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Theorem sizeusglecusg 23573
Description: The size of an undirected simple graph with  n vertices is at most the size of a complete simple graph with  n vertices ( n may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
sizeusglecusg  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) )

Proof of Theorem sizeusglecusg
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 23449 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
21simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( V USGrph  E  ->  E  e.  _V )
3 rnexg 6623 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  _V  ->  ran  E  e.  _V )
4 resiexg 6627 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
E  e.  _V  ->  (  _I  |`  ran  E )  e.  _V )
52, 3, 43syl 20 . . . . . . 7  |-  ( V USGrph  E  ->  (  _I  |`  ran  E
)  e.  _V )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
)  e.  _V )
7 sizeusglecusglem1 23571 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  (  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F )
8 f1eq1 5712 . . . . . . 7  |-  ( f  =  (  _I  |`  ran  E
)  ->  ( f : ran  E -1-1-> ran  F  <->  (  _I  |`  ran  E ) : ran  E -1-1-> ran  F ) )
98spcegv 3164 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ran  E )  e.  _V  ->  (
(  _I  |`  ran  E
) : ran  E -1-1-> ran 
F  ->  E. f 
f : ran  E -1-1-> ran 
F ) )
106, 7, 9sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F
)
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  ->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F )
12 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  E  e.  Fin )
13 usgraf1 23461 . . . . . . . . 9  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  E : dom  E
-1-1-> ran  E )
1512, 14anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( E  e.  Fin  /\  E : dom  E -1-1-> ran 
E ) )
16 dmexg 6622 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  dom  E  e.  _V )
17 rnexg 6623 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  _V )
1816, 17jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( dom  E  e.  _V  /\  ran  E  e.  _V )
)
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( dom  E  e. 
_V  /\  ran  E  e. 
_V ) )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( dom  E  e.  _V  /\  ran  E  e. 
_V ) )
21 hashf1rn 12244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  E  e.  _V  /\ 
ran  E  e.  _V )  ->  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( # `
 E )  =  ( # `  ran  E ) ) )
2221com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( E : dom  E -1-1-> ran  E  ->  ( ( dom 
E  e.  _V  /\  ran  E  e.  _V )  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  ran  E ) ) )
2322adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  E : dom  E -1-1-> ran  E )  ->  ( ( dom  E  e.  _V  /\  ran  E  e.  _V )  ->  ( # `  E
)  =  ( # `  ran  E ) ) )
2415, 20, 23sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( # `  E )  =  ( # `  ran  E ) )
25 dmexg 6622 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  _V )
26 rnexg 6623 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ran  F  e.  _V )
2725, 26jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( dom  F  e.  _V  /\  ran  F  e.  _V )
)
2827adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( dom  F  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V ) )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( dom  F  e.  _V  /\  ran  F  e. 
_V ) )
30 cusisusgra 23545 . . . . . . . . . 10  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  V USGrph  F )
31 usgraf1 23461 . . . . . . . . . 10  |-  ( V USGrph  F  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
3332adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  F : dom  F
-1-1-> ran  F )
3433adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  ->  F : dom  F -1-1-> ran  F )
35 hashf1rn 12244 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  _V  /\ 
ran  F  e.  _V )  ->  ( F : dom  F -1-1-> ran  F  ->  ( # `
 F )  =  ( # `  ran  F ) ) )
3629, 34, 35sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( # `  F )  =  ( # `  ran  F ) )
3724, 36breq12d 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ( # `  E
)  <_  ( # `  F
)  <->  ( # `  ran  E )  <_  ( # `  ran  F ) ) )
38 rnfi 7710 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  Fin  ->  ran  E  e.  Fin )
3938, 26anim12i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ran  E  e. 
Fin  /\  ran  F  e. 
_V ) )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ran  E  e.  Fin  /\  ran  F  e. 
_V ) )
41 hashdom 12264 . . . . . 6  |-  ( ( ran  E  e.  Fin  /\ 
ran  F  e.  _V )  ->  ( ( # `  ran  E )  <_ 
( # `  ran  F
)  <->  ran  E  ~<_  ran  F
) )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ( # `  ran  E )  <_  ( # `  ran  F )  <->  ran  E  ~<_  ran  F
) )
4326adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ran  F  e.  _V )
44 brdomg 7433 . . . . . . 7  |-  ( ran 
F  e.  _V  ->  ( ran  E  ~<_  ran  F  <->  E. f  f : ran  E
-1-1-> ran  F ) )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ran  E  ~<_  ran 
F  <->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F
) )
4645adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ran  E  ~<_  ran  F  <->  E. f  f : ran  E
-1-1-> ran  F ) )
4737, 42, 463bitrd 279 . . . 4  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( ( # `  E
)  <_  ( # `  F
)  <->  E. f  f : ran  E -1-1-> ran  F
) )
4811, 47mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  /\  ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F ) )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) )
4948ex 434 . 2  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
50 usgrav 23449 . . . . . 6  |-  ( V USGrph  F  ->  ( V  e. 
_V  /\  F  e.  _V ) )
51 hashinf 12229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  _V  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  F
)  = +oo )
52 hashxrcl 12248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
RR* )
53 pnfge 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  E )  e.  RR*  ->  ( # `  E
)  <_ +oo )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  <_ +oo )
55 breq2 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  = +oo  ->  ( ( # `
 E )  <_ 
( # `  F )  <-> 
( # `  E )  <_ +oo ) )
5654, 55syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  = +oo  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
5751, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
5857ex 434 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  _V  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
5958adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( -.  F  e. 
Fin  ->  ( E  e. 
Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6030, 50, 593syl 20 . . . . 5  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6160adantl 466 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6261com13 80 . . 3  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) ) )
6362imp 429 . 2  |-  ( ( E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
64 sizeusglecusglem2 23572 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F  /\  F  e.  Fin )  ->  E  e.  Fin )
6564pm2.24d 143 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F  /\  F  e.  Fin )  ->  ( -.  E  e. 
Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
66653expia 1190 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( F  e. 
Fin  ->  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
6766com13 80 . . 3  |-  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( F  e.  Fin  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
6867imp 429 . 2  |-  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
69 hashinf 12229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  e.  _V  /\  -.  E  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  = +oo )
70 pnfxr 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |- +oo  e.  RR*
71 xrleid 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
7270, 71mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  E
)  = +oo  /\  ( # `  F )  = +oo )  -> +oo  <_ +oo )
73 breq12 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  E
)  = +oo  /\  ( # `  F )  = +oo )  -> 
( ( # `  E
)  <_  ( # `  F
)  <-> +oo  <_ +oo )
)
7472, 73mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  E
)  = +oo  /\  ( # `  F )  = +oo )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) )
7574expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  F )  = +oo  ->  ( ( # `
 E )  = +oo  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
7651, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  _V  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( ( # `  E )  = +oo  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( ( # `  E
)  = +oo  ->  (
# `  E )  <_  ( # `  F
) ) ) )
7877com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  E )  = +oo  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( F  e.  _V  ->  (
# `  E )  <_  ( # `  F
) ) ) )
7969, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  e.  _V  /\  -.  E  e.  Fin )  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( F  e.  _V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8079expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( E  e.  _V  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( F  e.  _V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) ) )
8180com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  E  e.  Fin  ->  ( -.  F  e.  Fin  ->  ( E  e.  _V  ->  ( F  e.  _V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) ) )
8281imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  E  e.  Fin  /\ 
-.  F  e.  Fin )  ->  ( E  e. 
_V  ->  ( F  e. 
_V  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8382com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  _V  ->  ( E  e.  _V  ->  ( ( -.  E  e. 
Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
8483adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( E  e.  _V  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
8530, 50, 843syl 20 . . . . . . 7  |-  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( E  e. 
_V  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8685com12 31 . . . . . 6  |-  ( E  e.  _V  ->  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\ 
-.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) ) )
8786adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ComplUSGrph  F  ->  ( ( -.  E  e. 
Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
881, 87syl 16 . . . 4  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V ComplUSGrph  F  -> 
( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `
 E )  <_ 
( # `  F ) ) ) )
8988imp 429 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( ( -.  E  e.  Fin  /\  -.  F  e.  Fin )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) ) )
9089com12 31 . 2  |-  ( ( -.  E  e.  Fin  /\ 
-.  F  e.  Fin )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  -> 
( # `  E )  <_  ( # `  F
) ) )
9149, 63, 68, 904cases 940 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V ComplUSGrph  F )  ->  ( # `  E
)  <_  ( # `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403    _I cid 4742   dom cdm 4951   ran crn 4952    |` cres 4953   -1-1->wf1 5526   ` cfv 5529    ~<_ cdom 7421   Fincfn 7423   +oocpnf 9530   RR*cxr 9532    <_ cle 9534   #chash 12224   USGrph cusg 23443   ComplUSGrph ccusgra 23509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-hash 12225  df-usgra 23445  df-cusgra 23512
This theorem is referenced by:  usgramaxsize  23574
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