MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsbhcdif Structured version   Unicode version

Theorem slotsbhcdif 15036
Description: The slots  Base,  Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
slotsbhcdif  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx ) )

Proof of Theorem slotsbhcdif
StepHypRef Expression
1 df-base 14848 . . . 4  |-  Base  = Slot  1
2 1nn 10589 . . . 4  |-  1  e.  NN
31, 2ndxarg 14863 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 1re 9627 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 4nn0 10857 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
6 1nn0 10854 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10789 . . . . . 6  |-  1  <  10
82, 5, 6, 7declti 11046 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
94, 8ltneii 9731 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
10 homndx 15030 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeqtrri 2704 . . 3  |-  1  =/=  ( Hom  `  ndx )
123, 11eqnetri 2701 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
13 5nn0 10858 . . . . . 6  |-  5  e.  NN0
142, 13, 6, 7declti 11046 . . . . 5  |-  1  < ; 1
5
154, 14ltneii 9731 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 5
16 ccondx 15032 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1715, 16neeqtrri 2704 . . 3  |-  1  =/=  (comp `  ndx )
183, 17eqnetri 2701 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
196, 5deccl 11035 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN0
2019nn0rei 10849 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
21 5nn 10739 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
22 4lt5 10751 . . . . . 6  |-  4  <  5
236, 5, 21, 22declt 11042 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
2420, 23ltneii 9731 . . . 4  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
2524, 16neeqtrri 2704 . . 3  |- ; 1 4  =/=  (comp ` 
ndx )
2610, 25eqnetri 2701 . 2  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
2712, 18, 263pm3.2i 1177 1  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 976    =/= wne 2600   ` cfv 5571   1c1 9525   4c4 10630   5c5 10631  ;cdc 11021   ndxcnx 14840   Basecbs 14843   Hom chom 14922  compcco 14923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-hom 14935  df-cco 14936
This theorem is referenced by:  estrreslem1  15732  estrres  15734
  Copyright terms: Public domain W3C validator