Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slesolinvbi Structured version   Unicode version

Theorem slesolinvbi 19641
 Description: The solution of a system of linear equations represented by a matrix with a unit as determinant is the multiplication of the inverse of the matrix with the right-hand side vector. (Contributed by AV, 11-Feb-2019.) (Revised by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
slesolex.a Mat
slesolex.b
slesolex.v
slesolex.x maVecMul
slesolinv.i
Assertion
Ref Expression
slesolinvbi Unit

Proof of Theorem slesolinvbi
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . 3 Unit
2 simpl2 1009 . . 3 Unit
3 simp3 1007 . . . 4 Unit Unit
43anim1i 570 . . 3 Unit Unit
5 slesolex.a . . . 4 Mat
6 slesolex.b . . . 4
7 slesolex.v . . . 4
8 slesolex.x . . . 4 maVecMul
9 slesolex.d . . . 4 maDet
10 slesolinv.i . . . 4
115, 6, 7, 8, 9, 10slesolinv 19640 . . 3 Unit
121, 2, 4, 11syl3anc 1264 . 2 Unit
13 oveq2 6250 . . 3
14 simpr 462 . . . . . . . . . 10
155, 6matrcl 19372 . . . . . . . . . . . 12
1615simpld 460 . . . . . . . . . . 11
1716adantr 466 . . . . . . . . . 10
1814, 17anim12ci 569 . . . . . . . . 9
19183adant3 1025 . . . . . . . 8 Unit
20 eqid 2422 . . . . . . . . 9 maMul maMul
215, 20matmulr 19398 . . . . . . . 8 maMul
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 Unit maMul
2322oveqd 6259 . . . . . 6 Unit maMul
24 crngring 17727 . . . . . . . . . . 11
2524adantl 467 . . . . . . . . . 10
2625, 17anim12ci 569 . . . . . . . . 9
27263adant3 1025 . . . . . . . 8 Unit
285matring 19403 . . . . . . . 8
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 Unit
30 eqid 2422 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
31 eqid 2422 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
325, 9, 6, 30, 31matunit 19638 . . . . . . . . 9 Unit Unit
3332ad2ant2lr 752 . . . . . . . 8 Unit Unit
3433biimp3ar 1365 . . . . . . 7 Unit Unit
35 eqid 2422 . . . . . . . 8
36 eqid 2422 . . . . . . . 8
3730, 10, 35, 36unitrinv 17842 . . . . . . 7 Unit
3829, 34, 37syl2anc 665 . . . . . 6 Unit
3923, 38eqtrd 2456 . . . . 5 Unit maMul
4039oveq1d 6257 . . . 4 Unit maMul
41 eqid 2422 . . . . 5
42253ad2ant1 1026 . . . . 5 Unit
43173ad2ant2 1027 . . . . 5 Unit
447eleq2i 2492 . . . . . . . 8
4544biimpi 197 . . . . . . 7
4645adantl 467 . . . . . 6
47463ad2ant2 1027 . . . . 5 Unit
486eleq2i 2492 . . . . . . . 8
4948biimpi 197 . . . . . . 7
5049adantr 466 . . . . . 6
51503ad2ant2 1027 . . . . 5 Unit
52 eqid 2422 . . . . . . 7
5330, 10, 52ringinvcl 17840 . . . . . 6 Unit
5429, 34, 53syl2anc 665 . . . . 5 Unit
555, 41, 8, 42, 43, 47, 20, 51, 54mavmulass 19509 . . . 4 Unit maMul
565, 41, 8, 42, 43, 471mavmul 19508 . . . 4 Unit
5740, 55, 563eqtr3d 2464 . . 3 Unit
5813, 57sylan9eqr 2478 . 2 Unit
5912, 58impbida 840 1 Unit
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2593  cvv 3016  c0 3697  cop 3940  cotp 3942  cfv 5537  (class class class)co 6242   cmap 7420  cfn 7517  cbs 15057  cmulr 15127  cur 17671  crg 17716  ccrg 17717  Unitcui 17803  cinvr 17835   maMul cmmul 19343   Mat cmat 19367   maVecMul cmvmul 19500   maDet cmdat 19544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-addf 9562  ax-mulf 9563 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-xor 1401  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-ot 3943  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-tpos 6921  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-sup 7902  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-rp 11247  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-word 12605  df-lsw 12606  df-concat 12607  df-s1 12608  df-substr 12609  df-splice 12610  df-reverse 12611  df-s2 12883  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-prds 15282  df-pws 15284  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-mhm 16518  df-submnd 16519  df-grp 16609  df-minusg 16610  df-sbg 16611  df-mulg 16612  df-subg 16750  df-ghm 16817  df-gim 16859  df-cntz 16907  df-oppg 16933  df-symg 16955  df-pmtr 17019  df-psgn 17068  df-evpm 17069  df-cmn 17368  df-abl 17369  df-mgp 17660  df-ur 17672  df-srg 17676  df-ring 17718  df-cring 17719  df-oppr 17787  df-dvdsr 17805  df-unit 17806  df-invr 17836  df-dvr 17847  df-rnghom 17879  df-drng 17913  df-subrg 17942  df-lmod 18029  df-lss 18092  df-sra 18331  df-rgmod 18332  df-assa 18472  df-cnfld 18907  df-zring 18975  df-zrh 19010  df-dsmm 19230  df-frlm 19245  df-mamu 19344  df-mat 19368  df-mvmul 19501  df-mdet 19545  df-madu 19594 This theorem is referenced by:  slesolex  19642
 Copyright terms: Public domain W3C validator