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Theorem sizeusglecusglem1 23215
Description: Lemma 1 for sizeusglecusg 23217. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
sizeusglecusglem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F )

Proof of Theorem sizeusglecusglem1
Dummy variables  a 
b  e  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5664 . . 3  |-  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-onto-> ran  E
2 f1of1 5628 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-onto-> ran  E  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
E )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-> ran  E
4 usgrarnedg 23126 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  e  e.  ran  E )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  e  =  {
a ,  b } ) )
5 iscusgra0 23188 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x }
) { y ,  x }  e.  ran  F ) )
6 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  b  e.  V )
7 eldifsn 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  <-> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
87simplbi2 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  V  ->  (
a  =/=  b  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) ) )
98adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  ( a  =/=  b  ->  a  e.  ( V 
\  { b } ) ) )
109impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  a  e.  ( V  \  {
b } ) )
1110adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) )
12 sneq 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  b  ->  { x }  =  { b } )
1312difeq2d 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  b  ->  ( V  \  { x }
)  =  ( V 
\  { b } ) )
1413eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  b  ->  (
a  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  a  e.  ( V  \  { b } ) ) )
1514adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
( a  e.  ( V  \  { x } )  <->  a  e.  ( V  \  { b } ) ) )
1611, 15mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { x }
) )
17 preq12 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  a  /\  x  =  b )  ->  { y ,  x }  =  { a ,  b } )
1817expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  b  ->  (
y  =  a  ->  { y ,  x }  =  { a ,  b } ) )
1918adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
( y  =  a  ->  { y ,  x }  =  {
a ,  b } ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  x  =  b )  /\  y  =  a
)  ->  { y ,  x }  =  {
a ,  b } )
2120eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  x  =  b )  /\  y  =  a
)  ->  ( {
y ,  x }  e.  ran  F  <->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
2216, 21rspcdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
( A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F  ->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
236, 22rspcimdv 3063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x }
) { y ,  x }  e.  ran  F  ->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =/=  b  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
2524com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F  -> 
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  (
a  =/=  b  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
2625adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  -> 
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  (
a  =/=  b  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a  =/=  b  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) )
2827com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =/=  b  ->  (
( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x }
) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) )
29 eleq1 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ran  F  <->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  e  e.  ran  F )  <->  ( (
( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
3128, 30syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
a  =/=  b  -> 
( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  e  e.  ran  F ) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  e  e.  ran  F ) )
3332com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  e  e.  ran  F ) )
3433rexlimdvva 2838 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  -> 
( E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  e  e.  ran  F ) )
355, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  e  e.  ran  F ) )
364, 35syl5com 30 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  e  e.  ran  E )  -> 
( V ComplUSGrph  F  ->  e  e.  ran  F ) )
3736impancom 438 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
ran  F ) )
3837ssrdv 3350 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ran  E  C_  ran  F )
39 f1ss 5599 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
E  /\  ran  E  C_  ran  F )  ->  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-> ran  F )
403, 38, 39sylancr 656 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3313    C_ wss 3316   {csn 3865   {cpr 3867   class class class wbr 4280    _I cid 4618   ran crn 4828    |` cres 4829   -1-1->wf1 5403   -1-1-onto->wf1o 5405   USGrph cusg 23087   ComplUSGrph ccusgra 23153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088  df-usgra 23089  df-cusgra 23156
This theorem is referenced by:  sizeusglecusg  23217
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