MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sizeusglecusg Structured version   Unicode version

Theorem sizeusglecusg 24691
Description: The size of an undirected simple graph with  n vertices is at most the size of a complete simple graph with  n vertices ( n may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
sizeusglecusg  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) )

Proof of Theorem sizeusglecusg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 24543 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  e.  _V )
3 rnexg 6705 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  _V  ->  ran  E  e.  _V )
4 resiexg 6709 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
E  e.  _V  ->  (  _I  |`  ran  E )  e.  _V )
52, 3, 43syl 20 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  (  _I  |`  ran  E
)  e.  _V )
65adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
)  e.  _V )
7 sizeusglecusglem1 24689 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F )
8 f1eq1 5758 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (  _I  |`  ran  E
)  ->  ( f : ran  E -1-1-> ran  F  <->  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-> ran  F ) )
98spcegv 3192 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ran  E )  e.  _V  ->  (
(  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F  ->  E. f 
f : ran  E -1-1-> ran 
F ) )
106, 7, 9sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F
)
1110adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  ->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F )
12 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  E  e.  Fin )
13 usgraf1 24565 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1413adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1512, 14anim12i 564 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( E  e.  Fin  /\  E : dom  E -1-1-> ran 
E ) )
16 dmexg 6704 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  _V )
17 rnexg 6705 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  _V )
1816, 17jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( dom  E  e.  _V  /\  ran  E  e.  _V )
)
1918adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( dom  E  e. 
_V  /\  ran  E  e. 
_V ) )
2019adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( dom  E  e.  _V  /\  ran  E  e. 
_V ) )
21 hashf1rn 12410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  E  e.  _V  /\ 
ran  E  e.  _V )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( # `
 E )  =  ( # `  ran  E ) ) )
2221com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( ( dom 
E  e.  _V  /\  ran  E  e.  _V )  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  ran  E ) ) )
2322adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  E : dom  E -1-1-> ran  E )  ->  ( ( dom  E  e.  _V  /\  ran  E  e.  _V )  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  ran  E ) ) )
2415, 20, 23sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( # `  E )  =  ( # `  ran  E ) )
25 dmexg 6704 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  _V )
26 rnexg 6705 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ran  F  e.  _V )
2725, 26jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( dom  F  e.  _V  /\  ran  F  e.  _V )
)
2827adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( dom  F  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V ) )
2928adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( dom  F  e.  _V  /\  ran  F  e. 
_V ) )
30 cusisusgra 24663 . . . . . . . . . 10  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  V USGrph  F )
31 usgraf1 24565 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  F  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
3332adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
3433adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  ->  F : dom  F -1-1-> ran  F )
35 hashf1rn 12410 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  _V  /\ 
ran  F  e.  _V )  ->  ( F : dom  F -1-1-> ran  F  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  ran  F ) ) )
3629, 34, 35sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( # `  F )  =  ( # `  ran  F ) )
3724, 36breq12d 4452 . . . . 5  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ( # `  E
)  <_  ( # `  F
)  <->  ( # `  ran  E )  <_  ( # `  ran  F ) ) )
38 rnfi 7797 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  Fin )
3938, 26anim12i 564 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ran  E  e. 
Fin  /\  ran  F  e. 
_V ) )
4039adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ran  E  e.  Fin  /\  ran  F  e. 
_V ) )
41 hashdom 12433 . . . . . 6  |-  ( ( ran  E  e.  Fin  /\ 
ran  F  e.  _V )  ->  ( ( # `  ran  E )  <_ 
( # `  ran  F
)  <->  ran  E  ~<_  ran  F
) )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ( # `  ran  E )  <_  ( # `  ran  F )  <->  ran  E  ~<_  ran  F
) )
4326adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ran  F  e.  _V )
44 brdomg 7519 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  e.  _V  ->  ( ran  E  ~<_  ran  F  <->  E. f  f : ran  E
-1-1-> ran  F ) )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ran  E  ~<_  ran 
F  <->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F
) )
4645adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ran  E  ~<_  ran  F  <->  E. f  f : ran  E
-1-1-> ran  F ) )
4737, 42, 463bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ( # `  E
)  <_  ( # `  F
)  <->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F
) )
4811, 47mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) )
4948ex 432 . 2  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
50 usgrav 24543 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  F  ->  ( V  e. 
_V  /\  F  e.  _V ) )
51 hashinf 12395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  F
)  = +oo )
52 hashxrcl 12414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
RR* )
53 pnfge 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  E )  e.  RR*  ->  ( # `  E
)  <_ +oo )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  <_ +oo )
55 breq2 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  = +oo  ->  ( ( # `
 E )  <_ 
( # `  F )  <-> 
( # `  E )  <_ +oo ) )
5654, 55syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  = +oo  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
5751, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
5857ex 432 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
5958adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( -.  F  e. 
Fin  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6030, 50, 593syl 20 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6160adantl 464 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6261com13 80 . . 3  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) ) )
6362imp 427 . 2  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
64 sizeusglecusglem2 24690 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F  /\  F  e.  Fin )  ->  E  e.  Fin )
6564pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F  /\  F  e.  Fin )  ->  ( -.  E  e. 
Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
66653expia 1196 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( F  e. 
Fin  ->  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6766com13 80 . . 3  |-  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( F  e.  Fin  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
6867imp 427 . 2  |-  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
69 hashinf 12395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  e.  _V  /\  -.  E  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  = +oo )
70 pnfxr 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- +oo  e.  RR*
71 xrleid 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
7270, 71mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  E
)  = +oo  /\  ( # `  F )  = +oo )  -> +oo  <_ +oo )
73 breq12 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  E
)  = +oo  /\  ( # `  F )  = +oo )  -> 
( ( # `  E
)  <_  ( # `  F
)  <-> +oo  <_ +oo )
)
7472, 73mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  E
)  = +oo  /\  ( # `  F )  = +oo )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) )
7574expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  = +oo  ->  ( ( # `
 E )  = +oo  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
7651, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  _V  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( ( # `  E )  = +oo  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
7776ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( ( # `  E
)  = +oo  ->  (
# `  E )  <_  ( # `  F
) ) ) )
7877com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  E )  = +oo  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( F  e.  _V  ->  (
# `  E )  <_  ( # `  F
) ) ) )
7969, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  _V  /\  -.  E  e.  Fin )  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( F  e.  _V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8079expcom 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( E  e.  _V  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( F  e.  _V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  _V  ->  ( F  e.  _V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) ) )
8281imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  E  e.  Fin  /\ 
-.  F  e.  Fin )  ->  ( E  e. 
_V  ->  ( F  e. 
_V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8382com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  _V  ->  ( E  e.  _V  ->  ( ( -.  E  e. 
Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
8483adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( E  e.  _V  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
8530, 50, 843syl 20 . . . . . . 7  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( E  e. 
_V  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8685com12 31 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\ 
-.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8786adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( ( -.  E  e. 
Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
881, 87syl 16 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  F  -> 
( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
8988imp 427 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
9089com12 31 . 2  |-  ( ( -.  E  e.  Fin  /\ 
-.  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
9149, 63, 68, 904cases 947 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    _I cid 4779   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   -1-1->wf1 5567   ` cfv 5570    ~<_ cdom 7507   Fincfn 7509   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   #chash 12390   USGrph cusg 24535   ComplUSGrph ccusgra 24623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12391  df-usgra 24538  df-cusgra 24626
This theorem is referenced by:  usgramaxsize  24692
  Copyright terms: Public domain W3C validator