Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmval Structured version   Unicode version

Theorem sitmval 28796
 Description: Value of the simple function integral metric for a given space and measure . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmval.d
sitmval.1
sitmval.2 measures
Assertion
Ref Expression
sitmval sitm sitg sitg s sitg
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem sitmval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitmval.1 . . 3
2 elex 3068 . . 3
31, 2syl 17 . 2
4 sitmval.2 . 2 measures
5 oveq1 6285 . . . . 5 sitg sitg
65dmeqd 5026 . . . 4 sitg sitg
7 fveq2 5849 . . . . . . 7
8 ofeq 6523 . . . . . . 7
97, 8syl 17 . . . . . 6
109oveqd 6295 . . . . 5
1110fveq2d 5853 . . . 4 s sitg s sitg
126, 6, 11mpt2eq123dv 6340 . . 3 sitg sitg s sitg sitg sitg s sitg
13 oveq2 6286 . . . . 5 sitg sitg
1413dmeqd 5026 . . . 4 sitg sitg
15 oveq2 6286 . . . . 5 s sitg s sitg
16 sitmval.d . . . . . . . 8
1716eqcomi 2415 . . . . . . 7
18 ofeq 6523 . . . . . . 7
1917, 18mp1i 13 . . . . . 6
2019oveqd 6295 . . . . 5
2115, 20fveq12d 5855 . . . 4 s sitg s sitg
2214, 14, 21mpt2eq123dv 6340 . . 3 sitg sitg s sitg sitg sitg s sitg
23 df-sitm 28779 . . 3 sitm measures sitg sitg s sitg
24 ovex 6306 . . . . 5 sitg
2524dmex 6717 . . . 4 sitg
2625, 25mpt2ex 6861 . . 3 sitg sitg s sitg
2712, 22, 23, 26ovmpt2 6419 . 2 measures sitm sitg sitg s sitg
283, 4, 27syl2anc 659 1 sitm sitg sitg s sitg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059  cuni 4191   cdm 4823   crn 4824  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280   cof 6519  cc0 9522   cpnf 9655  cicc 11585   ↾s cress 14842  cds 14918  cxrs 15114  measurescmeas 28643  sitmcsitm 28776  sitgcsitg 28777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-sitm 28779 This theorem is referenced by:  sitmfval  28797
 Copyright terms: Public domain W3C validator