Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdlema Structured version   Unicode version

Theorem slmdlema 26164
Description: Lemma for properties of a semimodule. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isslmd.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
isslmd.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
isslmd.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
isslmd.0  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
isslmd.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
isslmd.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
isslmd.p  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
isslmd.t  |-  .X.  =  ( .r `  F )
isslmd.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
isslmd.o  |-  O  =  ( 0g `  F
)
Assertion
Ref Expression
slmdlema  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y  /\  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) ) )

Proof of Theorem slmdlema
Dummy variables  q 
r  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isslmd.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 isslmd.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 isslmd.s . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
4 isslmd.0 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
5 isslmd.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
6 isslmd.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  F
)
7 isslmd.p . . . . . 6  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
8 isslmd.t . . . . . 6  |-  .X.  =  ( .r `  F )
9 isslmd.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
10 isslmd.o . . . . . 6  |-  O  =  ( 0g `  F
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10isslmd 26163 . . . . 5  |-  ( W  e. SLMod 
<->  ( W  e. CMnd  /\  F  e. SRing  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
1211simp3bi 1005 . . . 4  |-  ( W  e. SLMod  ->  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) )
13 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .+^  r )  =  ( Q  .+^  r ) )
1413oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  .+^  r ) 
.x.  w )  =  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
) )
15 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .x.  w )  =  ( Q  .x.  w ) )
1615oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) )  =  ( ( Q  .x.  w )  .+  (
r  .x.  w )
) )
1714, 16eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) ) )
18173anbi3d 1295 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  <-> 
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) ) ) )
19 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .X.  r )  =  ( Q  .X.  r ) )
2019oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  .X.  r
)  .x.  w )  =  ( ( Q 
.X.  r )  .x.  w ) )
21 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  .x.  ( r  .x.  w ) )  =  ( Q  .x.  (
r  .x.  w )
) )
2220, 21eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( q  .X.  r )  .x.  w
)  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) ) ) )
23223anbi1d 1293 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( ( q 
.X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  )  <->  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) )
2418, 23anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  <->  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
25242ralbidv 2751 . . . . 5  |-  ( q  =  Q  ->  ( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
26 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .x.  w )  =  ( R  .x.  w ) )
2726eleq1d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  .x.  w
)  e.  V  <->  ( R  .x.  w )  e.  V
) )
28 oveq1 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( R  .x.  (
w  .+  x )
) )
29 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .x.  x )  =  ( R  .x.  x ) )
3026, 29oveq12d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) ) )
3128, 30eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  <->  ( R  .x.  ( w  .+  x
) )  =  ( ( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  x ) ) ) )
32 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Q  .+^  r )  =  ( Q  .+^  R ) )
3332oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( Q  .+^  r ) 
.x.  w )  =  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w ) )
3426oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) )  =  ( ( Q  .x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) )
3533, 34eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) ) )
3627, 31, 353anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( Q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  <-> 
( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) ) ) )
37 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  ( Q  .X.  r )  =  ( Q  .X.  R
) )
3837oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
( Q  .X.  r
)  .x.  w )  =  ( ( Q 
.X.  R )  .x.  w ) )
3926oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( Q  .x.  ( r  .x.  w ) )  =  ( Q  .x.  ( R  .x.  w ) ) )
4038, 39eqeq12d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( Q  .X.  r )  .x.  w
)  =  ( Q 
.x.  ( r  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) ) ) )
41 biidd 237 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( O  .x.  w
)  =  .0.  <->  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )
4240, 413anbi13d 1291 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( Q 
.X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  )  <->  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) )
4336, 42anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  <->  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
44432ralbidv 2751 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( ( Q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
4525, 44rspc2v 3072 . . . 4  |-  ( ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )  ->  ( A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  ->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
4612, 45mpan9 469 . . 3  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )
)  ->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  x ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) )
47 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
w  .+  x )  =  ( w  .+  X ) )
4847oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( R  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( R  .x.  (
w  .+  X )
) )
49 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( R  .x.  x )  =  ( R  .x.  X
) )
5049oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) ) )
5148, 50eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
( R  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  x ) )  <->  ( R  .x.  ( w  .+  X
) )  =  ( ( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  X ) ) ) )
52513anbi2d 1294 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) )  <->  ( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( w  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) ) ) )
5352anbi1d 704 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( R 
.x.  w )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  <->  ( (
( R  .x.  w
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w 
.+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) ) ) )
54 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( R  .x.  w )  =  ( R  .x.  Y
) )
5554eleq1d 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( R  .x.  w
)  e.  V  <->  ( R  .x.  Y )  e.  V
) )
56 oveq1 6093 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Y  ->  (
w  .+  X )  =  ( Y  .+  X ) )
5756oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( R  .x.  ( w  .+  X ) )  =  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) ) )
5854oveq1d 6101 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( R  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  X ) )  =  ( ( R  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) ) )
5957, 58eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( R  .x.  (
w  .+  X )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  X ) )  <->  ( R  .x.  ( Y  .+  X
) )  =  ( ( R  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  X ) ) ) )
60 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( Q  .+^  R ) 
.x.  w )  =  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y ) )
61 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  Y  ->  ( Q  .x.  w )  =  ( Q  .x.  Y
) )
6261, 54oveq12d 6104 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) )  =  ( ( Q  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  Y ) ) )
6360, 62eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) )  <->  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) ) )
6455, 59, 633anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  (
w  .+  X )
)  =  ( ( R  .x.  w ) 
.+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q 
.x.  w )  .+  ( R  .x.  w ) ) )  <->  ( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) ) ) )
65 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (
( Q  .X.  R
)  .x.  w )  =  ( ( Q 
.X.  R )  .x.  Y ) )
6654oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( Q  .x.  ( R  .x.  w ) )  =  ( Q  .x.  ( R  .x.  Y ) ) )
6765, 66eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( Q  .X.  R )  .x.  w
)  =  ( Q 
.x.  ( R  .x.  w ) )  <->  ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) ) ) )
68 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  (  .1.  .x.  w )  =  (  .1.  .x.  Y
) )
69 id 22 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  w  =  Y )
7068, 69eqeq12d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
(  .1.  .x.  w
)  =  w  <->  (  .1.  .x. 
Y )  =  Y ) )
71 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( w  =  Y  ->  ( O  .x.  w )  =  ( O  .x.  Y
) )
7271eqeq1d 2445 . . . . . 6  |-  ( w  =  Y  ->  (
( O  .x.  w
)  =  .0.  <->  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) )
7367, 70, 723anbi123d 1289 . . . . 5  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( ( Q 
.X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  )  <->  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y  /\  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) ) )
7464, 73anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  Y  ->  (
( ( ( R 
.x.  w )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( w  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  <->  ( (
( R  .x.  Y
)  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y 
.+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y  /\  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) ) ) )
7553, 74rspc2v 3072 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( R  .x.  w )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( R  .x.  w )  .+  ( R  .x.  x ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  w )  =  ( ( Q  .x.  w
)  .+  ( R  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  w )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w  /\  ( O  .x.  w )  =  .0.  ) )  ->  (
( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y  /\  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) ) ) )
7646, 75syl5com 30 . 2  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )
)  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ( ( R 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( R 
.x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R  .x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q 
.+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y  /\  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) ) ) )
77763impia 1184 1  |-  ( ( W  e. SLMod  /\  ( Q  e.  K  /\  R  e.  K )  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V
) )  ->  (
( ( R  .x.  Y )  e.  V  /\  ( R  .x.  ( Y  .+  X ) )  =  ( ( R 
.x.  Y )  .+  ( R  .x.  X ) )  /\  ( ( Q  .+^  R )  .x.  Y )  =  ( ( Q  .x.  Y
)  .+  ( R  .x.  Y ) ) )  /\  ( ( ( Q  .X.  R )  .x.  Y )  =  ( Q  .x.  ( R 
.x.  Y ) )  /\  (  .1.  .x.  Y )  =  Y  /\  ( O  .x.  Y )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2709   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231  Scalarcsca 14233   .scvsca 14234   0gc0g 14370  CMndccmn 16266   1rcur 16589  SRingcsrg 16593  SLModcslmd 26161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-nul 4414
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3631  df-if 3785  df-sn 3871  df-pr 3873  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-iota 5374  df-fv 5419  df-ov 6089  df-slmd 26162
This theorem is referenced by:  slmdvscl  26175  slmdvsdi  26176  slmdvsdir  26177  slmdvsass  26178  slmdvs1  26181  slmd0vs  26185
  Copyright terms: Public domain W3C validator