Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Unicode version

Theorem sitmcl 24616
 Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0
sitmcl.1
sitmcl.2 measures
sitmcl.3 sitg
sitmcl.4 sitg
Assertion
Ref Expression
sitmcl sitm

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3
2 sitmcl.1 . . 3
3 sitmcl.2 . . 3 measures
4 sitmcl.3 . . 3 sitg
5 sitmcl.4 . . 3 sitg
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 24615 . 2 sitm s sitg
7 xrge0base 24160 . . 3 s
8 xrge0topn 24282 . . . 4 s ordTop t
98eqcomi 2408 . . 3 ordTop t s
10 eqid 2404 . . 3 sigaGenordTop t sigaGenordTop t
11 xrge00 24161 . . 3 s
12 ovex 6065 . . . 4
13 eqid 2404 . . . . 5 s s
14 ax-xrsvsca 24149 . . . . 5
1513, 14ressvsca 13560 . . . 4 s
1612, 15ax-mp 8 . . 3 s
17 ax-xrssca 24148 . . . . . 6 flds Scalar
1813, 17resssca 13559 . . . . 5 flds Scalars
1912, 18ax-mp 8 . . . 4 flds Scalars
2019fveq2i 5690 . . 3 RRHomflds RRHomScalars
21 ovex 6065 . . . 4 s
2221a1i 11 . . 3 s
23 eqid 2404 . . . . . . 7
24 eqid 2404 . . . . . . 7
25 eqid 2404 . . . . . . 7 sigaGen sigaGen
26 eqid 2404 . . . . . . 7
27 eqid 2404 . . . . . . 7
28 eqid 2404 . . . . . . 7 RRHomScalar RRHomScalar
2923, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4sibff 24604 . . . . . 6
30 xmstps 18436 . . . . . . . 8
3123, 24tpsuni 16958 . . . . . . . 8
322, 30, 313syl 19 . . . . . . 7
33 feq3 5537 . . . . . . 7
3432, 33syl 16 . . . . . 6
3529, 34mpbird 224 . . . . 5
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 5sibff 24604 . . . . . 6
37 feq3 5537 . . . . . . 7
3832, 37syl 16 . . . . . 6
3936, 38mpbird 224 . . . . 5
40 dmexg 5089 . . . . . 6 measures
41 uniexg 4665 . . . . . 6
423, 40, 413syl 19 . . . . 5
4335, 39, 42ofresid 24008 . . . 4
442, 30syl 16 . . . . 5
45 eqid 2404 . . . . . . . 8
4623, 45xmsxmet 18439 . . . . . . 7
47 xmetpsmet 18331 . . . . . . 7 PsMet
482, 46, 473syl 19 . . . . . 6 PsMet
49 psmetxrge0 18297 . . . . . 6 PsMet
5048, 49syl 16 . . . . 5
51 xrge0tps 24281 . . . . . 6 s
5251a1i 11 . . . . 5 s
5324, 23, 45xmstopn 18434 . . . . . . . 8
542, 53syl 16 . . . . . . 7
55 eqid 2404 . . . . . . . . 9
5655methaus 18503 . . . . . . . 8
572, 46, 563syl 19 . . . . . . 7
5854, 57eqeltrd 2478 . . . . . 6
59 haust1 17370 . . . . . 6
6058, 59syl 16 . . . . 5
612, 46syl 16 . . . . . . 7
62 sitmcl.0 . . . . . . . 8
6323, 26mndidcl 14669 . . . . . . . 8
6462, 63syl 16 . . . . . . 7
65 xmet0 18325 . . . . . . 7
6661, 64, 65syl2anc 643 . . . . . 6
6766, 11syl6eq 2452 . . . . 5 s
6823, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4, 7, 44, 50, 5, 52, 60, 67sibfof 24607 . . . 4 s sitg
6943, 68eqeltrd 2478 . . 3 s sitg
70 eqid 2404 . . . . . 6 flds flds
7170rebase 24222 . . . . 5 flds
7271, 71xpeq12i 4859 . . . 4 flds flds
7372reseq2i 5102 . . 3 flds flds flds flds
74 xrge0cmn 16695 . . . 4 s CMnd
7574a1i 11 . . 3 s CMnd
7670refld 24232 . . . . . 6 flds Field
77 isfld 15799 . . . . . 6 flds Field flds flds
7876, 77mpbi 200 . . . . 5 flds flds
7978simpli 445 . . . 4 flds
8079a1i 11 . . 3 flds
81 cnnrg 18768 . . . . 5 fld NrmRing
82 resubdrg 16705 . . . . . 6 SubRingfld flds
8382simpli 445 . . . . 5 SubRingfld
8470subrgnrg 18662 . . . . 5 fld NrmRing SubRingfld flds NrmRing
8581, 83, 84mp2an 654 . . . 4 flds NrmRing
8685a1i 11 . . 3 flds NrmRing
8770rezh 24308 . . . 4 Modflds NrmMod
8887a1i 11 . . 3 Modflds NrmMod
8970reofld 24233 . . . . 5 flds oField
90 ofldchr 24197 . . . . 5 flds oField chrflds
9189, 90ax-mp 8 . . . 4 chrflds
9291a1i 11 . . 3 chrflds
93 cnfldtps 18765 . . . . 5 fld
94 reex 9037 . . . . 5
95 resstps 17205 . . . . 5 fld flds
9693, 94, 95mp2an 654 . . . 4 flds
9796a1i 11 . . 3 flds
9870recusp 24298 . . . 4 flds CUnifSp
9998a1i 11 . . 3 flds CUnifSp
100 eqid 2404 . . . . . . . 8 fld fld
101100cnfldtopn 18769 . . . . . . 7 fld
102101eqcomi 2408 . . . . . 6 fld
10370, 102resstopn 17204 . . . . 5 t flds
104102cnfldhaus 18772 . . . . . 6
105 resthaus 17386 . . . . . 6 t
106104, 94, 105mp2an 654 . . . . 5 t
107103, 106eqeltrri 2475 . . . 4 flds
108107a1i 11 . . 3 flds
10970reust 24297 . . . 4 UnifStflds metUnifflds
110109a1i 11 . . 3 UnifStflds metUnifflds
111 rrhre 24340 . . . . . . . . 9 RRHomflds
112111imaeq1i 5159 . . . . . . . 8 RRHomflds
113 0re 9047 . . . . . . . . . 10
114 pnfxr 10669 . . . . . . . . . 10
115 icossre 10947 . . . . . . . . . 10
116113, 114, 115mp2an 654 . . . . . . . . 9
117 resiima 5179 . . . . . . . . 9
118116, 117ax-mp 8 . . . . . . . 8
119112, 118eqtri 2424 . . . . . . 7 RRHomflds
120 icossicc 24082 . . . . . . 7
121119, 120eqsstri 3338 . . . . . 6 RRHomflds
122121sseli 3304 . . . . 5 RRHomflds
1231223ad2ant2 979 . . . 4 RRHomflds
124 simp3 959 . . . 4 RRHomflds
125 ge0xmulcl 10968 . . . 4
126123, 124, 125syl2anc 643 . . 3 RRHomflds
1277, 9, 10, 11, 16, 20, 22, 3, 69, 19, 73, 52, 75, 80, 86, 88, 92, 97, 99, 108, 110, 126sitgclg 24609 . 2 s sitg
1286, 127eqeltrd 2478 1 sitm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2916   wss 3280  cuni 3975   cid 4453   cxp 4835   cdm 4837   crn 4838   cres 4839  cima 4840   ccom 4841  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cof 6262  cr 8945  cc0 8946   cpnf 9073  cxr 9075   cle 9077   cmin 9247  cxmu 10665  cico 10874  cicc 10875  cabs 11994  cbs 13424   ↾s cress 13425  Scalarcsca 13487  cvsca 13488  cds 13493   ↾t crest 13603  ctopn 13604  ordTopcordt 13676  cxrs 13677  c0g 13678  cmnd 14639  CMndccmn 15367  ccrg 15616  cdr 15790  Fieldcfield 15791  SubRingcsubrg 15819  PsMetcpsmet 16640  cxmt 16641  cmopn 16646  metUnifcmetu 16648  ℂfldccnfld 16658  Modczlm 16734  chrcchr 16735  ctps 16916  ct1 17325  cha 17326  UnifStcuss 18236  CUnifSpccusp 18280  cxme 18300  NrmRingcnrg 18580  NrmModcnlm 18581  oFieldcofld 24186  RRHomcrrh 24330  sigaGencsigagen 24474  measurescmeas 24502  sitmcsitm 24596  sitgcsitg 24597 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-xrssca 24148  ax-xrsvsca 24149 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-gz 13253  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-ordt 13680  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-poset 14358  df-plt 14370  df-toset 14418  df-ps 14584  df-tsr 14585  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-od 15122  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-field 15793  df-subrg 15821  df-abv 15860  df-lmod 15907  df-scaf 15908  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-nzr 16284  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-metu 16657  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zlm 16738  df-chr 16739  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-t1 17332  df-haus 17333  df-reg 17334  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-fcls 17926  df-cnext 18044  df-tmd 18055  df-tgp 18056  df-tsms 18109  df-trg 18142  df-ust 18183  df-utop 18214  df-uss 18239  df-usp 18240  df-ucn 18259  df-cfilu 18270  df-cusp 18281  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-nrg 18586  df-nlm 18587  df-ii 18860  df-cncf 18861  df-cfil 19161  df-cmet 19163  df-cms 19241  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-ofld 24187  df-qqh 24310  df-rrh 24331  df-esum 24378  df-siga 24444  df-sigagen 24475  df-meas 24503  df-mbfm 24554  df-sitg 24598  df-sitm 24599
 Copyright terms: Public domain W3C validator