn 10542  cn0 10801  cexp 12145  chash 12384   cdvds 13863  cprime 14094   cpc 14237  cbs 14509   ↾s cress 14510   cplusg 14574  cgrp 15927  csg 15929  SubGrpcsubg 16069   pGrp cpgp 16425   pSyl cslw 16426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095  df-pc 14238  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mulg 15934  df-subg 16072  df-eqg 16074  df-ghm 16139  df-ga 16202  df-od 16427  df-pgp 16429  df-slw 16430 This theorem is referenced by:  fislw  16519  sylow2  16520  sylow3lem4  16524
 Copyright terms: Public domain W3C validator