Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slmd0vs Structured version   Unicode version

Theorem slmd0vs 28205
 Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (ax-hvmul0 26327 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
slmd0vs.v
slmd0vs.f Scalar
slmd0vs.s
slmd0vs.o
slmd0vs.z
Assertion
Ref Expression
slmd0vs SLMod

Proof of Theorem slmd0vs
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . 4 SLMod SLMod
2 slmd0vs.f . . . . . 6 Scalar
3 eqid 2402 . . . . . 6
4 slmd0vs.o . . . . . 6
52, 3, 4slmd0cl 28199 . . . . 5 SLMod
65adantr 463 . . . 4 SLMod
7 simpr 459 . . . 4 SLMod
8 slmd0vs.v . . . . 5
9 eqid 2402 . . . . 5
10 slmd0vs.s . . . . 5
11 slmd0vs.z . . . . 5
12 eqid 2402 . . . . 5
13 eqid 2402 . . . . 5
14 eqid 2402 . . . . 5
158, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 13, 14, 4slmdlema 28184 . . . 4 SLMod
161, 6, 6, 7, 7, 15syl122anc 1239 . . 3 SLMod
1716simprd 461 . 2 SLMod
1817simp3d 1011 1 SLMod
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839   cplusg 14907  cmulr 14908  Scalarcsca 14910  cvsca 14911  c0g 15052  cur 17471  SLModcslmd 28181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-cmn 17122  df-srg 17476  df-slmd 28182 This theorem is referenced by:  slmdvs0  28206  gsumvsca2  28212
 Copyright terms: Public domain W3C validator