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Theorem sizeusglecusglem1 23343
Description: Lemma 1 for sizeusglecusg 23345. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
sizeusglecusglem1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F )

Proof of Theorem sizeusglecusglem1
Dummy variables  a 
b  e  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5671 . . 3  |-  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-onto-> ran  E
2 f1of1 5635 . . 3  |-  ( (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-onto-> ran  E  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
E )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-> ran  E
4 usgrarnedg 23254 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  e  e.  ran  E )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  e  =  {
a ,  b } ) )
5 iscusgra0 23316 . . . . . 6  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x }
) { y ,  x }  e.  ran  F ) )
6 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  b  e.  V )
7 eldifsn 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  e.  ( V  \  { b } )  <-> 
( a  e.  V  /\  a  =/=  b
) )
87simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  V  ->  (
a  =/=  b  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) ) )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  ( a  =/=  b  ->  a  e.  ( V 
\  { b } ) ) )
109impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  a  e.  ( V  \  {
b } ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { b } ) )
12 sneq 3882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  b  ->  { x }  =  { b } )
1312difeq2d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  b  ->  ( V  \  { x }
)  =  ( V 
\  { b } ) )
1413eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  b  ->  (
a  e.  ( V 
\  { x }
)  <->  a  e.  ( V  \  { b } ) ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
( a  e.  ( V  \  { x } )  <->  a  e.  ( V  \  { b } ) ) )
1611, 15mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
a  e.  ( V 
\  { x }
) )
17 preq12 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  a  /\  x  =  b )  ->  { y ,  x }  =  { a ,  b } )
1817expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  b  ->  (
y  =  a  ->  { y ,  x }  =  { a ,  b } ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
( y  =  a  ->  { y ,  x }  =  {
a ,  b } ) )
2019imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  x  =  b )  /\  y  =  a
)  ->  { y ,  x }  =  {
a ,  b } )
2120eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  /\  x  =  b )  /\  y  =  a
)  ->  ( {
y ,  x }  e.  ran  F  <->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
2216, 21rspcdv 3071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  /\  x  =  b )  -> 
( A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F  ->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
236, 22rspcimdv 3069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =/=  b  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x }
) { y ,  x }  e.  ran  F  ->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =/=  b  ->  (
( a  e.  V  /\  b  e.  V
)  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
2524com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F  -> 
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  (
a  =/=  b  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  -> 
( ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  ->  (
a  =/=  b  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( a  =/=  b  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) )
2827com12 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =/=  b  ->  (
( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x }
) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) )
29 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
e  e.  ran  F  <->  { a ,  b }  e.  ran  F ) )
3029imbi2d 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  e  e.  ran  F )  <->  ( (
( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  ->  { a ,  b }  e.  ran  F
) ) )
3128, 30syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  { a ,  b }  ->  (
a  =/=  b  -> 
( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  e  e.  ran  F ) ) )
3231impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  ( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V
) )  ->  e  e.  ran  F ) )
3332com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  { x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  e  e.  ran  F ) )
3433rexlimdvva 2843 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  F  /\  A. x  e.  V  A. y  e.  ( V  \  {
x } ) { y ,  x }  e.  ran  F )  -> 
( E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  e  e.  ran  F ) )
355, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( E. a  e.  V  E. b  e.  V  ( a  =/=  b  /\  e  =  { a ,  b } )  ->  e  e.  ran  F ) )
364, 35syl5com 30 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  e  e.  ran  E )  -> 
( V ComplUSGrph  F  ->  e  e.  ran  F ) )
3736impancom 440 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( e  e. 
ran  E  ->  e  e. 
ran  F ) )
3837ssrdv 3357 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ran  E  C_  ran  F )
39 f1ss 5606 . 2  |-  ( ( (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
E  /\  ran  E  C_  ran  F )  ->  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-> ran  F )
403, 38, 39sylancr 663 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    \ cdif 3320    C_ wss 3323   {csn 3872   {cpr 3874   class class class wbr 4287    _I cid 4626   ran crn 4836    |` cres 4837   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   USGrph cusg 23215   ComplUSGrph ccusgra 23281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096  df-usgra 23217  df-cusgra 23284
This theorem is referenced by:  sizeusglecusg  23345
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