MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsbhcdif Structured version   Unicode version

Theorem slotsbhcdif 15311
Description: The slots  Base,  Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
slotsbhcdif  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx ) )

Proof of Theorem slotsbhcdif
StepHypRef Expression
1 df-base 15119 . . . 4  |-  Base  = Slot  1
2 1nn 10622 . . . 4  |-  1  e.  NN
31, 2ndxarg 15134 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 1re 9644 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 4nn0 10890 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
6 1nn0 10887 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10822 . . . . . 6  |-  1  <  10
82, 5, 6, 7declti 11078 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
94, 8ltneii 9749 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
10 homndx 15305 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeqtrri 2724 . . 3  |-  1  =/=  ( Hom  `  ndx )
123, 11eqnetri 2721 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
13 5nn0 10891 . . . . . 6  |-  5  e.  NN0
142, 13, 6, 7declti 11078 . . . . 5  |-  1  < ; 1
5
154, 14ltneii 9749 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 5
16 ccondx 15307 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1715, 16neeqtrri 2724 . . 3  |-  1  =/=  (comp `  ndx )
183, 17eqnetri 2721 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
196, 5deccl 11067 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN0
2019nn0rei 10882 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
21 5nn 10772 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
22 4lt5 10784 . . . . . 6  |-  4  <  5
236, 5, 21, 22declt 11074 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
2420, 23ltneii 9749 . . . 4  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
2524, 16neeqtrri 2724 . . 3  |- ; 1 4  =/=  (comp ` 
ndx )
2610, 25eqnetri 2721 . 2  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
2712, 18, 263pm3.2i 1184 1  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 983    =/= wne 2619   ` cfv 5599   1c1 9542   4c4 10663   5c5 10664  ;cdc 11053   ndxcnx 15111   Basecbs 15114   Hom chom 15194  compcco 15195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-hom 15207  df-cco 15208
This theorem is referenced by:  estrreslem1  16015  estrres  16017
  Copyright terms: Public domain W3C validator