Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmd0vs Structured version   Unicode version

Theorem slmd0vs 27417
 Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (ax-hvmul0 25591 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
slmd0vs.v
slmd0vs.f Scalar
slmd0vs.s
slmd0vs.o
slmd0vs.z
Assertion
Ref Expression
slmd0vs SLMod

Proof of Theorem slmd0vs
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4 SLMod SLMod
2 slmd0vs.f . . . . . 6 Scalar
3 eqid 2462 . . . . . 6
4 slmd0vs.o . . . . . 6
52, 3, 4slmd0cl 27411 . . . . 5 SLMod
61, 5syl 16 . . . 4 SLMod
7 simpr 461 . . . 4 SLMod
8 slmd0vs.v . . . . 5
9 eqid 2462 . . . . 5
10 slmd0vs.s . . . . 5
11 slmd0vs.z . . . . 5
12 eqid 2462 . . . . 5
13 eqid 2462 . . . . 5
14 eqid 2462 . . . . 5
158, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 14, 4slmdlema 27396 . . . 4 SLMod
161, 6, 6, 7, 7, 15syl122anc 1232 . . 3 SLMod
1716simprd 463 . 2 SLMod
1817simp3d 1005 1 SLMod
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762  cfv 5581  (class class class)co 6277  cbs 14481   cplusg 14546  cmulr 14547  Scalarcsca 14549  cvsca 14550  c0g 14686  cur 16938  SLModcslmd 27393 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-cmn 16591  df-srg 16943  df-slmd 27394 This theorem is referenced by:  slmdvs0  27418  gsumvsca2  27425
 Copyright terms: Public domain W3C validator