MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsbhcdif Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem slotsbhcdif 15396
Description: The slots  Base,  Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
slotsbhcdif  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx ) )

Proof of Theorem slotsbhcdif
StepHypRef Expression
1 df-base 15204 . . . 4  |-  Base  = Slot  1
2 1nn 10642 . . . 4  |-  1  e.  NN
31, 2ndxarg 15219 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =  1
4 1re 9660 . . . . 5  |-  1  e.  RR
5 4nn0 10912 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
6 1nn0 10909 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10843 . . . . . 6  |-  1  <  10
82, 5, 6, 7declti 11099 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
94, 8ltneii 9765 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
10 homndx 15390 . . . 4  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeqtrri 2716 . . 3  |-  1  =/=  ( Hom  `  ndx )
123, 11eqnetri 2713 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
13 5nn0 10913 . . . . . 6  |-  5  e.  NN0
142, 13, 6, 7declti 11099 . . . . 5  |-  1  < ; 1
5
154, 14ltneii 9765 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 5
16 ccondx 15392 . . . 4  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
1715, 16neeqtrri 2716 . . 3  |-  1  =/=  (comp `  ndx )
183, 17eqnetri 2713 . 2  |-  ( Base `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
196, 5deccl 11088 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN0
2019nn0rei 10904 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
21 5nn 10793 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
22 4lt5 10805 . . . . . 6  |-  4  <  5
236, 5, 21, 22declt 11095 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
2420, 23ltneii 9765 . . . 4  |- ; 1 4  =/= ; 1 5
2524, 16neeqtrri 2716 . . 3  |- ; 1 4  =/=  (comp ` 
ndx )
2610, 25eqnetri 2713 . 2  |-  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp ` 
ndx )
2712, 18, 263pm3.2i 1208 1  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  /\  ( Base `  ndx )  =/=  (comp `  ndx )  /\  ( Hom  `  ndx )  =/=  (comp `  ndx ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ w3a 1007    =/= wne 2641   ` cfv 5589   1c1 9558   4c4 10683   5c5 10684  ;cdc 11074   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   Hom chom 15279  compcco 15280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-hom 15292  df-cco 15293
This theorem is referenced by:  estrreslem1  16100  estrres  16102
  Copyright terms: Public domain W3C validator