Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmdbn0 Structured version   Unicode version

Theorem slmdbn0 28519
Description: The base set of a semimodule is nonempty. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
slmdbn0.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
slmdbn0  |-  ( W  e. SLMod  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem slmdbn0
StepHypRef Expression
1 slmdmnd 28517 . 2  |-  ( W  e. SLMod  ->  W  e.  Mnd )
2 slmdbn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2422 . . 3  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
42, 3mndidcl 16542 . 2  |-  ( W  e.  Mnd  ->  ( 0g `  W )  e.  B )
5 ne0i 3767 . 2  |-  ( ( 0g `  W )  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
61, 4, 53syl 18 1  |-  ( W  e. SLMod  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   (/)c0 3761   ` cfv 5598   Basecbs 15109   0gc0g 15326   Mndcmnd 16523  SLModcslmd 28511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-0g 15328  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-cmn 17420  df-slmd 28512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator